非均勻波導(dǎo)中的最大聲能流透射及魯棒性分析

郭威 楊德森1)2)?

1) (哈爾濱工程大學(xué), 水聲技術(shù)國防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué), 海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150001)

3) (哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

以變截面含可穿透散射體波導(dǎo)為模型, 理論研究聲波在非均勻波導(dǎo)中的最大透射問題.通過耦合簡正波理論構(gòu)建模態(tài)域內(nèi)透射矩陣和水平波數(shù)矩陣, 推導(dǎo)透射波能流的具體表達(dá)式, 分析任意入射波的能流透射率隨頻率的變化, 進(jìn)而討論任意給定頻率下能夠產(chǎn)生最大能流透射率的最佳入射波, 并給出數(shù)組全透射聲場算例.最佳入射波僅由可傳播模態(tài)決定, 與衰逝模態(tài)無關(guān).利用衰逝模態(tài)不攜帶能流的特性, 討論衰逝模態(tài)對產(chǎn)生能流最大透射聲場的影響, 并分析最大能流透射的魯棒性.在頻率滿足一定條件時, 全透射聲場可能表現(xiàn)出完美魯棒性.文中所述方法可延伸至多種非均勻波導(dǎo)以分析其中的能流最大透射問題.

1 引 言

波在非均勻介質(zhì)中傳播時會受到多重散射的作用, 影響以波為載體的信息或能量傳遞.研究如何使波克服反向散射作用或提高能量的透射率是波動物理學(xué)的研究熱點(diǎn)之一.Dorokhov[1,2]在介觀物理學(xué)的研究中率先發(fā)現(xiàn)電子波能夠在無序介質(zhì)內(nèi)實(shí)現(xiàn)全透射.能量(流)的最大透射率為透射矩陣最大奇異值的平方, 全透射時該值為1, 產(chǎn)生最大透射的入射波為最大奇異值對應(yīng)的右奇異矢量[3,4].當(dāng)介質(zhì)內(nèi)無吸收時, 非均勻介質(zhì)內(nèi)部波場對應(yīng)的解空間僅由全透射波場(open channels)和全反射波場(closed channels)張成, 該現(xiàn)象被稱為雙峰分布(bimodal distribution)[5,6].電子波的全透射決定了介觀尺度上金屬電導(dǎo)率的擾動上界(maximal conductance fluctuations), 并且該上界與金屬樣品的尺寸和無序程度無關(guān)[7].然而, 由于在介觀尺度上測量透射矩陣及構(gòu)建任意電子波包均存在較大難度, 故難以觀測到電子波的全透射現(xiàn)象.在宏觀物理學(xué)領(lǐng)域, 隨著空間光調(diào)制器和相位控制技術(shù)的發(fā)展, 人為改變?nèi)肷洳ㄒ钥刂仆干洳ɑ蚍瓷洳ǖ南嚓P(guān)研究取得了較大的進(jìn)展.在光學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)研究包括強(qiáng)化光波[8?14]或光激彈性波[15]的透射或反射、強(qiáng)化或克服介質(zhì)吸收[16?18]、構(gòu)建無反向散射拓?fù)鋺B(tài)[19,20]以及構(gòu)造無反射超構(gòu)材料[21]或超構(gòu)表面[22,23]等; 而在聲學(xué)中, 對于相關(guān)問題的探討主要集中于強(qiáng)化波導(dǎo)內(nèi)的聲波透射研究.例如單一模態(tài)在特定頻率下的全透射傳播, 也稱為入射波與波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的“共振”[24?27], 利用時間反轉(zhuǎn)不變性實(shí)現(xiàn)聲波在穿過非均勻介質(zhì)后形成空間聚焦[28?30]或時空同時聚焦[31], 或設(shè)計聲超構(gòu)材料以實(shí)現(xiàn)聲隱身[32]、聲聚焦[33]或全吸收[34,35]等.上述的強(qiáng)化聲透射手段中, 單一模態(tài)的全透射限制了入射波的波形、聚焦的機(jī)理主要基于透射矩陣測量和相位共軛處理、而超構(gòu)材料的原理在于改變傳播媒介以匹配入射聲場.盡管在聲學(xué)領(lǐng)域?qū)Ψ蔷鶆虿▽?dǎo)強(qiáng)化聲透射問題的相關(guān)研究已經(jīng)取得諸多進(jìn)展,但是依然存在一些問題需要解決.以大氣或淺海波導(dǎo)為例, 作為典型的天然非均勻介質(zhì), 其內(nèi)部物理參數(shù)較難人為改變, 只能通過改變聲源以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量聲通信或強(qiáng)化聲透射.而對于任意給定波導(dǎo), 如何確定內(nèi)部聲透射能力的上限和對應(yīng)的入射波條件仍有待研究.另外, 若考慮工程實(shí)現(xiàn)聲波的強(qiáng)化透射作用, 最大透射聲場是否具備抗干擾性能也值得討論.這些問題在聲超構(gòu)材料結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計以及復(fù)雜介質(zhì)高效聲通信等領(lǐng)域具有指導(dǎo)意義.

本文主要解決兩個問題: 一是分析任意入射波形發(fā)生最大聲透射時所需的激發(fā)頻率; 二是分析任意頻率下產(chǎn)生最大能流透射時所需的入射波形條件.本文以變截面含可穿透散射體波導(dǎo)為模型,基于透射矩陣提出一個系統(tǒng)地研究波導(dǎo)內(nèi)最大聲透射問題的方法, 其中透射矩陣通過耦合簡正波理論[36,37]構(gòu)建.對于本文選取的波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 文獻(xiàn)[36, 37]均無法獨(dú)立求解內(nèi)部的聲傳播問題, 也難以直接構(gòu)建透射矩陣.但是, 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn), 文獻(xiàn)[37]在處理單層介質(zhì)參數(shù)連續(xù)變化波導(dǎo)內(nèi)聲傳播問題的過程中, 提出了一種普適的化簡方法, 可將Helmholtz方程簡化為忽略邊界矩陣的耦合偏微分方程.本文結(jié)合該化簡方法以及不變截面含散射體波導(dǎo)模型中耦合矩陣的形式[36], 推導(dǎo)出一階耦合偏微分方程(文中(6)式)并構(gòu)建出透射矩陣.利用透射矩陣給出模態(tài)域內(nèi)任意入射波的能流透射率隨頻率變化關(guān)系以及任意頻率下實(shí)現(xiàn)能流最大透射的入射波表達(dá)式, 并在低頻(僅存在1—2階可傳播模態(tài))條件下對全透射聲場及其魯棒性進(jìn)行分析.上述方法在任意頻段, 對任意形狀散射體、任意形狀邊界或其他類型邊界條件均適用, 亦可對2.5維或3維波導(dǎo)中的能流最大透射問題提供理論借鑒.

2 任意入射波的最大聲透射

本節(jié)分析任意給定入射波的最大聲透射問題.首先利用耦合簡正波理論構(gòu)建模態(tài)域透射矩陣, 接著通過透射矩陣給出能流透射率在模態(tài)域內(nèi)的表達(dá)式.在固定入射波的條件下, 能流透射率僅為頻率的函數(shù).分析透射率隨頻率的變化可發(fā)現(xiàn)能流最大透射時的頻率, 亦可求取對應(yīng)聲場.本節(jié)以平面波即第零階本地簡正波為例分析固定入射波的最大聲透射問題, 文中方法適用于任意入射波的能流最大透射問題, 例如平面波、高階簡正波、點(diǎn)聲源等.

2.1 理 論

對于非均勻波導(dǎo), 聲波穿過非均勻區(qū)域產(chǎn)生的輸出(透射波)或能流透射率由入射波、頻率以及波導(dǎo)結(jié)構(gòu)共同決定.固定波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 僅考慮入射波和頻率對能流最大透射的影響.波導(dǎo)選取為變截面含散射體波導(dǎo), 結(jié)構(gòu)見圖1.波導(dǎo)所在區(qū)域?yàn)?x,y)∈(?∞,+∞)×[0,h(x)], 可化分為兩個子區(qū)域.子區(qū)域1: x ∈[0,L] 為散射區(qū)域, 聲波在該區(qū)域內(nèi)可發(fā)生聲散射.在子區(qū)域1內(nèi)波導(dǎo)上、下邊界的表達(dá)式分別為 y =h(x) , y =0 ; 散射體呈圓形.波導(dǎo)與散射 體 的 密 度和聲速分別為 ρ0,c0和 ρ1,c1, 均為實(shí)數(shù).子區(qū)域2: x ∈(L,+∞) 和 x ∈(?∞,0) , 分

圖1 變截面含散射體非均勻波導(dǎo)示意圖Fig.1.Configuration of the inhomogeneous waveguide with varying cross-sections and one scatterer.

別為透射區(qū)域和反射區(qū)域.在子區(qū)域2內(nèi)介質(zhì)參數(shù)和邊界水平不變, 聲波在該區(qū)域內(nèi)不會產(chǎn)生背向散射, 即子區(qū)域2內(nèi)的透射波和反射波不會影響子區(qū)域1中的聲場結(jié)果.上、下邊界皆為剛硬邊界.任意簡諧入射波 pi從 x =0 處輸入, 與散射區(qū)域作用后分別在子區(qū)域2中產(chǎn)生反射波 pr和透射波 pt, 入射與散射場疊加后的總聲場滿足如下Helmholtz方程(省略時間因子 e xp(?iωt) ):

其中p為聲壓; ω 為角頻率.在本問題中, 方程可改寫為

聲壓滿足的邊界條件和連續(xù)性條件分別為

其 中 ? ? 表 示 散 射 體 邊 界; n 代 表 法 線 方 向,

分析任意入射波的能流透射率需要獲得任意入射波產(chǎn)生的透射波形式, 并分別計算二者的能流表達(dá)式, 其中入射波與透射波間的關(guān)系可利用透射矩陣表征.本節(jié)使用耦合簡正波理論化簡(2)式并構(gòu)建透射矩陣.選取均勻剛硬波導(dǎo)中的本征函數(shù)ψn(y;x)作為局部基函數(shù), 其表達(dá)式為:

利用基函數(shù)對聲壓進(jìn)行展開得到:

其中 pn為聲壓在基函數(shù)上的展開系數(shù), N為模態(tài)的截斷數(shù).要求截斷數(shù)一般略大于波導(dǎo)中的可傳播模態(tài)數(shù).對(2)式在基函數(shù)上作投影, 即利用文獻(xiàn)[37]中的化簡方法結(jié)合文獻(xiàn)[36]中耦合矩陣的表達(dá)式, 可獲得關(guān)于展開系數(shù) pn(x) 和附加量 sn(x) 的一階耦合偏微分方程:

其中向量 p 和 s 中元素分別為 pn(x) 和 sn(x) , 附加量 sn(x) 與 pn(x) 滿足關(guān)系:

(7)式中 Amn與 Bmn分別為矩陣 A 與 B 中的元素,假設(shè)散射體的上、下邊界參數(shù)分別為[y=β(x),y=α(x)], Amn與 Bmn的表達(dá)式為[36]

(6)式中矩陣 C 和 D 的元素分別為 Cmn和 Dmn, 其表達(dá)式為

其中 k =ω/c0為介質(zhì)波數(shù).Amn, Bmn, Cmn和Dmn均存在解析表達(dá)式.

為了構(gòu)建透射矩陣, 引入導(dǎo)納矩陣 Y (x) 和傳播算子 Q (x) 分別滿足如下關(guān)系: s =Yp 和p(L)=Q(x)p(x).導(dǎo)納矩陣滿足Riccati方程, 初條件為模態(tài)域輻射條件 Ymn(L)=iδmnkn(L) , 其中kn(L)=傳播算子滿足一階微分方程,初始條件為 Q (x)=I , 其中 I 為單位陣.導(dǎo)納矩陣和傳播算子的求解可參考文獻(xiàn)[38, 39], 本文不再贅述.反射矩陣 R 和透射矩陣 T 的定義為:pr(0)=Rpi(0), pt(L)=Tpi(0) , 其中 pi(0) , pr(0) 和pt(L)分別為入射波、反射波和透射波的模態(tài)展開系數(shù)向量.由導(dǎo)納矩陣和傳播算子可推得 R 和 T 的表達(dá)式為[40]

式中, Y0為 i kn(0) 組成的對角陣.任意入射波產(chǎn)生的聲場可寫作:

接著給出入射波和透射波的能流模態(tài)域表達(dá)式.入射波能流的定義為

由于在 x =0?→0 時介質(zhì)水平不變, 利用(5)式結(jié)合水平波導(dǎo)中的模態(tài)域輻射條件 ?xpi(0)=Y0pi(0) ,可得

其中上標(biāo)“H”代表共軛轉(zhuǎn)置.(13)式可化簡為

式中, K (0) 為 kn(0) 組成的對角陣.由于 kn(0) 代表 x =0?處的水平波數(shù), 所以 kn(0) 為純實(shí)數(shù)或純虛數(shù), 分別表示可傳播模態(tài)或衰逝模態(tài).因而矩陣Re(K(0))為正實(shí)數(shù)和零構(gòu)成的對角陣, 其對角線上的零元素代表衰逝模態(tài)不傳播能量, 對入射波能流無貢獻(xiàn).同理可得, 透射波能流的表達(dá)式為

因而能流透射率G可寫作:

(16)式中的透射矩陣 T 和水平波數(shù)矩陣 K 受波導(dǎo)結(jié)構(gòu)與頻率(或波數(shù)k)共同影響.透射矩陣可由耦合簡正波法構(gòu)建、水平波數(shù)矩陣可由輻射條件推得.當(dāng)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不變時, 二者僅為頻率的函數(shù).所以當(dāng)給定任意入射波時, 能流透射率G僅與頻率有關(guān).

2.2 數(shù)值結(jié)果

圖2給出利用(16)式算得的平面波(第零階簡正波)能流透射率隨頻率的變化曲線.波導(dǎo)上邊界表達(dá)式為 h (x)=1.25?0.25cos(0.4πx) ; 散射區(qū)域最大距離 L =5 , 散射體圓心位于 ( L/2,0.5) , 半徑為 0.4 ; 介質(zhì)密度為 ρ0=1000kg/m3, 聲速為c0=1500m/s , 散射體密度為 ρ1=1500kg/m3, 聲速為c1=1700m/s ; 頻率的取值范圍為 k ∈[0.005π,3π] ;模態(tài)截斷數(shù) N =10.距離和頻率相關(guān)參數(shù)已經(jīng)由無量綱化處理.從圖2中可以看出, 在某些特定頻率時, 平面波可以實(shí)現(xiàn)近乎全透射.利用上述方法可以觀察任意聲波實(shí)現(xiàn)最大透射的頻率, 從而分析任意入射波的最大透射特性.此外, 從圖2中也可以發(fā)現(xiàn), 在某些頻率下, 平面波也可以實(shí)現(xiàn)近乎零透射.根據(jù)能量守恒定律可知, 當(dāng)波導(dǎo)中不存在吸收時, 1 ?G 表示能流反射率的變化特性.當(dāng)聲波實(shí)現(xiàn)全透射時, 必然隨之發(fā)生零反射, 反之亦然.因而無論是考慮吸聲性能最優(yōu)化(全透射)還是隔聲性能最優(yōu)化(全反射)問題, 本方法均適用.值得一提的是, 文獻(xiàn)[41]同樣可研究波導(dǎo)中單階模態(tài)的優(yōu)化透射特性.與之相比, 本文中的方法基于數(shù)值上更易實(shí)現(xiàn)的耦合簡正波理論, 可以分析任意入射波(不局限于單階模態(tài))的最大透射或反射特性,相當(dāng)于對文獻(xiàn)[41]的延伸和進(jìn)一步發(fā)展.

圖2 平面波能流透射率隨頻率變化曲線Fig.2.Energy flux transmittance as a function of frequency when injecting a plane wave.

圖3 (a)和圖3(b)依次給出平面波發(fā)生能流全透射和零透射時對應(yīng)的聲壓幅值分布, 聲波頻率分別為 k =0.95π 和 k =0.735π , 聲場由(11)式計算得到.從圖3(a)中可以看出, 當(dāng)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出空間對稱的特點(diǎn)時, 產(chǎn)生全透射的聲場亦會隨之呈現(xiàn)空間對稱特性, 即總聲場關(guān)于 x =L/2 對稱.該對稱性是一種普遍性質(zhì), 即使對一個無序的對稱非均勻波導(dǎo), 發(fā)生全透射時的聲場也將表現(xiàn)出相同的對稱特性[42].從圖3(b)中可以看出明顯的平面波全反射現(xiàn)象.需要強(qiáng)調(diào)的是, 本文中全反射和全透射針對的對象是能流, 并非聲壓, 能流的全透射(全反射)并不代表聲壓的全透射(全反射).從圖3(a)中可以看出明顯的聲反射現(xiàn)象( x =0 附近聲場并非平面波), 其原因在于發(fā)生全透射時的反射波僅由衰逝模態(tài)決定, 而衰逝模態(tài)并不傳播能量, 故而聲場中存在反射波與能流的全透射之間并不矛盾.但是, 在 x ?0 處觀察時將難以發(fā)現(xiàn)反射波.與圖3(a)中結(jié)果類似, 圖3(b)中聲場雖然實(shí)現(xiàn)了能流的零透射, 但是在 x ≥L 區(qū)域仍能觀察到透射波的存在, 而且可以觀察到透射波以衰逝波形式進(jìn)行傳播, 透射波并不攜帶能流, 此時聲波實(shí)現(xiàn)了能流的全反射.

為了驗(yàn)證圖3中全透射和零透射的有效性, 利用有限元數(shù)值商用軟件COMSOL重構(gòu)圖3中的聲場.平面波產(chǎn)生全透射時的波數(shù) k =0.95π 對應(yīng)頻率 f =712.5 Hz, 零透射時波數(shù) k =0.735π 對應(yīng)頻率 f =551.25 Hz.使用相同波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 在x≥6區(qū)域設(shè)置完美匹配層, 對頻率取整并利用COMSOL軟件計算頻率分別為 7 12 和 5 51 Hz時平面波產(chǎn)生的聲場, 結(jié)果分別如圖4(a)和圖4(b)所示.通過與圖3對比可以看出, COMSOL計算獲得的聲場與本文提出方法所獲得的聲場高度一致, 證明了全透射和零透射的有效性.

圖3 (a) 平面波能流全透射聲場( k =0.95π ); (b) 平面波能流零透射聲場( k =0.735π )Fig.3.(a) Wave field with unity energy flux transmittance generated by a plane wave ( k =0.95π ); (b) wave field with zero energy flux transmittance generated by a plane wave( k =0.735π ).

圖4 (a) Comsol計算平面波能流全透射聲場( f =712 Hz);(b) Comsol計算平面波能流零透射聲場( f =551 Hz)Fig.4.(a) Wave field calculated by Comsol with unity energy flux transmittance generated by a plane wave (f=712Hz); (b) wave field calculated by Comsol with zero energy flux transmittance generated by a plane wave (f=551Hz).

對于任意其他類型的入射波, 利用文中所述方法, 首先獲得入射波的模態(tài)展開系數(shù)向量, 接著利用構(gòu)建獲得的透射矩陣和水平波數(shù)矩陣結(jié)合(16)式獲得能流隨頻率的變化關(guān)系, 重復(fù)上述相同步驟即可發(fā)現(xiàn)該入射波產(chǎn)生能流最大透射的頻率并給出對應(yīng)的聲場結(jié)果.

3 任意頻率下的最大聲透射

根據(jù)前述分析可知, 在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不變時, 能流透射率由頻率和入射波決定(見(16)式).第2節(jié)中已經(jīng)分析了以平面波為例任意入射波能流透射率隨頻率的變化, 并討論了產(chǎn)生最大聲透射時的頻率和對應(yīng)聲場.本節(jié)將研究任意頻率下, 產(chǎn)生能流最大透射的入射波表達(dá)式及對應(yīng)聲場.

3.1 理 論

根據(jù)(16)式可知, 不同的入射波將產(chǎn)生不同的能流透射率.但由于散射特性和能流守恒規(guī)律的限制, 能流的透射率應(yīng)存在上界.能流透射率的上界 Gmax的定義為

當(dāng)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)不變時, Gmax只由頻率決定.能夠產(chǎn)生能流最大透射的入射波被稱為最佳入射波, 最佳入射波的模態(tài)展開系數(shù)由符號表示.能流最大透射率的計算以及最佳入射波的選取相當(dāng)于對所有可能入射波產(chǎn)生的能流透射率的優(yōu)化.通過對(17)式進(jìn)行化簡, 可求取 Gmax與的表達(dá)式, 具體過程如下.

由于矩陣 R e(K(L)) 為對角陣, 且各元素均為非負(fù)實(shí)數(shù), 因而可利用Cholesky分解將矩陣Re(K(L)) 表示成 R e(K(L))=MH(L)M(L) , 其中 M (L) 為對角陣, 各元素為同理可得, R e(K(0))= MH(0)M(0).此時可將(17)式簡化為向量 L2范數(shù)形式:

假設(shè)波導(dǎo)中任意位置可傳播模態(tài)的數(shù)目為 Np(x) ,對于非零入射波能流, 只有可傳播模態(tài)起作用, 因而 M (0) 可 降維至 Np(0)×Np(0) 矩陣而不改變(18)式的結(jié)果.假設(shè) pi的前 Np(0) 個元素對應(yīng)傳播模態(tài), 則 pi中僅前 Np(0) 個元素對入射波能流有貢獻(xiàn).對于(18)式中的分子項, M (L) 可同理降維至Np(L)×Np(L) 矩陣.另外, 若 pi中只包含衰逝模態(tài)分量, 透射波 pt=Tpi中的結(jié)果依然只包含x=L處的衰逝模態(tài)分量, 原因在于能流不可能“無中生有”, 所以透射矩陣 T 可降維至Np(L)×Np(0)而不改變(18)式的結(jié)果.此時(18)式可化簡為[43]

其中 σ(M(L)TM?1(0))表示矩陣M(L)TM?1(0)的奇異值.值得強(qiáng)調(diào)的是, 降維后的矩陣 M (0) 可逆.具體地說, M?1(0) 為 x =0 處可傳播模態(tài)對應(yīng)水平波數(shù)開根式后取倒數(shù)構(gòu)成的對角陣.在矩陣分析中, 不考慮衰逝模態(tài)的作用時, 矩陣 M (0) 在可傳播模態(tài)張成的解空間中可逆.(19)式的推導(dǎo)利用了矩陣誘導(dǎo)2范數(shù)的定義, 即矩陣的誘導(dǎo)2范數(shù)等于其最大奇異值.

其中 U 和 V 分別為左、右奇異向量組成的矩陣, 二者分別為 Np(L)×Np(L) 和 Np(0)×Np(0) 酉 陣;Λ為 Np(L)×Np(0) 對 角陣, 各元素為 σm, m的取值范圍為 m =1,2,···min(Np(0),Np(L)) , 且由大至小降序排列.根據(jù)矩陣相乘的性質(zhì), 存在如下關(guān)系:

其中 vm和 um分別為矩陣 U 和 V 的第m個列向量, M?1(L) 與 M?1(0) 類似.由(21)式可知, 實(shí)現(xiàn)能流最大透射的最佳入射波模態(tài)展開系數(shù)為

對應(yīng) x =L 處的輸出為 pt=σ1M?1(L)u1, 將輸出和輸入代入(16)式可得能流的最大透射率為Gmax=.因此, 通過奇異值分解, 可以同時獲得能流最大透射率和對應(yīng)的最佳入射波, 能流最大透射率為矩陣 M (L)TM?1(0) 最大奇異值的平方, 最佳入射波的模態(tài)展開系數(shù)由最大奇異值對應(yīng)的右奇異矢量決定.最終 x =0 處聲場的展開系數(shù)表達(dá)式為代表入射和反射的疊加場.對于聲波導(dǎo), 介質(zhì)內(nèi)不存在可對聲波能量產(chǎn)生增益的因素, 背向散射和吸收成為阻礙聲波透射的主要因素, 因而對于矩陣 M (L)TM?1(0) , 其奇異值σm≤1恒成立.至此, 基于耦合簡正波理論(構(gòu)建透射矩陣)和模態(tài)域輻射條件(構(gòu)建水平波數(shù)矩陣), 可以獲得非均勻波導(dǎo)在任意頻率下可實(shí)現(xiàn)的能流最大透射率及對應(yīng)所需的最佳入射波, 進(jìn)而分析其產(chǎn)生的聲場以及對應(yīng)的傳播現(xiàn)象.

3.2 數(shù)值結(jié)果

使用相同的波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 本文選取圖2中平面波能流透射率較小的頻率 k =1.45π , 研究能流的最大透射率、對應(yīng)的最佳入射波以及對應(yīng)聲場.結(jié)果如圖5所示.圖5(a)給出選定頻率時, 矩陣M(L)TM?1(0)的奇異值平方分布.在當(dāng)前頻率下, Np(0)=Np(L)=2 , 只存在兩階可傳播模態(tài),圖5(a)表現(xiàn)出了典型的雙峰分布[5,6], 即奇異值平方非零即1.根據(jù)前述分析可知, 奇異值為1代表對應(yīng)入射波可實(shí)現(xiàn)能流的全透射, 奇異值為0代表實(shí)現(xiàn)能流的零透射(這里等價于全反射).圖5(a)表明, 與光學(xué)或介觀物理中的高頻情況條件對比,即使對于僅有兩階可傳播模態(tài)的低頻條件, 波在非均勻波導(dǎo)中依然有存在全透射的可能性.需要注意的是, 對于不同的波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 奇異值可能表現(xiàn)出多種的分布特性, 不局限于雙峰分布現(xiàn)象.圖5(b)畫出產(chǎn)生能流最大透射的最佳入射波幅值分布,圖5(c)給出最佳入射波的模態(tài)展開系數(shù), 其中vT1n為 M?1(0)v1的前 Np(0) 個元素.可以看出,最佳入射波由可傳播的第零階模態(tài)(平面波)和第一階模態(tài)共同決定.圖5(d)畫出最佳入射波產(chǎn)生的聲場, 此時聲波近乎實(shí)現(xiàn)能流的全透射, 聲場亦近似表現(xiàn)出關(guān)于 x =L/2 的軸對稱分布.另外,對于本文中所使用的波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 當(dāng)頻率選取在k∈(0,π)范圍時, 波導(dǎo)內(nèi)僅存在一階可傳播模態(tài),即平面波.此時最大聲透射問題與平面波透射問題等價, 平面波的能流透射率即為能流最大透射率,因此 Gmax(k) 曲線與圖2中的 G (k) 在 k ∈(0,π) 區(qū)間內(nèi)完全重合.

圖5 (a) 奇異值平方分布; (b) 最佳入射波幅值分布; (c) 最佳入射波的模態(tài)展開系數(shù); (d) 產(chǎn)生能流最大透射的聲場.波導(dǎo)參數(shù)與圖2中使用的一致, 頻率k=1.45πFig.5.(a) Distribution of squares of singular values; (b) modulus of the optimal incident wave; (c) expansion coefficients of the optimal incident wave; (d) wave field with the maximum energy flux transmittance.The geometry of the waveguide is same as that in Fig.2, and the frequency is k=1.45π.

4 衰逝模態(tài)的影響及最大聲透射的魯棒性

根據(jù)(14)式可知, 衰逝模態(tài)不傳播能量, 所以不影響能流的大小.但是衰逝模態(tài)會影響波導(dǎo)中的聲場結(jié)果, 尤其是水平變化區(qū)域的近場結(jié)果[44].本節(jié)將考慮衰逝模態(tài)對最大聲透射的影響并分析最大聲透射的魯棒性.圖6(a)給出當(dāng)圖3(a)中入射平面波疊加衰逝模態(tài)時產(chǎn)生的聲場, 圖6(b)給出當(dāng)最佳入射波(圖5(b))疊加衰逝模態(tài)時產(chǎn)生的聲場.圖6(a)中的入射波為

與圖3(a)和圖5(d)對比可知, 聲場發(fā)生了明顯的改變, 但是能流的透射率保持不變.由該現(xiàn)象可推得兩點(diǎn)結(jié)論: 一是在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)和頻率參數(shù)固定的條件下, 能夠產(chǎn)生能流全透射的聲場解并不唯一.圖6(a)和圖6(b)中的聲場雖然與圖3(a)和圖5(d)相差甚遠(yuǎn), 但兩圖中的能流依然為全透射.二是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)對于能流最大透射具有較強(qiáng)的魯棒性, 其原因在于波導(dǎo)結(jié)構(gòu)天然地限制了垂直方向振蕩快于波長的波成分傳播, 因?yàn)檎袷幩俣瓤煊诓ㄩL的波的模態(tài)成分僅對應(yīng)衰逝模態(tài), 不攜帶能流, 無法改變能流透射率.當(dāng)入射聲波存在一定的隨機(jī)干擾時,大部分干擾對能流的透射率并無影響, 因此波導(dǎo)結(jié)構(gòu)對于能流的優(yōu)化透射天然具有較強(qiáng)的魯棒性.

圖6 (a) 圖3(a)情況下平面波疊加衰逝模態(tài)后的聲場;(b) 圖5(d)情況下最佳入射波疊加衰逝模態(tài)后的聲場Fig.6.(a) Wave field generated by a plane wave mixed by evanescent modes in the case of Fig.3(a); (b) wave field generated by the optimal incident wave mixed by evanescent modes in the case of Fig.5(d).

事實(shí)上, 從圖6(a)中可以發(fā)現(xiàn)具有完美魯棒性的平面波最大聲透射現(xiàn)象.在圖6(a)或圖3(a)對應(yīng)的參數(shù)條件下, 有且僅有第零階簡正波, 即平面波可以傳播, 其余各階簡正波皆為衰逝模態(tài).此時無論入射平面波上疊加何種形式干擾, 干擾后的入射波一定會被分解成可傳播的平面波和其他高階簡正波成分, 其中平面波實(shí)現(xiàn)能流的全透射, 而高階簡正波不傳播能量.最終無論干擾后的聲場形式如何改變, 在該頻率下能流永遠(yuǎn)為全透射.因此當(dāng)波導(dǎo)中僅存在一階可傳播模態(tài)且在滿足要求的頻帶內(nèi)存在使該模態(tài)實(shí)現(xiàn)能流全透射的頻率時, 對應(yīng)的全透射現(xiàn)象呈現(xiàn)出完美魯棒性, 無視任何干擾的影響.

圖5(d)中的全透射聲場無法表現(xiàn)出完美魯棒性, 這里對其魯棒性進(jìn)行分析.當(dāng)最佳入射波存在隨機(jī)干擾時, 干擾后的入射波表達(dá)式可寫作:

式中, α (y) 與 β (y) 均 為 [ ?0.5,0.5] 區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)函數(shù).(25)式相當(dāng)于在最佳入射波poipt(0,y)上疊加了 ± 50% 的隨機(jī)幅度起伏以及 [ ?π/2,π/2] 的隨機(jī)相位起伏, 將該干擾入射波輸入至波導(dǎo)內(nèi)可經(jīng)由(16)式計算對應(yīng)的能流透射率.經(jīng)過 2 ×105次蒙特卡羅分析后, 算得能流透射率的相對標(biāo)準(zhǔn)差為?3.01%, 能流透射率的期望為0.974.從統(tǒng)計數(shù)據(jù)上看波導(dǎo)中的能流最大透射呈現(xiàn)出了較高的魯棒性.圖7中給出一組最佳入射波存在隨機(jī)起伏時產(chǎn)生的聲場, 聲場結(jié)果與圖5(d)相似, 聲場亦呈現(xiàn)出一定的空間對稱特性, 此時的能流透射率為0.985.聲場在一定程度上可認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了能流的全透射.

圖7 最佳入射波存在隨機(jī)擾動時的聲場Fig.7.Wave field generated by a disturbed optimal incident wave.

接著考慮高頻條件下, 即可傳播模態(tài)較多時,能流最大透射的魯棒性.圖8給出不同頻率下, 最佳入射波存在(25)式形式的隨機(jī)干擾時, 能流透射率的期望和相對標(biāo)準(zhǔn)差的變化曲線.其中任意頻率下的最佳入射波均按照(20)式—(22)式獨(dú)立求取, 求取后對其疊加隨機(jī)干擾再經(jīng)過 2 ×105次蒙特卡羅分析后求得能流透射率的期望和相對標(biāo)準(zhǔn)差.圖8中頻率選取范圍為 k ∈[1.2π,9.95π].由圖8可以明顯地看出, 在選取頻率范圍內(nèi), 能流透射率的期望均在0.95以上, 近乎為全透射; 而相對標(biāo)準(zhǔn)差的絕對值均在5%以內(nèi), 可認(rèn)為具有較高的抗干擾能力.因而非均勻波導(dǎo)中的全透射具有高魯棒性, 能夠更易于工程實(shí)現(xiàn).

圖8 最佳入射波存在隨機(jī)干擾時能流透射率的 (a)期望和(b)相對標(biāo)準(zhǔn)差隨頻率的變化Fig.8.(a) Expectation and (b) relative standard deviation of the flux-transmittance when the optimal incident wave is randomly perturbed.

5 討 論

文中方法所基于的耦合簡正波理論可用于求解多種非均勻波導(dǎo)內(nèi)的聲傳播問題, 求取過程不含任何近似處理, 能夠給出穩(wěn)定準(zhǔn)確的聲場解, 適用于深入分析波導(dǎo)中的各種聲傳播問題.

1)文中分析最大聲透射的方法同樣適用于含吸收散射體波導(dǎo), 散射體是否含吸收并不改變透射矩陣及水平波數(shù)矩陣的構(gòu)建方式, 方法仍然適用.但透射率曲線, 最佳入射波以及對應(yīng)聲場會受到影響.

2)對于含聲速剖面或介質(zhì)參數(shù)變化問題, 透射矩陣的構(gòu)建可參考文獻(xiàn)[37], 水平波數(shù)矩陣的構(gòu)建可參考文獻(xiàn)[45].分析最大聲透射問題的步驟仍可參照(17)式—(22)式.故該方法可對部分淺海波導(dǎo)中的最大聲傳播問題提供參考.

3)文中所使用的耦合簡正波法已被證明適用于分析彈性非均勻板中的蘭姆波傳播問題[46], 故結(jié)合文中分析最大聲透射的方法可分析彈性聲超構(gòu)材料中的蘭姆波最大透射特性.

4)文中方法對分析最大聲反射問題同樣適用.

此外, 考慮實(shí)驗(yàn)構(gòu)建最佳入射波時, 文獻(xiàn)[47]已證明以半波長為間隔稀疏輸入最佳入射波可重構(gòu)原入射波的傳播特性, 因此通過合理地選取各采樣點(diǎn)處聲源的源級和初相, 結(jié)合能流最大透射對最佳入射波的幅度和相位擾動具有強(qiáng)魯棒性的特點(diǎn),能夠構(gòu)建出滿足要求的入射波, 為工程實(shí)現(xiàn)提供一定的可行性.

6 結(jié) 論

本文提出了一種分析非均勻波導(dǎo)中能流最大透射問題的方法, 理論推導(dǎo)出入射波與任意位置聲場的映射關(guān)系并給出透射波能流的表達(dá)式, 進(jìn)而分析發(fā)生最大聲透射時聲波需要滿足的頻率條件或波形條件.能流表達(dá)式主要由透射矩陣、水平波數(shù)矩陣及入射波決定, 其中透射矩陣和水平波數(shù)矩陣均可利用耦合簡正波法構(gòu)建.本文討論了任意聲波入射時能夠?qū)崿F(xiàn)最大聲能流透射的頻率及對應(yīng)聲場解, 以及任意頻率下能夠?qū)崿F(xiàn)最大聲能流透射的入射波及對應(yīng)聲場解.結(jié)果表明, 即使在頻率較低的情況下, 聲能流也可能存在全透射現(xiàn)象.值得注意的是, 聲能流的零反射不代表聲壓的零反射, 聲場中存在反射波與能流的全透射之間并不矛盾, 原因在于反射波中可以存在不傳播能流的衰逝模態(tài)成分.此外, 波導(dǎo)中的最大能流透射具有較強(qiáng)的魯棒性, 尤其是當(dāng)波導(dǎo)中僅存在一階可傳播模態(tài)時,該模態(tài)的能流全透射能夠表現(xiàn)出完美魯棒性.本文提出的方法在復(fù)雜介質(zhì)聲通信或超構(gòu)材料設(shè)計分析中具有一定的應(yīng)用價值.