B-S-M期權(quán)定價(jià)模型和二叉樹(shù)模型運(yùn)用對(duì)比分析

段一超

（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué),河北 石家莊 050061）

金融衍生工具的定價(jià)問(wèn)題一直是金融衍生品領(lǐng)域中重點(diǎn)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，因?yàn)橥顿Y者在金融市場(chǎng)上進(jìn)行衍生品交易時(shí)，一個(gè)合理的定價(jià)是非常重要的。而在所有金融衍生工具定價(jià)中，期權(quán)定價(jià)最為復(fù)雜。目前基本上為人熟知的B-S-M期權(quán)定價(jià)模型和二叉樹(shù)模型作為兩大主流期權(quán)定價(jià)模型，可謂在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域具有里程碑意義。

1 兩種期權(quán)定價(jià)模型

1.1 B-S-M期權(quán)定價(jià)模型

B-S-M期權(quán)定價(jià)模型可以為支付已知金額的歐式股息收入以及歐式看漲和看跌期權(quán)定價(jià)，假設(shè)條件有：（1）股價(jià)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；（2）股票可以賣空；（3）市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；（4）無(wú)交易費(fèi)用和稅費(fèi)；（5）股票可以無(wú)限細(xì)分；（6）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)，保持不變；（7）期權(quán)為歐式期權(quán)。

B-S-M期權(quán)定價(jià)模型的主要思路：在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)下，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)由期權(quán)與股票組成的資產(chǎn)組合，該資產(chǎn)組合的收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，由此得到滿足隨機(jī)微分方程的期權(quán)價(jià)格，該期權(quán)價(jià)格即為B-S-M模型的理論期權(quán)價(jià)格。該模型認(rèn)為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格受到同種因素的影響，因此遵循相同的布朗運(yùn)動(dòng)，而通過(guò)構(gòu)建期權(quán)與股票的資產(chǎn)組合可以達(dá)到相互抵消布朗運(yùn)動(dòng)的效果，從而得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率[1]。因此歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型相關(guān)計(jì)算公式表示如下：

1.2 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型

二叉樹(shù)模型是針對(duì)離散形式的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，對(duì)特定時(shí)點(diǎn)的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的模型。但是該模型不適用特征不明確的標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)。假設(shè)條件為：（1）交易成本和稅費(fèi)為0；（2）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變；（3）股票不支付股息和紅利；（4）標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率保持不變；（5）以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行借貸。

二叉樹(shù)模型主要采取倒推追蹤法來(lái)對(duì)初始時(shí)刻的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。假設(shè)從初始時(shí)刻到交易日一直呈現(xiàn)不斷延伸的樹(shù)狀形，每一次都會(huì)出現(xiàn)兩種可能的情形，即價(jià)格上升或價(jià)格下降，分別用u和d表示，因此下一步長(zhǎng)的價(jià)格就分別為S0×u和S0×d，計(jì)算步驟不斷被重復(fù)，直到初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格被計(jì)算出為止。同時(shí)該模型認(rèn)為在風(fēng)險(xiǎn)中立的情形下，某一步長(zhǎng)的期權(quán)價(jià)格等于下一步長(zhǎng)兩節(jié)點(diǎn)標(biāo)的物價(jià)格的加權(quán)價(jià)值的折現(xiàn)值[2]。相關(guān)計(jì)算公式如下：

其中，該模型主要包含以下參數(shù)：到期時(shí)間T、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S、執(zhí)行價(jià)格K、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、波動(dòng)率σ、看漲期權(quán)價(jià)格C、看跌期權(quán)價(jià)格P。N為正態(tài)分布函數(shù)。

模型主要涉及的參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格S0、執(zhí)行價(jià)格K、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、期權(quán)到期時(shí)間T、波動(dòng)率σ、價(jià)格上漲的比率u、價(jià)格下降的比率d、價(jià)格上漲的概率P、步長(zhǎng)（節(jié)點(diǎn)）n、看漲期權(quán)價(jià)格C。

2 兩種期權(quán)定價(jià)模型的實(shí)際應(yīng)用——虛值認(rèn)購(gòu)權(quán)證

2.1 樣本選取與數(shù)據(jù)處理

選取在美國(guó)紐約證券交易所上市的阿里巴巴（BABA）股票認(rèn)購(gòu)虛值期權(quán)作為研究對(duì)象，代碼為BABA|20211217|270.00C，是以阿里巴巴（BABA）股票為標(biāo)的的虛值認(rèn)購(gòu)期權(quán)，行權(quán)價(jià)格K=$270，到期日為2021年12月17日，距離當(dāng)前時(shí)刻2021年6月16日間隔185天，即T=0.506 9年。以下是其他重要參數(shù)的確定。

（1）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。根據(jù)研究日期為2021年6月16日距離期權(quán)到期日還有0.506 9年，選取美國(guó)國(guó)庫(kù)券一年期利率5%作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r（數(shù)據(jù)來(lái)源于美聯(lián)儲(chǔ)官網(wǎng)）。

（2）對(duì)數(shù)日收益率。將股價(jià)收盤價(jià)作為計(jì)算依據(jù)，同時(shí)對(duì)收盤價(jià)取對(duì)數(shù)，以減少異方差的影響。

（3）波動(dòng)率σ。采用歷史波動(dòng)率預(yù)測(cè)股票波動(dòng)率，采用標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算阿里巴巴（BABA）自2020年6月15日至2021年6月15日共計(jì)252個(gè)交易日的歷史波動(dòng)率。計(jì)算公式：波動(dòng)率σ=樣本標(biāo)準(zhǔn)差×每年交易天數(shù)^(1/2)。

（4）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S。選取2021年6月15日阿里巴巴（BABA）股票當(dāng)天收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，即S=210.06美元。

2.2 B-S-M期權(quán)定價(jià)模型實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于B-S-M期權(quán)定價(jià)模型，在運(yùn)用其對(duì)股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)前，要初步驗(yàn)證該股票是否滿足期權(quán)定價(jià)的假設(shè)條件，尤其是股票價(jià)格是否服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布這一假設(shè)。根據(jù)阿里巴巴（BABA）在過(guò)去252個(gè)交易日所形成的收盤價(jià)的對(duì)數(shù)日收益率，運(yùn)用MATLAB R2014b軟件繪制分布圖，結(jié)果如圖1所示。

圖1 阿里巴巴（BABA）對(duì)數(shù)日收益率分布圖

由圖1可知，股票對(duì)數(shù)日收益率在過(guò)去252個(gè)交易日內(nèi)近似服從正態(tài)分布，初步滿足B-S-M期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)，因此可以運(yùn)用B-S-M對(duì)其進(jìn)行定價(jià)。同時(shí)運(yùn)用EXCEL軟件的STDEV函數(shù)根據(jù)252天的日對(duì)數(shù)收益率計(jì)算得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差=0.025 5，代入公式可得波動(dòng)率σ=40.46%。

根據(jù)英為財(cái)情公布的阿里巴巴股票認(rèn)購(gòu)期權(quán)（BABA|20211217|270.00C）相關(guān)數(shù)據(jù)，已知：S=$210.06，K=$270，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。接著利用MATLAB R2014b軟件中的內(nèi)置函數(shù)blsprice可以直接實(shí)現(xiàn)B-S-M期權(quán)定價(jià)模型。由此得出Call=$8.332 1，即看漲虛值期權(quán)合約的理論價(jià)格為8.332 1美元。將該期權(quán)定價(jià)的理論價(jià)格8.332 1美元與研究當(dāng)日（2021年6月16日）期權(quán)的最新價(jià)格4.3美元相比，發(fā)現(xiàn)B-S-M期權(quán)定價(jià)模型所計(jì)算的阿里巴巴股票期權(quán)價(jià)格高于市場(chǎng)價(jià)格，可能原因是波動(dòng)率的假設(shè)不滿足、股票價(jià)格連續(xù)變動(dòng)的假設(shè)不滿足、股票發(fā)放紅利的忽略等導(dǎo)致由模型計(jì)算出來(lái)的期權(quán)理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格出現(xiàn)偏差[3]。

2.3 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型，同樣利用MATLAB R2014b軟件為阿里巴巴股票認(rèn)購(gòu)虛值期權(quán)（BABA|20211217|270.00C）進(jìn)行定價(jià)，相關(guān)參數(shù)已知：S=$210.06，K=$270，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。將二叉樹(shù)模型步數(shù)設(shè)定為5 000步。利用MATLAB軟件可計(jì)算得出期權(quán)價(jià)格OptionPrice=$8.3320。

為驗(yàn)證二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型與B-S-M期權(quán)定價(jià)模型之間的關(guān)聯(lián)性，通過(guò)改變二叉樹(shù)模型步數(shù)的設(shè)定來(lái)實(shí)現(xiàn)，相關(guān)計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 二叉樹(shù)模型步數(shù)設(shè)定變化對(duì)應(yīng)的看漲虛值期權(quán)的理論價(jià)格

從上述結(jié)果可以看出，隨著二叉樹(shù)模型步數(shù)的不斷增加，其期權(quán)定價(jià)結(jié)果更加收斂和精確。因?yàn)槎鏄?shù)模型是B-S-M模型在離散時(shí)間上的近似，因此在相同時(shí)間內(nèi)所分隔的期數(shù)越大，即步數(shù)越大，其近似效果越好。將步數(shù)定為5 000步時(shí)，其期權(quán)定價(jià)基本維持在8.332 0美元左右，這與B-S-M期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的結(jié)果8.332 1美元極為相似。

以B-S-M期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格8.332 1美元為基準(zhǔn)，計(jì)算目前的市場(chǎng)價(jià)格4.3美元與期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算的期權(quán)價(jià)格之間的偏離度，根據(jù)公式：偏離度=（|實(shí)際價(jià)格－理論價(jià)格|）/理論價(jià)格。經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，阿里巴巴股票認(rèn)購(gòu)虛值期權(quán)的偏離度為0.483 9。就該股票而言，當(dāng)二叉樹(shù)模型的步數(shù)設(shè)定為5 000步時(shí)，兩者的偏離度相差不大，但是如果二叉樹(shù)模型的步數(shù)較少，如為100步時(shí)，理論價(jià)格為8.356 3美元，其偏離度為0.485 4，相比5 000步的步數(shù)設(shè)定，偏離度有所增加。因此認(rèn)為，二叉樹(shù)模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格的偏離度一般會(huì)高于B-S-M模型的偏離度[4]。

3 兩種期權(quán)定價(jià)模型的實(shí)際應(yīng)用——虛值認(rèn)沽權(quán)證

為比較期權(quán)定價(jià)模型在虛值認(rèn)購(gòu)權(quán)證和虛值認(rèn)沽權(quán)證中的適用性，以及兩種期權(quán)定價(jià)模型在看漲和看跌期權(quán)上的定價(jià)效果差異，同時(shí)排除其他因素對(duì)定價(jià)效果的干擾，通過(guò)選取同一只股票（BABA）相同到期日的股票權(quán)證對(duì)其虛值認(rèn)沽權(quán)證進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

3.1 樣本選取與數(shù)據(jù)處理

選取以阿里巴巴股票為標(biāo)的的認(rèn)沽虛值期權(quán)為研究對(duì)象，代碼：BABA|20211217|150.00P，行權(quán)價(jià)格K=$150，到期日2021年12月17日，距離當(dāng)前時(shí)刻2021年6月16日間隔185天，T=0.506 9年。重要參數(shù)確定如阿里巴巴股票虛值認(rèn)購(gòu)權(quán)證所述。

3.2 B-S-M期權(quán)定價(jià)模型實(shí)際應(yīng)用

由于標(biāo)的和選取時(shí)間區(qū)間不變，其日對(duì)數(shù)收益率計(jì)算得到樣本標(biāo)準(zhǔn)=0.025 5，波動(dòng)率σ=40.46%，保持不變。根據(jù)英為財(cái)情公布的阿里巴巴股票認(rèn)購(gòu)期權(quán)（BABA|20211217|150.00P）相關(guān)數(shù)據(jù)，已知：S=$210.06，K=$150，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。同樣利用函數(shù)blsprice實(shí)現(xiàn)B-S-M期權(quán)定價(jià)模型，得出結(jié)論：Put=$2.499 1，即看跌虛值期權(quán)合約的理論價(jià)格為2.499 1美元。

將該期權(quán)定價(jià)的理論價(jià)格2.499 1美元與研究當(dāng)日（2021年6月16日）期權(quán)最新價(jià)格2.54美元相比，發(fā)現(xiàn)：相對(duì)于看漲虛值期權(quán)價(jià)格偏離度為0.483 9，使用B-S-M期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算看跌虛值期權(quán)的價(jià)格偏離度為0.016 4。因此得出結(jié)論：對(duì)于阿里巴巴股票而言，B-S-M期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于看跌虛值期權(quán)比看漲虛值期權(quán)定價(jià)的適用性更強(qiáng)，定價(jià)效果更好[5]。

3.3 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型，利用MATLAB R2014b軟件為阿里巴巴股票認(rèn)沽虛值期權(quán)（BABA|20211217|150.00P）進(jìn)行定價(jià)，相關(guān)參數(shù)已知：S=$210.06，K=$150，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。二叉樹(shù)模型步數(shù)設(shè)定為5 000步。計(jì)算得出，相同執(zhí)行價(jià)格的看漲虛值期權(quán)的價(jià)格OptionPrice=$66.313 2美元，運(yùn)用看漲看跌期權(quán)平價(jià)定理P=C+Xλ-rT-S已知：C=$66.313 2，X=$150，S=$210.0 6，r=5%，T=0.506 9；計(jì)算得到相同執(zhí)行價(jià)格的看跌虛值期權(quán)的價(jià)格Put=$2.499 2。

為了驗(yàn)證二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型與B-S-M期權(quán)定價(jià)模型之間的關(guān)聯(lián)性，再次改變二叉樹(shù)模型步數(shù)的設(shè)定來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，看漲虛值期權(quán)和看跌虛值期權(quán)的理論結(jié)果具體如下表所示：

表2 二叉樹(shù)模型步數(shù)設(shè)定變化對(duì)應(yīng)的看跌虛值期權(quán)的理論價(jià)格

由上表可知，當(dāng)看跌虛值期權(quán)的步數(shù)設(shè)定為5 000步時(shí)，二叉樹(shù)模型定價(jià)結(jié)果為2.499 2美元，B-S-M模型的定價(jià)結(jié)果為2.499 1美元。

4 B-S-M期權(quán)定價(jià)模型與二叉樹(shù)模型對(duì)比總結(jié)

通過(guò)將兩種期權(quán)定價(jià)模型在阿里巴巴（BABA）股票認(rèn)購(gòu)與認(rèn)沽虛值期權(quán)上的實(shí)際應(yīng)用，結(jié)合兩種期權(quán)定價(jià)模型在理論上存在的差異，得出以下結(jié)論：

不管是看漲還是看跌期權(quán)定價(jià)，一般來(lái)說(shuō)，B-S-M期權(quán)定價(jià)模型的精確度更高，因?yàn)锽-S-M考察的是連續(xù)時(shí)間上的價(jià)格變動(dòng)，而二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)考察的是離散時(shí)間上的價(jià)格變動(dòng)。所以當(dāng)二叉樹(shù)模型設(shè)定的步數(shù)越多時(shí)，所計(jì)算的期權(quán)價(jià)格就越逼近于B-S-M期權(quán)定價(jià)模型所計(jì)算的價(jià)格。

相對(duì)于二叉樹(shù)模型，B-S-M期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件更為嚴(yán)苛，但由此計(jì)算出的期權(quán)理論價(jià)格與市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格的偏離度也一般要小于二叉樹(shù)模型定價(jià)結(jié)果的偏離度，因此認(rèn)為B-S-M期權(quán)模型定價(jià)效率更高。

對(duì)于阿里巴巴股票而言，運(yùn)用兩種期權(quán)定價(jià)模型對(duì)虛值認(rèn)購(gòu)和虛值認(rèn)沽期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，將其定價(jià)結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格比較，發(fā)現(xiàn)看跌虛值期權(quán)計(jì)算出的期權(quán)理論價(jià)格與市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格的偏離度（0.016 4）要小于看漲虛值期權(quán)計(jì)算出的偏離度（0.483 9）。因此認(rèn)為，兩種期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于看跌虛值期權(quán)的定價(jià)效率更高[6]。