一類多元Hermite型插值的離散化問題

姜 雪, 崔 凱

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 吉林大學(xué) 符號計算與知識工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長春 130012)

多項式插值問題在圖像處理、 電子通信、 控制論和海洋氣象學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 一元多項式插值理論包括插值函數(shù)的構(gòu)造、 誤差分析、 最佳逼近性質(zhì)等， 目前已有較完善的結(jié)果[1]. 但多元多項式插值問題的研究還不完善, 其中一個重要原因是多元插值節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜, 每個節(jié)點(diǎn)上對應(yīng)的插值條件也有多種形態(tài)[2-6]. 一元Lagrange插值是最簡單的一類多項式插值, 其插值條件僅包含節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值; 一元Hermite插值問題是指插值條件不僅包含節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值, 還包含節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)階偏導(dǎo)數(shù). 在多元情形下, 仍有Lagrange插值的概念, 但Hermite插值的定義卻不一致.

一元Hermite插值問題可視為Lagrange插值問題的極限形式. Shekhtman[7]證明了該結(jié)論在二元情形下也成立, 但對于三元及三元以上的情形, 總存在不能被離散的Hermite型插值問題. 類似于一元情形, 當(dāng)多元Hermite型插值問題的插值條件僅由單項偏導(dǎo)條件構(gòu)成時, 利用差分代替偏導(dǎo)數(shù), 可將其離散為Lagrange插值問題的極限[8]. 目前, 關(guān)于Hermite型插值離散化問題的研究已有許多成果[9-14]. Hermite型插值離散化問題的實(shí)質(zhì)是插值條件的離散. 本文將Hermite型插值問題轉(zhuǎn)化為Lagrange插值問題的極限, 從而將復(fù)雜的問題簡單化, 為構(gòu)造復(fù)雜的多元插值問題的插值空間及給出誤差公式提供一種新思路.

1 預(yù)備知識

spanF{δz°q(D):z∈Z,q∈Qz}

針對多元Hermite型插值問題, 如果每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的微分不變子空間誘導(dǎo)的微分算子均可以離散, 則該Hermite型插值問題可離散為Lagrange插值問題的極限.因此, 離散化問題可以逐點(diǎn)考慮.利用線性變換, 總可以假設(shè)插值節(jié)點(diǎn)z=0.對于任意給定單點(diǎn)的Hermite型插值問題, 設(shè)插值條件空間為

δ0°Q0(D)∶={δ0°q(D):q∈Q0}.

此外, 設(shè)有節(jié)點(diǎn)

(1)

則zi(h)構(gòu)成上述Hermite插值問題的離散節(jié)點(diǎn).

對任意光滑的函數(shù)f,f(z(h))在0點(diǎn)的Taylor展開為

(2)

其中

pi為將式(2)視為h的多項式時hi的系數(shù).對任意的正整數(shù)m, 令

基于上述記號, 文獻(xiàn)[12]給出了如下離散逼近算法.

輸入: 節(jié)點(diǎn)z=0, Qz=span{1,q1,q2,…,qs}, 其中deg(q1)≤deg(q2)≤…≤deg(qs);

成立或“失敗”.

步驟3) 令

(3)

將式(3)確定的等式加入到S中, 置n∶=n+1;

步驟5) 求解系統(tǒng)S, 若有解則選取S的一個特解, 并輸出離散節(jié)點(diǎn)及系數(shù), 否則返回“失敗”, 算法終止.

2 主要結(jié)果

由Q微分不變的性質(zhì)可知, 1∈Q, 因此可假設(shè)Q基底中多項式不含常數(shù)項.對任意給定的二階微分不變子空間

其中上角標(biāo)表示多項式的次數(shù).不失一般性, 利用變量替換并約掉常數(shù)項, 則任意微分不變子空間Q中的一次多項式均可表示為

(4)

其中x∶=(x1,x2,…,xd).基于上述記號, 文獻(xiàn)[11]給出了二階微分不變子空間基底中二次多項式的形式:

(5)

其中Ej為m1×m1對稱矩陣,

為一個行向量.

設(shè)節(jié)點(diǎn)z0(h)=0, 根據(jù)上述離散逼近算法可設(shè)空間Q對應(yīng)下列離散節(jié)點(diǎn):

zi(h)=(ti,1h,ti,2h,…,ti,dh)=(ti,1,ti,2,…,ti,d)h,i=1,2,…,m+1.

(6)

設(shè)

ek=(0,…,0,1,0,…,0)T∈Fm,k=1,2,…,m,

其中1位于第k個位置.記

ti=(ti,1,ti,2,…,ti,d),tih=(ti,1h,ti,2h,…,ti,dh),i=1,2,…,m+1,

則由式(2)可得

其等價于

(7)

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理2對任意給定的二階微分不變子空間

(8)

證明: 由上述分析可知, 在離散逼近算法思想下, 空間δ0°Q(D)可被離散的充分必要條件是下列方程組有解:

(9)

方程組(9)中最后一個等式成立是由定理1及

因此方程組(9)最后一個等式的左端為

令其與式(9)右端相等可知結(jié)論成立.證畢.

推論1設(shè)有插值條件形如spanF{δz°q(D):q∈Qz}的Hermite型插值問題, 且Qz具有定理2所述形式, 若方程(8)有解, 則該Hermite型插值問題可寫成Lagrange插值的極限形式.

注2若所考慮插值問題對應(yīng)的Qz基底中包含多個二次多項式, 則只需在方程組(9)中添加相應(yīng)的等式再求解即可.

3 應(yīng)用實(shí)例

定理2利用離散逼近算法的思想, 結(jié)合微分不變子空間的結(jié)構(gòu)給出了二階微分不變子空間對應(yīng)的Hermite型插值問題可以離散的充要條件. 文獻(xiàn)[11]由于事先確定了一階離散節(jié)點(diǎn), 得到的只是該問題的充分條件. 考慮文獻(xiàn)[11]中的例3, 文獻(xiàn)[11]給出的方法無法計算出其離散節(jié)點(diǎn), 但利用本文定理2可以計算得到其離散節(jié)點(diǎn).

假設(shè)有Hermite型插值問題, 插值條件構(gòu)成的空間為

(10)

按本文理論,

Q=spanF{1,x,y,x2+y2},

根據(jù)定理2, 節(jié)點(diǎn)z0(h)=(0,0),zi(h)=(ti,1h,ti,2h)=(ti,1,ti,2)h(i=1,2,3)構(gòu)成空間δ0°Q(D)一組離散節(jié)點(diǎn)的充要條件是下列關(guān)于參數(shù)ti=(ti,1,ti,2)(i=1,2,3)及組合系數(shù)的方程組有解:

(11)

在MAPLE上求解方程組(11)并取其一組解, 可得離散節(jié)點(diǎn):

z0(h)=(0,0),z1(h)=(h,0),z2(h)=(2h,2h),z3(h)=(2h,-5h),

即節(jié)點(diǎn)(0,0),(h,0),(2h,2h),(2h,-5h)上的Lagrange插值問題當(dāng)h→0時收斂到插值條件形如式(10)的Hermite型插值問題.