非線性含參系統(tǒng)無窮多正周期解的存在性

楊 偉

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

一階微分方程周期邊值問題在生物醫(yī)學、 經(jīng)濟學、 工程和物理學等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 例如, 超音速流中飛行器壁板的氣動彈性穩(wěn)定性問題, 常微分方程組下的中等收入陷阱問題, 醫(yī)學中處理心臟舒張問題常用的Carathéodory方程模型[1]

y′(t)=ay(t)+f(t),

(1)

以及生物學中研究種群捕食關(guān)系的Lotka-Volterra模型[2]

(2)

等. 其中關(guān)于單個方程周期邊值問題正解的存在性研究目前已有許多成果[3-7]. 例如, Chen等[3]研究了一階周期邊值問題

(3)

定理1[3]假設(shè)下列條件成立:

2) 存在χ?0, 使得p∶=a+χ?0;

3)f∈C([0,T]×[0,∞),[0,∞)),f(t,u)≥-χ(t)u.

但關(guān)于系統(tǒng)周期邊值問題正解的存在性研究目前文獻報道較少[8-9]: Precup[8]研究了一階非線性微分方程系統(tǒng)

(4)

定理2[8]假設(shè)存在αi,βi>0且αi≠βi(i=1,2), 使得

B1ωΓ1≤α1,A1ωγ1≥β1,

B2ωΓ2≤α2,A2ωγ2≥β2,

則問題(4)至少存在一個正周期解, 其中Ai,Bi,Γi(i=1,2)的表達式參見文獻[4].

(5)

無窮多正周期解的存在性.本文總假設(shè):

(H1)a,b: [0,1]→[0,∞)是連續(xù)函數(shù)且在[0,1]的任意子區(qū)間上不恒為零;

(H2)f,g: [0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)函數(shù).

為方便, 定義

z∶=(u,v)T, ‖z‖=‖u‖∞+‖v‖∞,

w∶=(f,g)T, ‖w‖1=‖f‖1+‖g‖1,

其中

設(shè)G(t,s)為非線性含參系統(tǒng)(5)對應(yīng)的Green函數(shù), 定義

1 預備知識

1) ‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1, ‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2;

2) ‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1, ‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2.

定義1[11]假設(shè)B是一個n×n常數(shù)矩陣, 定義矩陣指數(shù)eB為下列矩陣級數(shù)之和：

(6)

其中E為n階單位矩陣,Bm是矩陣B的m次冪, 這里規(guī)定B0=E, 0!=1.

注1定義1的級數(shù)對所有的B都是收斂的.

注2對定義1中任意矩陣B, eB存在, 且

(eB)-1=e-B.

(7)

引理2[11]假設(shè)x=(x1,x2,…,xn),B是n階常數(shù)矩陣, 則齊次線性微分方程組x′=Bx的基解矩陣為Φ(t)=eBt且Φ(0)=E.

引理4假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則非線性含參系統(tǒng)(5)等價于積分方程

(8)

其中

(9)

證明: 系統(tǒng)(5)可表示為

z′(t)+A(t)z(t)=λw(t,z(t)),

(10)

(11)

對式(11)關(guān)于0到t積分, 可得

對式(11)關(guān)于t到1積分, 可得

由u(0)=u(1)可得

從而

證畢.

定義Banach空間X如下: 設(shè)X={z(·)∈C([0,1],[0,∞)×[0,∞)):z(0)=z(1)}, 并設(shè)

是X中的錐.定義算子Tλ:K→X, 則

(12)

引理5假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則Tλ(K)?K.

證明: 假設(shè)z=(u,v)T∈K, 則

引理6假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則算子Tλ:K→K是一個緊算子.

證明: 考慮式(12).設(shè)S?C[0,1]是一個有界集, 則存在常數(shù)D>0, 使得對任意的z∈S, ‖z‖≤D.再結(jié)合w的連續(xù)性, 可得w在[0,1]×[0,D]中是一致連續(xù)的.從而可設(shè)存在常數(shù)F>0, 使得|w(t,z(t))|≤F,z∈[0,D], 于是

因此算子Tλ:K→K是一致有界的.

對任意的t1,t2∈[0,1](t1

記L∶=2λFM′, 則有

|Tλz(t1)-Tλz(t2)|

|Tλz(t1)-Tλz(t2)|<ε.

因此, 算子Tλ:K→K是等度連續(xù)的.根據(jù)Arzela-Ascoli定理[11], 算子Tλ:K→K是緊的.證畢.

2 主要結(jié)果

定理3假設(shè)m∈∪{+∞}, 且存在點列使得

rk+1

對于A∈(0,Λ2),B∈(Λ1,+∞)及每個自然數(shù)k, 假設(shè)w滿足如下條件:

(i) 當σrk<‖z‖

(ii) 當0<‖z‖

{Ω1,k}={z∈K: ‖z‖

{Ω2,k}={z∈K: ‖z‖

對每個固定的常數(shù)k, 當z∈K∩?Ω1,k時, 有

對任意的s∈[0,1], 結(jié)合條件(i), 有

即當條件(i)成立時, 有

‖Tλz‖≥‖z‖.

(13)

另一方面, 當z∈K∩?Ω2,k時, 有

z(s)≤‖z‖,

(14)

對任意的s∈[0,1], 結(jié)合條件(ii), 有

即當條件(ii)成立時, 有

‖Tλz‖≤‖z‖.

(15)

根據(jù)引理1中條件1), 可得算子Tλ有m個不動點.將這些不動點用αk表示, 則其滿足

rk≤‖αk‖≤Rk,k=1,2,…,m.

{Ω3,k}={z∈K: ‖z‖

對每個固定的常數(shù)k, 當z∈K∩?Ω3,k時, 式(14)成立.對任意的s∈[0,1], 結(jié)合條件(ii), 有

即當條件(ii)成立時, 式(15)成立.另一方面, 結(jié)合式(15)及引理1中條件2), 可得算子Tλ有(m-1)個不動點.將這些不動點用βk表示, 則其滿足

Rk+1≤‖βk‖≤rk,k=1,2,…,m-1.

因此, 非線性含參系統(tǒng)(5)有(2m-1)個正周期解.證畢.

注3當m=+∞時, 非線性含參系統(tǒng)(5)有無窮多個正周期解.