2021年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”專題命題分析

黃厚忠 陳桂明

摘? 要：通過(guò)對(duì)2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的比較分析，總結(jié)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題的命題方法，探求命題意圖，揭示命題規(guī)律，給出教學(xué)建議和復(fù)習(xí)策略.

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù);命題原理;教學(xué)建議;復(fù)習(xí)策略

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用. 因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容一直是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)，呈現(xiàn)出題量多、分值大、區(qū)分度高、選拔性強(qiáng)的特點(diǎn).

一、內(nèi)容分析

2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷，依然將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)列為重點(diǎn)考查內(nèi)容，在命題理念、題項(xiàng)設(shè)置、分值分布方面大同小異;在知識(shí)內(nèi)容、思想方法、素養(yǎng)能力考查方面既保持一定的穩(wěn)定性，又有變化創(chuàng)新. 2021年高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命題特點(diǎn)表現(xiàn)為：命題以課程標(biāo)準(zhǔn)為綱，以考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)，試題發(fā)端于平常，源于教材，在平凡中見(jiàn)不平凡，既精巧雅致又綜合恢弘. 限于篇幅，本文僅對(duì)4套（6份）全國(guó)卷進(jìn)行分析，北京、上海、天津、浙江4套試卷的命題特點(diǎn)與全國(guó)卷基本相同，其命題分析可參照本文. 2021年全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考查情況匯總?cè)缦卤硭?

試題特點(diǎn)分析如下.

（1）與往年相比，2021年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題在題型、題量上基本保持穩(wěn)定，選擇題、填空題、解答題均有考查，一般按“三小一大”的規(guī)律分布.

（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在每份試卷中所占的分?jǐn)?shù)均在22 ～ 27分，比重較大，可見(jiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中不可忽視的重要地位.

（3）2021年高考全國(guó)卷中均有函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題作為壓軸題，凸顯了其區(qū)分度高、選拔性強(qiáng)的特點(diǎn).

（4）考點(diǎn)覆蓋全面，對(duì)函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容實(shí)現(xiàn)考查全覆蓋.

（5）數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵豐富，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法緊密聯(lián)系，突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.

二、用初等方法研究基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般通過(guò)選擇題和填空題兩種題型進(jìn)行考查，通過(guò)最基本的初等函數(shù)的組合疊加，構(gòu)造新的函數(shù)，考查函數(shù)的定義域、值域、圖象、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì). 函數(shù)的表達(dá)類型包括整式型、分式型、根式型、分段型、絕對(duì)值型等.

例1 （全國(guó)甲卷·文4）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（? ? ）.

（A）[fx=-x] （B）[fx=23x]

（C）[fx=x2] （D）[fx=x3]

【評(píng)析】此題以基本的一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)為載體，以選擇題的形式對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“基礎(chǔ)性”原則，屬于簡(jiǎn)單題.

例2 （全國(guó)乙卷·文8）下列函數(shù)中最小值為[4]的是（? ? ）.

（A）[y=x2+2x+4] （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x] （D）[y=ln x+4ln x]

【評(píng)析】此題考查函數(shù)求最值的方法：?jiǎn)握{(diào)性和利用基本不等式. 函數(shù)類型涉及二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù). 形式上有整式型、分式型、絕對(duì)值型. 所有函數(shù)表達(dá)形式都源于教材，命題精巧靈活，解法多樣，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“多樣性”原則.

例3 （全國(guó)乙卷·文9 / 理4）設(shè)函數(shù)[fx=1-x1+x，]則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（? ? ）.

（A）[fx-1-1] （B）[fx-1+1]

（C）[fx+1-1] （D）[fx+1+1]

【評(píng)析】此題是根據(jù)已知函數(shù)表達(dá)式，判斷另一函數(shù)的性質(zhì). 可以求出四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式判斷函數(shù)的對(duì)稱性. 但是如果能夠發(fā)現(xiàn)[fx=][1-x1+x=-1+21+x]的對(duì)稱中心為[-1，-1，] 利用平移變換即可直接得到答案. 此題以一次分式函數(shù)的對(duì)稱性為命題起點(diǎn)，考查函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱性的判斷. 對(duì)稱性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美，一直受到高考命題者的青睞. 命題從一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)出發(fā)，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行深度研究，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“創(chuàng)新性”原則.

例4 （全國(guó)甲卷·文12）設(shè)[fx]是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且[f1+x=f-x.] 若[f-13=13，] 則[f53]的值為（? ? ）.

（A）[-53]? （B）[-13]? （C）[13]? （D）[53]

【評(píng)析】此題在第12題的位置，具有區(qū)分性和選拔功能. 此題無(wú)函數(shù)表達(dá)式，以抽象函數(shù)為載體，考查函數(shù)的對(duì)稱性和周期性. 作為選擇題解法多樣，可以推理轉(zhuǎn)化，運(yùn)用條件[f-x=-fx]和[f1+x=f-x，]將[f53]進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即[f53=f1+23=f-23=-f23=][-f1-13=-f13=f-13;] 也可以構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱軸為[x=12]的奇函數(shù)，首先想到三角函數(shù)[fx=Asinπx.] 當(dāng)然，如果能看出函數(shù)的周期為2，則立刻得出答案. 此題能很好地考查學(xué)生的閱讀理解、轉(zhuǎn)化翻譯、邏輯推理、運(yùn)算求解和構(gòu)造能力，屬較難題. 比較全面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“綜合性”原則.

例5 （全國(guó)甲卷·理12）設(shè)函數(shù)[fx]的定義域?yàn)镽，[fx+1]為奇函數(shù)，[fx+2]為偶函數(shù)，當(dāng)[x∈1，2]時(shí)，[fx=ax2+b.] 若[f0+f3=6，] 則[f92]的值為（? ? ）.

（A）[-94]? ?（B）[-32]? ?（C）[74]? ?（D）[52]

【評(píng)析】明顯可以看出，全國(guó)甲卷的文、理科第12題為姊妹題，考查的內(nèi)容都是函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，但在給出的條件形式上，理科比文科復(fù)雜. 高考文、理科同類型試題往往呈現(xiàn)姊妹題特征，一般文科比較簡(jiǎn)單，理科試題在文科試題上延展深入，思維拔高，落實(shí)深度學(xué)習(xí)要求，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題的“研究性”原則.

例6 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·13）已知函數(shù)[fx=][x3a ? 2x-2-x]是偶函數(shù)，則[a]的值為? ? ? ? .

【評(píng)析】此題以填空題的形式呈現(xiàn)，考查基本初等函數(shù)的奇偶性. 函數(shù)類型涉及冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù). 根據(jù)填空題的特點(diǎn)，可以利用[f-x=fx]恒等求出參數(shù)[a]的值，也可以用特殊值法求解.

例7 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·14）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______.

①[fx1x2=fx1fx2;]

② 當(dāng)[x∈0，+∞]時(shí)，[fx>0;]

③[fx]是奇函數(shù).

【評(píng)析】此題要求根據(jù)函數(shù)滿足的幾個(gè)條件，寫(xiě)出具體的函數(shù)解析式，答案不唯一，考查學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性. 此題以開(kāi)放的形式，給不同水平的學(xué)生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間. 未來(lái)高考將會(huì)加大對(duì)開(kāi)放試題和結(jié)構(gòu)不良試題的考查力度，師生務(wù)必引起注意.

函數(shù)的概念、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）、圖象、最值與值域等是函數(shù)主干知識(shí)，也是基本內(nèi)容，更是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備知識(shí)，因而倍受高考命題者的青睞. 命題時(shí)難度控制自如隨意，解題思想方法靈活多樣，能有效考查學(xué)生的數(shù)感、量感、形感. 試題區(qū)分度較高，能夠讓不同層次的學(xué)生都有獲得感. 命題題型一般為選擇題和填空題，同時(shí)關(guān)注開(kāi)放試題、結(jié)構(gòu)不良試題的考查形式，全國(guó)新高考Ⅱ卷第14題就是探索與嘗試.

三、用導(dǎo)數(shù)研究基本初等函數(shù)

對(duì)導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用的考查一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的后半部分，主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程和函數(shù)的最值，試題難度中等偏上，具有很好的區(qū)分度與選拔性.

例8 （全國(guó)甲卷·理13）曲線[y=2x-1x+2]在點(diǎn)[-1，-3]處的切線方程為? ? ? ? ? ?.

【評(píng)析】此題以一次分式函數(shù)為背景進(jìn)行命制，考查求切線方程的方法，直接求導(dǎo)即可求解，屬于簡(jiǎn)單題. 而全國(guó)新高考Ⅰ卷中涉及切線問(wèn)題的試題，則比較復(fù)雜.

例9 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·7）若過(guò)點(diǎn)[a，b]可以作曲線[y=ex]的兩條切線，則（? ? ）.

（A）[eb<a] （B）[ea<b]

（C）[0<a<eb] （D）[0<b<ea]

【評(píng)析】此題以常見(jiàn)的指數(shù)函數(shù)為命題背景，簡(jiǎn)潔明快，但內(nèi)涵豐富，具有很好的區(qū)分度，不同思維水平的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的解法. 如果利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，運(yùn)算量很大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 此題表面考查切線問(wèn)題，實(shí)則考查學(xué)生對(duì)函數(shù)[y=ex]圖象的理解程度，如漸近性和凸凹性. 能很好地考查學(xué)生的直覺(jué)思維，特別是利用函數(shù)圖象分析問(wèn)題的能力. 如下圖，畫(huà)出函數(shù)[y=ex]的圖象，即可直觀判定當(dāng)點(diǎn)[a，b]在曲線下方、

[x]軸上方時(shí)，才可以作出兩條切線. 由此可知[0<b<ea.] 此題重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，避免了“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，充分發(fā)揮了高考指揮棒的作用，可謂獨(dú)具匠心，在平凡處見(jiàn)不平凡.

導(dǎo)數(shù)的另外應(yīng)用是求函數(shù)的極值和最值.

例10 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·15）函數(shù)[fx=2x-1][-2lnx]的最小值為? ? ? .

【評(píng)析】全國(guó)新高考Ⅰ卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題涉及的函數(shù)類型較多，第7題為指數(shù)函數(shù)，第15題為對(duì)數(shù)函數(shù)求最值. 形式上有絕對(duì)值、去絕對(duì)值符號(hào)分類討論等. 同樣是求函數(shù)的最值、極值問(wèn)題，全國(guó)乙卷無(wú)論在函數(shù)形式上，還是命題難度上都要比全國(guó)新高考Ⅰ卷復(fù)雜.

例11 （全國(guó)乙卷·文12 / 理10）設(shè)[a≠0，] 若[x=a]為函數(shù)[fx=ax-a2x-b]的極大值點(diǎn)，則（? ? ）.

（A）[a<b] （B）[a>b] （C）[ab<a2] （D）[ab>a2]

【評(píng)析】此題以三次函數(shù)為命題素材. 可以模擬三次函數(shù)的圖象，分析出[a]的正負(fù);也可以構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，得到答案. 此題立意新穎，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，以及學(xué)生的分析和構(gòu)造能力.

選擇題和填空題中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題一般以三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)作為命題載體;考查內(nèi)容一般為曲線問(wèn)題和最值問(wèn)題;解題方法一般涉及分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想. 命題者也希望學(xué)生能夠充分運(yùn)用選擇題和填空題的特點(diǎn)，采用排除、構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合等方法和策略，達(dá)到“小題小做”“難題巧做”的效果;在難度控制上，因?yàn)榻獯痤}中必有一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，且一般為難題，所以相關(guān)選擇題和填空題的難度一般控制在中檔難度. 教師在復(fù)習(xí)訓(xùn)練中要有“減負(fù)”意識(shí)，不要加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān);試題形式一般呈現(xiàn)清新雅致的特點(diǎn)，讓學(xué)生感到既似曾相識(shí)，又新穎別致.

四、解答題命題分析

解答題中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題一般出現(xiàn)在試卷最后兩題的位置，以導(dǎo)數(shù)為重要工具，研究函數(shù)的性質(zhì). 從函數(shù)的切線、對(duì)稱軸、極值點(diǎn)、零點(diǎn)出發(fā)，考查學(xué)生理解數(shù)學(xué)字母或符號(hào)的能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新能力. 試題命制背景比較深刻，要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解，能夠全方位考查學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

例12 （全國(guó)甲卷·文20）設(shè)函數(shù)[fx=a2x2+ax][-3ln x+1，] 其中[a>0.]

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）若[y=fx]的圖象與[x]軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求[a]的取值范圍.

【評(píng)析】此題中的函數(shù)源于教材. 將一個(gè)常數(shù)系數(shù)變成參數(shù)后，函數(shù)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)和切線位置發(fā)生變化，進(jìn)而可以研究直線與曲線的位置關(guān)系，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行考查.

例13 （全國(guó)甲卷·理21）已知[a>0]且[a≠1，] 函數(shù)[fx=xaax x>0.]

（1）當(dāng)[a=2]時(shí)，求[fx]的單調(diào)區(qū)間;

（2）若曲線[y=fx]與直線[y=1]有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求[a]的取值范圍.

【評(píng)析】例12和例13為一對(duì)姊妹題，雖然函數(shù)形式不一樣，但命題理念一致. 函數(shù)[y=xa]和[y=ax]分別是學(xué)生熟悉的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，將這兩個(gè)函數(shù)相除得到的新函數(shù)又有哪些性質(zhì)可以研究？命題者信手拈來(lái)，舊瓶裝新酒，讓人滿口余香.

例14 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)[fx=][x1-lnx.]

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）設(shè)[a，b]為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且[bln a-aln b=][a-b，] 證明：[2<1a+1b<e.]

【評(píng)析】[fx=x]和[fx=1-lnx]是學(xué)生熟悉且非常簡(jiǎn)單的兩個(gè)函數(shù)，將這兩個(gè)函數(shù)相乘，得到一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)又有什么性質(zhì)？[bln a-aln b=a-b]等價(jià)于[1+ln aa=1+ln bb，] 也就是[f1a=f1b.? 2<1a+] [1b<e]又有什么意義？這兩個(gè)式子實(shí)際上就是刻畫(huà)極值點(diǎn)偏移的一種方式，具有高等數(shù)學(xué)的背景.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題，立意高遠(yuǎn)，常取材于教材，然后通過(guò)改常量為變量的方法，增加函數(shù)性質(zhì)的不確定性，達(dá)到考查學(xué)生綜合能力的目的. 或者通過(guò)簡(jiǎn)單、常見(jiàn)函數(shù)的堆砌重組，構(gòu)造新的函數(shù)，讓學(xué)生感到既似曾相識(shí)，又新意迭出.

五、教學(xué)建議

在“雙減”背景下，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效益和質(zhì)量，優(yōu)化改進(jìn)高考命題形式，真正落實(shí)“一層”“四翼”和“四基”“四能”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮高考指揮棒的作用，為國(guó)家培養(yǎng)好人才，選好、選對(duì)人才，都是擺在我們面前需要解決的問(wèn)題. 對(duì)此，2021年高考進(jìn)行了有益的探討和嘗試.

要減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，教師要從被動(dòng)的解題者轉(zhuǎn)換為命題者，把握題目的實(shí)質(zhì)和本質(zhì). 無(wú)論是概念教學(xué)還是解題教學(xué)，始終要問(wèn)：為什么要提出這個(gè)概念？這個(gè)題目是怎樣命制出來(lái)的，題目的“根”生長(zhǎng)在什么地方？還能改編變式嗎？每道高考試題都是命題團(tuán)隊(duì)精心打磨的成果，試題具有典雅精致、背景深刻、內(nèi)涵豐富、解法眾多等特點(diǎn). 建議教師在日常教學(xué)中注意以下幾點(diǎn).

1. 認(rèn)識(shí)一條主線

函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線，衍生出數(shù)列、方程、不等式等內(nèi)容，可以和三角函數(shù)、解析幾何、向量等結(jié)合命題，延伸到微積分中的導(dǎo)數(shù)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性. 導(dǎo)數(shù)的介入豐富了研究函數(shù)的手段，也豐富了命題途徑.

2. 把握兩個(gè)“基本”

（1）基本類型：一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，表現(xiàn)形式有整式型、分式型、絕對(duì)值型、分段型. 對(duì)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)雖然試題中涉及多種類型的初等函數(shù)，但都是以最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式出現(xiàn)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合，推陳出新，讓人耳目一新. 為此，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生掌握經(jīng)典函數(shù)形式，如[y=ax±a-x，y=ax+bcx+d，y=fx±kfx.]

（2）基本性質(zhì)：表達(dá)式、定義域、最值、單調(diào)性、凸凹性、漸近性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)、拐點(diǎn)等. 函數(shù)的上述性質(zhì)是高考命題的主要內(nèi)容. 對(duì)于這些基本性質(zhì)概念的教學(xué)，教師一定要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到四個(gè)問(wèn)題：為什么？是什么？怎么判斷？有什么用？以單調(diào)性為例，要解決的四個(gè)問(wèn)題是：為什么要提出單調(diào)性這個(gè)概念？單調(diào)性的形式化定義是什么？怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性？函數(shù)的單調(diào)性有什么作用？

這兩個(gè)“基本”是體現(xiàn)基礎(chǔ)性最重要的內(nèi)容.

3. 培養(yǎng)三種能力

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題能較好地考查學(xué)生的直觀想象能力、運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力. 在教學(xué)中，在遇到一個(gè)新的函數(shù)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生不要急于求解，而是充分體會(huì)、想象這個(gè)函數(shù)“長(zhǎng)”什么樣. 從宏觀和微觀兩個(gè)方面分析啟發(fā)，從數(shù)和形兩個(gè)角度誘導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力. 學(xué)生有了較好的直觀想象能力，就隨之產(chǎn)生了創(chuàng)新能力.

4. 滲透四種思想

分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程是解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的四種重要數(shù)學(xué)思想. 這四種數(shù)學(xué)思想經(jīng)?；橐来?、結(jié)伴而行.

六、模擬題欣賞

1. 已知函數(shù)[y=fx]和[y=gx]分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且[f0=-4，fx=gx+2，] 則[gx]的解析式可以是（? ? ）.

（A）[y=-4sin πx4] （B）[y=4sin πx2]

（C）[y=-4cos πx4] （D）[y=4cos πx2]

答案：A.

2.（多選題）若函數(shù)[fx=-x3-x+2+m，x<1，x+1-lnx， x≥1] 的值域?yàn)閇2，+∞，] 則（? ? ）.

（A）[f3>f2]

（B）[m≥2]

（C）[fln 22>f1e]

（D）[logmm+1>logm+1m+2]

答案：ABD.

3. 若以函數(shù)[y=fx]的圖象上任意一點(diǎn)[Px1，y1]為切點(diǎn)作切線[l1，y=fx]圖象上總是存在異于點(diǎn)[P]的點(diǎn)[Qx2，y2，] 使得以[Q]為切點(diǎn)的直線[l2]與[l1]平行，則稱函數(shù)[fx]為“美函數(shù)”，下面四個(gè)函數(shù)中是“美函數(shù)”的是? ? ? ? .

①[y=x3-2x;] ②[y=3x+1x;]

③[y=cos x;] ④[y=x-22+ln x.]

答案：②③.

4. 已知函數(shù)[fx=1+mln x m∈R.]

（1）當(dāng)[m=2]時(shí)，一次函數(shù)[gx]對(duì)于任意的[x∈][0，+∞，] [fx≤gx≤x2]恒成立，求[gx]的表達(dá)式;

（2）討論關(guān)于[x]的方程[fxf1x=x2]的解的個(gè)數(shù).

答案：（1）[gx=2x-1;]

（2）當(dāng)[m≤0]時(shí)，原方程在[0，+∞]上有唯一解;

當(dāng)[0<m<1]時(shí)，原方程在[0，+∞]上有三個(gè)解;

當(dāng)[m≥1]時(shí)，原方程在[0，+∞]上有唯一解.

高考對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，資源豐富、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，源于教材又高于教材. 從簡(jiǎn)單函數(shù)出發(fā)，能構(gòu)造什么樣的函數(shù)？學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重積累，要有一雙“慧眼”，方能“霧里探花”.

參考文獻(xiàn)：

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[2]教育部考試中心制定. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

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