2021年高考“集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)”專題 解題分析

景芳

摘? 要：結(jié)合2021年高考數(shù)學(xué)試卷，對(duì)集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)的試題進(jìn)行求解與分析，把握考點(diǎn)、題量、題型及難易程度，優(yōu)化解題策略，提供解題指導(dǎo)和備考建議.

關(guān)鍵詞：集合;常用邏輯用語(yǔ);復(fù)數(shù);解題分析;復(fù)習(xí)建議

集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)在高考中的考查重點(diǎn)是基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，絕大部分屬于基礎(chǔ)題，是高考中的重要得分點(diǎn). 集合和簡(jiǎn)易邏輯是初、高中數(shù)學(xué)思維和方法銜接的重要載體，貫穿高中數(shù)學(xué)始終，是學(xué)生掌握較熟練的一部分內(nèi)容. 但很多試題以集合和邏輯作為輔助性語(yǔ)言表達(dá)，考查數(shù)學(xué)理解，綜合性較強(qiáng). 復(fù)數(shù)是高中數(shù)系擴(kuò)充的新內(nèi)容，內(nèi)容基礎(chǔ)、相對(duì)獨(dú)立，試題較穩(wěn)定.

本文對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)試卷中相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行分析，從中歸納出該專題內(nèi)容的試題特征、解題策略和思想方法，以提高高考復(fù)習(xí)的有效性.

一、試題分析

2021年高考對(duì)集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)的考查，注重基礎(chǔ)考查、突出能力立意、著眼核心素養(yǎng).

1. 基礎(chǔ)知識(shí)集中考查

集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)運(yùn)算每卷必考，試題的位置主要在選擇題、填空題前三題，延續(xù)了一貫的特點(diǎn)，緊扣基礎(chǔ)、直接明了、簡(jiǎn)單易解. 因此，在復(fù)習(xí)中應(yīng)注重集合與復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)運(yùn)算和基本概念;淡化復(fù)雜的技巧運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算，重視常規(guī)運(yùn)算和通性、通法，借助Venn圖、數(shù)軸等工具熟練解決數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算;熟練掌握復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、共軛、模的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義. 常用邏輯用語(yǔ)的基礎(chǔ)知識(shí)主要包含四種命題的關(guān)系及其真假的判斷，充分條件和必要條件的判斷，含有簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷. 強(qiáng)調(diào)對(duì)邏輯用語(yǔ)的理解、領(lǐng)悟，掌握轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法.

2. 突出能力立意，著眼核心素養(yǎng)

常用邏輯用語(yǔ)和集合是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的組成部分，是數(shù)學(xué)抽象的載體，試題中作為輔助語(yǔ)言時(shí)，除了考查對(duì)集合、邏輯用語(yǔ)的理解、領(lǐng)悟外，還需要以其他知識(shí)為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和綜合應(yīng)用能力，具有一定的難度. 對(duì)這方面的考查各份試卷在內(nèi)容、難度、題量上都有較大差異. 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)甲卷（文科）沒(méi)有考查常用邏輯用語(yǔ).

二、解法分析

1. 集合

（1）集合的基本運(yùn)算.

在2021年高考數(shù)學(xué)試卷中，集合的基本運(yùn)算集中考查的是數(shù)集的基本運(yùn)算，集合的表示形式有列舉法和描述法，相對(duì)簡(jiǎn)單. 運(yùn)算為求集合交集、并集的獨(dú)立運(yùn)算，以及求集合的交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

例1 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·1）設(shè)集合[A=x-2<x<4，][B=2，3，4，5]，則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[2] （B）[2，3]

（C）[3，4] （D）[2，3，4]

分析：先在數(shù)軸上表示出集合[A]，再根據(jù)集合[B]，尋找公共部分，從而得到集合的交集. 也可以利用交集的要求，先列舉集合[A]中的正整數(shù)，再利用Venn圖求出[A，B]的公共元素. 還可以利用元素與集合的關(guān)系，根據(jù)選項(xiàng)排除得到答案.

解法1：利用數(shù)軸，根據(jù)交集的定義，得[A?B=][2，3].

解法2：集合[A]的元素中，正整數(shù)為1，2，3，利用Venn圖得[A?B=2，3].

解法3：根據(jù)交集的定義，[A?B]中的元素即屬于[A]，也屬于[B]，所以判斷4不屬于[A]，排除選項(xiàng)C，D;再根據(jù)3既屬于[A]又屬于[B]，確定答案選B.

【評(píng)析】該題主要考查集合的運(yùn)算：若集合中的元素是離散的，常用Venn圖來(lái)求解;若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示. 需要特別注意區(qū)間端點(diǎn)是否可以取到. 離散與連續(xù)的相互運(yùn)算，要關(guān)注運(yùn)算特征：如果求集合的交集，則結(jié)果一定是離散的，可以用列舉法，也可以根據(jù)元素與集合的關(guān)系用特殊值排除法;如果求集合的并集與補(bǔ)集，用數(shù)軸求解.

數(shù)集的運(yùn)算是2021年高考集合試題的重點(diǎn)，以下為相關(guān)試題.

（全國(guó)甲卷·理1）設(shè)集合[M=x0<x<4，][N=x13≤x≤5]，則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[x0<x≤13] （B）[x13≤x<4]

（C）[x4≤x<5] （D）[x0<x≤5]

（全國(guó)甲卷·文1）設(shè)集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7]，則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[7，9] （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

（浙江卷·1）設(shè)集合[A=xx≥1，B=x-1<x<2，] 則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[xx>-1] （B）[xx≥1]

（C）[x-1<x<1] （D）[x1≤x<2]

（上海卷·2）已知[A=x2x≤1，B=-1，0，1，] 則[A?B]等于? ? ? .

（北京卷·1）已知集合[A=x-1<x<1，B=][x0≤x≤2]，則[A?B]等于（? ? ）.

（A）[x-1<x<2] （B）[x-1<x≤2]

（C）[x0≤x<1] （D）[x0≤x≤2]

例2 （天津卷·1）設(shè)集合[A=-1，0，1，B=][1，3，5，C=0，2，4]，則[A?B?C]等于（? ? ）.

（A）[0] （B）[0，1，3，5]

（C）[0，1，2，4] （D）[0，2，3，4]

分析：利用Venn圖，根據(jù)集合混合運(yùn)算的順序求解.

解法1：根據(jù)Venn圖，解得[A?B=1]，再求得[A?B?C=0，1，2，4].

解法2：根據(jù)混合運(yùn)算律[A?B?C=A?C?][B?C]. 先求[A?C=-1，0，1，2，4]，再求[B?C=][0，1，2，3，4，5]，解得[A?B?C=A?C?B?C=][0，1，2，4].

解法3：利用元素與集合的關(guān)系，先排除選項(xiàng)A，B，再根據(jù)元素3排除選項(xiàng)D.

【評(píng)析】2021年高考共有3份試卷考查了集合的混合運(yùn)算，均是表示形式為列舉法的數(shù)集的混合運(yùn)算，結(jié)構(gòu)和類型簡(jiǎn)潔，運(yùn)算方便. 正確利用運(yùn)算律、Venn圖及元素與集合的關(guān)系即可解題.

集合混合運(yùn)算的相關(guān)試題還有以下幾道.

（全國(guó)新高考Ⅱ卷·2）若全集[U=][1，2，3，4，5，6，A=1，3，6，B=2，3，4]，則[A??UB]等于（? ? ）.

（A）[3] （B）[1，6]

（C）[5，6] （D）[1，3]

（全國(guó)乙卷·文1）已知全集[U=1，2，3，4，5，] 集合[M=1，2，N=3，4，] 則[?UM?N]等于（? ? ）.

（A）[5] （B）[1，2]

（C）[3，4] （D）[1，2，3，4]

（2）集合的概念與表示、集合間的基本關(guān)系.

集合的概念與表示、元素與集合的關(guān)系、集合間的基本關(guān)系與其他知識(shí)融合在一起考查，體現(xiàn)的是集合的語(yǔ)言功能，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)集合的理解，以及學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

例3 （全國(guó)乙卷·理3）已知集合[S=ss=2n+1，n∈Z，][T=tt=4n+1，n∈Z]，則[S?T]為（? ? ）.

（A）[?] （B）[S] （C）[T] （D）[Z]

分析：分析集合[S，T]中的元素，根據(jù)元素得到[T?S]且[T≠S]，由此可以得出結(jié)論.

解法1：分析描述的關(guān)系式，利用同構(gòu)法把集合[T]中的關(guān)系式改寫(xiě)成[t=4n+1=2?2n+1]，其中[n∈Z]，因?yàn)閇2n]是偶數(shù)，偶數(shù)集是整數(shù)集的真子集，所以[T?S]且[T≠S].

解法2：利用數(shù)軸，有規(guī)律地找出集合中的元素，得到[T?S]且[T≠S].

解法3：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，利用3，0兩個(gè)集合元素排除選項(xiàng)B，D，利用集合元素5進(jìn)行特殊值檢驗(yàn)，確定選項(xiàng)C.

【評(píng)析】該題重點(diǎn)考查元素與集合的關(guān)系、集合間的關(guān)系及基本運(yùn)算，難點(diǎn)是要理解集合的元素. 無(wú)窮離散數(shù)集要嘗試尋找規(guī)律，化繁為簡(jiǎn).

常見(jiàn)典型錯(cuò)誤：對(duì)集合元素本質(zhì)理解不到位;忽視了集合中不等式端點(diǎn)取舍等限制條件;畫(huà)圖不準(zhǔn)確;混合運(yùn)算順序打亂.

2. 復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)每卷必考，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，少部分試題涉及復(fù)數(shù)的相等、幾何意義，位于選擇題和填空題的前兩道題，難度低. 學(xué)生需要了解復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的條件、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算.

例4 （全國(guó)甲卷·文 / 理3）已知[1-i2z=3+2i，]則[z]等于（? ? ）.

（A）[-1-32i] （B）[-1+32i]

（C）[-32+i] （D）[-32-i]

分析：先利用復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算求出[z]，再化簡(jiǎn)整理成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

解法1：設(shè)[z=a+bi].

因?yàn)閇1-i2=-2i]，

所以[1-i2z=-2ia+bi=2b-2ai=3+2i].

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，實(shí)部和實(shí)部相等、虛部和虛部相等，解得[b=32，a=-1].

所以[z=-1+32i].

解法2：[1-i2z=-2iz=3+2i]，

[z=3+2i-2i=3+2ii-2ii=-2+3i2=-1+32i].

【評(píng)析】該題考查的是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算. 重點(diǎn)是要理解[i2=-1]，了解復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則——乘法遵循多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則;加、減法遵循實(shí)部、虛部合并同類項(xiàng)法則;除法遵循分母實(shí)數(shù)化法則. 也可以把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法的逆運(yùn)算.

以下為2021年高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的運(yùn)算的相關(guān)試題.

（全國(guó)乙卷·理1）設(shè)[2z+z+3z-z=4+6i]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[1-2i] （B）[1+2i]

（C）[1+i] （D）[1-i]

（全國(guó)乙卷·文2）設(shè)[iz=4+3i]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[-3-4i] （B）[-3+4i]

（C）[3-4i] （D）[3+4i]

（全國(guó)新高考Ⅰ卷·2）已知[z=2-i]，則[zz+i]等于（? ? ）.

（A）[6-2i] （B）[4-2i]

（C）[6+2i] （D）[4+2i]

（浙江卷·2）已知[a∈R， 1+aii=3+i]（[i]為虛數(shù)單位），則[a]等于（? ? ）.

（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3

（北京卷·2）若復(fù)數(shù)[z]滿足[1-iz=2]，則[z]等于（? ? ）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

（上海卷·1）已知[z1=1+i，z2=2+3i]，則[z1+z2]等于? ? ? .

（天津卷·10）[i]是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)[9+2i2+i]等于? ? ? ? ?.

（全國(guó)新高考Ⅱ卷·1）復(fù)數(shù)[2-i1-3i]在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（? ? ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

常見(jiàn)典型錯(cuò)誤：對(duì)虛數(shù)單位的理解不到位;對(duì)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算、加減運(yùn)算的轉(zhuǎn)化與化歸不熟練;對(duì)共軛復(fù)數(shù)理解不透徹.

3. 常用邏輯用語(yǔ)

2021年的高考數(shù)學(xué)中的常用邏輯用語(yǔ)試題在各份試卷中的難易程度、題量、位置有較大差異，試題考查的內(nèi)容主要有充分條件、必要條件和充要條件的判斷，充分性、必要性的證明;命題真假的判斷及“或”“且”“非”聯(lián)結(jié)的兩個(gè)簡(jiǎn)單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判斷;存在量詞、全稱量詞表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題推理和求解. 這部分內(nèi)容常涉及與其他章節(jié)知識(shí)的綜合，學(xué)生需要理解邏輯用語(yǔ)的意義，并把握各知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法處理問(wèn)題.

（1）命題.

例5 （全國(guó)乙卷·文 / 理3）已知命題[p：?x∈R，][sinx<1];命題[q：?x∈R，ex≥1]，則下列命題中為真命題的是（? ? ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∨q]

分析：先判斷命題[p，q]的真假，再根據(jù)簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的意義判斷復(fù)合命題的真假.

解：命題[p：?x∈R，sinx<1]，只要舉出例子使這個(gè)三角不等式成立即可，如[sin0=0<1]，所以命題[p]是真命題.

命題[q：?x∈R，][ex≥1]，需要從任意的[x∈R]開(kāi)始進(jìn)行推理，由于[y=ex]在[R]上為增函數(shù)，[x≥0]，所以[ex≥e0=1]. 所以命題[q]為真命題.

所以[p∧q]為真命題，[?p∧q、p∧?q、?p∨q]為假命題.

（2）充分條件和必要條件.

充分性和必要性的理解、充分條件和必要條件的判斷是高考考查的熱點(diǎn)之一. 判斷充分條件、必要條件常用的方法有三種. 一是從定義入手，從命題的角度看：“若[p]，則[q]”是真命題， 則[p]是[q]的充分條件，[q]是[p]的必要條件;“若[p]，則[q]”是真命題，且“若[q]，則[p]”是假命題，則[p]是[q]的充分不必要條件，[q]是[p]的必要不充分條件;“若[p]，則[q]”“若[q]，則[p]”都是真命題，則[p]是[q]的充要條件;“若[p]，則[q]”“若[q]，則[p]”都是假命題，則[p]是[q]的既不充分也不必要條件. 二是利用命題間的推導(dǎo)推出關(guān)系. 三是若命題可以轉(zhuǎn)化為集合，利用對(duì)應(yīng)的集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. [p]對(duì)應(yīng)的集合為[A，q]對(duì)應(yīng)的集合為[B]，若[A]是[B]的真子集，則[p]是[q]的充分不必要條件;若[A=B]，則[p]是[q]的充要條件.

例6 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，則[“a?c=b?c”]是[“a=b”]的（? ? ）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

分析：根據(jù)兩者之間的推導(dǎo)關(guān)系可得兩者之間的條件關(guān)系.

解：若[a ? c=b ? c，] 利用向量數(shù)量積運(yùn)算得[a-b ? c=0]，可舉反例，若[c=0]時(shí)推不出[a=b];反之若[a=b]，則[a ? c=b ? c]必成立. 故[“a ? c=b ? c”]是[“a=b”]的必要不充分條件.

【評(píng)析】該題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為背景，考查學(xué)生對(duì)數(shù)量積運(yùn)算的掌握情況，以及對(duì)必要條件、充分條件意義的理解.

例7 （天津卷·2）已知[a∈R]，則“[a>6]”是“[a2>36]”的（? ? ）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件

分析：可以利用命題間的推導(dǎo)，也可以利用對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.

解法1：若[a>6]，利用平方運(yùn)算的性質(zhì)，得[a2>36]成立;反之，當(dāng)[a=-10]時(shí)，[a2>36]但[a>6]并不成立. 所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要條件.

解法2：因?yàn)閇a>6]對(duì)應(yīng)的集合[aa>6]是[a2>36]對(duì)應(yīng)的集合[aa<-6或a>6]的真子集，所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要條件.

【評(píng)析】該題轉(zhuǎn)化為數(shù)集，利用集合之間的關(guān)系判斷較為直觀.

例8 （上海卷·21）若對(duì)任意[x1，x2∈R，] 當(dāng)[x1-x2∈S]時(shí)，都有[fx1-fx2∈S，] 則稱[fx]是[S]關(guān)聯(lián)的.

（1）判斷并證明[fx=2x-1]是否是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的，是否是[0，1]關(guān)聯(lián)的;

（2）[fx]是[3]關(guān)聯(lián)的，當(dāng)[x∈0，3]時(shí)[fx=x2-][2x]，解不等式[2≤fx≤3];

（3）證明“[fx]是[1]關(guān)聯(lián)的，且是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的”當(dāng)且僅當(dāng)“[fx]是[1，2]關(guān)聯(lián)的”.

分析：第（3）小題需要從充分性和必要性兩方面來(lái)論證，“當(dāng)且僅當(dāng)”也就是等價(jià)關(guān)系也就是充分必要.

（1）略;

（2）略;

（3）證明：充分性：因?yàn)閇fx]是[1]關(guān)聯(lián)的，

所以對(duì)任意的[x∈R]，[fx-fx-1=1].

設(shè)[x1-x2∈1，2]，即[1≤x1-x2≤2].

則[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1-fx2+1.]

因?yàn)閇fx]是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的，

所以[fx1-1-][fx2≥0].

所以[fx1-fx2≥1].

同理，[fx1-fx2=fx1-2+2-fx2=fx1-2-]

[fx2+2≤2].

必要性 ：因?yàn)閇fx]是[1，2]關(guān)聯(lián)的，

所以[1≤fx+1-fx≤2，1≤fx+2-fx+1≤2，1≤fx+2-fx≤2.]

由此可得[fx+1-fx=1].

所以[fx]是[1]關(guān)聯(lián)的.

若[x1-x2≥0]，則總存在[k∈N]，使得[k≤x1-x2≤k+1].

[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1+1-fx2=]

[fx1-2+1+1-fx2=fx1-2+2-fx2=…=fx1-k+1+]

[k-1-fx2]，

因?yàn)閇1≤x1-k+1-x2≤2]，

所以[1≤fx1-k+1-fx2≤2].

所以[k≤fx1-fx2≤k+1].

所以[fx1-fx2≥0].

所以[fx]是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的.

所以[“fx]是[1]關(guān)聯(lián)的，且是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的”當(dāng)且僅當(dāng)[“fx]是[1，2]關(guān)聯(lián)的”.

【評(píng)析】該題是以集合為背景的新定義問(wèn)題，合理利用新定義問(wèn)題的有關(guān)性質(zhì)是破解新定義型問(wèn)題的關(guān)鍵. 該題的關(guān)鍵是當(dāng)自變量的差是集合元素時(shí)，對(duì)應(yīng)因變量的差也是集合元素. 利用這一定義的路徑，去嘗試判斷和證明問(wèn)題. 該題以邏輯用語(yǔ)“當(dāng)且僅當(dāng)”作為輔助語(yǔ)言，需要從充分性、必要性兩方面進(jìn)行數(shù)學(xué)推理論證.考查學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的能力、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，有一定的難度. 學(xué)生平時(shí)需要注重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性. 該題也可以利用圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行論證. 上海卷第12題、第20題中的邏輯用語(yǔ)“有且只有”都需要從必要性和充分性兩個(gè)方面思考、論證、推理.

三、試題解法欣賞

例9 （全國(guó)甲卷·理7）等比數(shù)列[an]的公比為[q]，前[n]項(xiàng)和為[Sn]，設(shè)甲：[q>0]，乙：[Sn]是遞增數(shù)列，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解法1：當(dāng)數(shù)列[an=-2n]時(shí)，滿足[q>0]，但是[Sn]不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若[Sn]是遞增數(shù)列，則必有[an>0]成立，若[q<0，]則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則[q>0]成立，所以甲是乙的必要條件.所以甲是乙的必要不充分條件.

解法2：因?yàn)閇Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0]的等價(jià)條件是[a1，qa1>0，q>0]. 因?yàn)閇a1，qa1>0，q>0]是[a1，qq>0]的真子集，所以甲是乙的必要不充分條件.

【評(píng)析】數(shù)列是特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性有助于對(duì)問(wèn)題的全面理解和把握，函數(shù)思想是解決數(shù)列問(wèn)題（尤其是與性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題）的有效策略.

例10 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·11）已知直線[l：ax+][by-r2=0 r>0]與圓[x2+y2=r2]，點(diǎn)[Aa，b]，則下列說(shuō)法正確的是（? ? ）.

（A）若點(diǎn)[A]在圓[C]上，則直線[l]與圓[C]相切

（B）若點(diǎn)[A]在圓[C]內(nèi)，則直線[l]與圓[C]相離

（C）若點(diǎn)[A]在圓[C]外，則直線[l]與圓[C]相離

（D）若點(diǎn)[A]在直線[l]上，則直線[l]與圓[C]相切

解法1：利用點(diǎn)到直線的距離公式，判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線[l]的距離[d=r2a2+b2].

若點(diǎn)[A]在圓上，則[a2+b2=r.] 則[d=r.] 所以直線[l]與圓相切;

若點(diǎn)[A]在圓內(nèi)，則[a2+b2<r.] 則[d>r.] 所以直線[l]與圓相離;

若點(diǎn)[A]在圓外，則[a2+b2>r.] 則[d<r.] 所以直線[l]與圓相交;

若點(diǎn)[A]在直線上，則[a2+b2=r2.] 則[d=r.] 所以直線[l]與圓相切.

故答案選ABD.

解法2：我們知道[l：ax+][by-r2=0]是點(diǎn)[Aa，b]關(guān)于圓[x2+y2=r2]對(duì)應(yīng)的極線，當(dāng)[Aa，b]在圓[x2+][y2=r2]上時(shí)，直線[l]是圓的切線;當(dāng)[Aa，b]在圓外時(shí)，直線[l]是點(diǎn)[A]關(guān)于圓的切點(diǎn)弦;當(dāng)[Aa，b]在圓內(nèi)時(shí)，直線[l]是點(diǎn)[A]關(guān)于圓的切線交點(diǎn)的軌跡. 這個(gè)幾何意義可以推廣到橢圓、雙曲線、拋物線.

【評(píng)析】該題是判斷命題真假的不定項(xiàng)選擇題，需要學(xué)生從問(wèn)題的本質(zhì)入手，進(jìn)行推理和分析，既可以利用通性、通法求解，也可以利用高觀點(diǎn)的極點(diǎn)極線的幾何性質(zhì)求解，結(jié)論可類比到高中學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線、拋物線，復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于歸納、類比和總結(jié).

集合、常用邏輯用語(yǔ)和復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的基本概念和基本內(nèi)容，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)和工具. 通過(guò)對(duì)2021年高考集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)試題的求解和分析，明確復(fù)習(xí)應(yīng)注重主干知識(shí)與通性、通法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、表達(dá)能力、推理能力. 對(duì)簡(jiǎn)單的集合、復(fù)數(shù)運(yùn)算要做到懂、會(huì)、熟;重視對(duì)定義概念的本質(zhì)、內(nèi)涵、外延的理解和研究路徑的掌握. 理解知識(shí)塊、掌握方法線，激活學(xué)生探索解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué) 課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]孫海琴. 2019年高考“集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)”專題解題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（7 / 8）：22-27.

[3]肖偉華. 2020年高考“集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)”專題解題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（9）：21-27.