一種適用于大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)的憶阻器單元解析建模策略*

胡煒 廖建彬 杜永乾

1) (福州大學(xué)物理與信息工程學(xué)院, 福州 350116)

2) (集美大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院, 福建省船舶與海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廈門 361021)

3) (西北工業(yè)大學(xué)深圳研究院, 深圳 518057)

4) (西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院, 西安 710072)

憶阻網(wǎng)絡(luò)是一種基于憶阻器單元的大規(guī)模非線性電路, 在下一代人工智能、生物電子、高性能存儲(chǔ)器等新興研究領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.描述憶阻器單元物理和電學(xué)特性的模型對(duì)憶阻網(wǎng)絡(luò)的性能仿真具有顯著影響.然而, 現(xiàn)有模型主要為非解析模型, 應(yīng)用于憶阻網(wǎng)絡(luò)分析時(shí)可能存在收斂性問題.因此, 提出了一種基于同倫分析法(homotopy analysis method, HAM)的憶阻器單元解析建模策略, 該策略具有解析性和收斂性優(yōu)化的特點(diǎn), 可提高憶阻器單元和相應(yīng)憶阻網(wǎng)絡(luò)的收斂性.此外, 還提出了一種面向憶阻器單元模型的驗(yàn)證準(zhǔn)則, 以驗(yàn)證模型在大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)中的適用性.通過憶阻器單元和憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)演化實(shí)驗(yàn)以及與傳統(tǒng)非解析(數(shù)值)方法的比較, 驗(yàn)證了所提策略的解析性和收斂性優(yōu)勢(shì); 利用不同類型憶阻器單元和輸入的實(shí)驗(yàn), 驗(yàn)證了該策略的擴(kuò)展性.進(jìn)一步地, 基于上述實(shí)驗(yàn), 揭示了憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真出現(xiàn)收斂性問題的潛在原因.該策略可應(yīng)用于基于憶阻網(wǎng)絡(luò)的新興研究.

1 引 言

憶阻器是一種由多層納米薄膜組成的新型微納器件, 具有高非線性和非易失性開關(guān)的特點(diǎn), 能夠以非易失方式“記憶”流經(jīng)的電荷和磁通量, 具體體現(xiàn)為內(nèi)部狀態(tài)變量和憶阻值的動(dòng)態(tài)演化[1,2].此外, 憶阻器還具有低開關(guān)功耗(約1 fJ)[3]、納米尺寸(約幾 nm)[4,5]、快速讀寫時(shí)間(約1 ps)[6]、簡(jiǎn)單器件結(jié)構(gòu)(約多層薄膜結(jié)構(gòu))[7,8]、可與現(xiàn)有CMOS半導(dǎo)體工藝兼容以實(shí)現(xiàn)3D集成[9]等優(yōu)點(diǎn).因而憶阻器在人工智能[10?13]、非易失性存儲(chǔ)器[14,15]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16?18]等新興研究領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.

上述憶阻器應(yīng)用的一個(gè)共同特征是大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)的使用.在這些網(wǎng)絡(luò)中, 大量的憶阻器作為基本單元以特定的電路連接形式構(gòu)建了復(fù)雜的電路拓?fù)浼軜?gòu), 從而實(shí)現(xiàn)了特定的電路功能, 如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的多層感知.為了有效分析和評(píng)估憶阻網(wǎng)絡(luò)的性能, 憶阻器單元的模型至關(guān)重要, 其由憶阻器建模策略得來.由于描述憶阻器單元復(fù)雜工作機(jī)理的物理模型(即各物理方程, 其中以狀態(tài)方程最為重要)具有強(qiáng)非線性, 因而不易通過基本函數(shù)來解析求解核心變量—狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)演化, 故傳統(tǒng)建模策略常采用非解析(數(shù)值)的方法以獲得近似的、適用于憶阻網(wǎng)絡(luò)的憶阻器單元模型.

如Mladenov[19]通過PSpice工具成功測(cè)試了5 × 5交叉桿陣列(crossbar array)和6 × 6憶阻矩陣電路的性能, 上述電路中每個(gè)基本單元均采用數(shù)值型HfO2憶阻器模型, 該模型中Sinh和Exp等高非線性函數(shù)對(duì)電路收斂性和仿真時(shí)間的影響并未被進(jìn)一步研究.Biolek等[20]為了提升惠普憶阻器單元模型[1]的魯棒性, 在狀態(tài)方程中引入了磁通/電荷與狀態(tài)變量之間的非線性轉(zhuǎn)換函數(shù).通過該函數(shù)的作用, 基于惠普模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)規(guī)?？蓮? × 5提升到700 × 700, 該文獻(xiàn)并未分析轉(zhuǎn)換函數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)收斂性的作用.Li等[21]驗(yàn)證了現(xiàn)象學(xué)憶阻器單元模型在64 × 64交叉桿陣列結(jié)構(gòu)中的適用性, 該模型采用基于p-Si/SiO2/n-Si憶阻器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化電荷空間型物理機(jī)理, 上述交叉桿陣列電路僅適用于特定材料下的多層薄膜憶阻器單元, 存在擴(kuò)展性受限的問題.Yakopcic等[22]將特定條件下可“通用”的Spice模型嵌入到包含有256個(gè)憶阻器單元的憶阻電路, 通過仿真驗(yàn)證了該憶阻電路的功能, 該模型需要將憶阻器單元原始物理模型與所提出的“通用”公式進(jìn)行多參數(shù)擬合, 擬合方法和擬合的準(zhǔn)確性會(huì)嚴(yán)重影響模型的收斂性.Li等[23]將氧化型憶阻器單元的簡(jiǎn)化導(dǎo)電絲模型嵌入到單晶體管-單憶阻器結(jié)構(gòu)中, 并以該結(jié)構(gòu)為基本單元組成了從8 × 8到128 × 128的存儲(chǔ)陣列電路, 以仿真驗(yàn)證大規(guī)模憶阻器陣列的存儲(chǔ)功能.該模型由于其非解析特性, 在仿真過程中易出現(xiàn)數(shù)據(jù)溢出的現(xiàn)象.

然而, 上述非解析(數(shù)值)模型由于無(wú)法得到模型的解析解表達(dá)式(也稱作顯函數(shù)或閉合函數(shù)),其求解和仿真僅限定于數(shù)值求解和數(shù)值仿真, 并具有如下限制: 1)由于解表達(dá)式的缺失, 導(dǎo)致數(shù)值模型無(wú)法評(píng)估、預(yù)測(cè)和優(yōu)化憶阻器的物理行為; 2)數(shù)值模型的解為一系列離散的數(shù)值, 無(wú)法對(duì)所求各物理變量作定性分析, 且不具備符號(hào)計(jì)算的能力, 即無(wú)法由所得變量直接求出其他待求變量的完整表達(dá)式; 3)非解析建模所采用的核心數(shù)學(xué)方法, 如數(shù)值積分法和有限差分法, 可能導(dǎo)致各種離散、截?cái)嗪蜕崛胝`差[20].盡管這些誤差值量級(jí)較小, 但對(duì)長(zhǎng)時(shí)演化下的憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真具有不可忽視的負(fù)面影響.具體而言, 采取上述方法求得的狀態(tài)變量數(shù)值近似解具有偏離理論準(zhǔn)確解(假設(shè)該解存在)的潛在風(fēng)險(xiǎn), 從而可導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)仿真的收斂性問題和數(shù)據(jù)溢出; 4)更為嚴(yán)重的是, 上述方法的仿真收斂性高度依賴于迭代步長(zhǎng)的設(shè)置, 不同的步長(zhǎng)會(huì)產(chǎn)生不同的仿真結(jié)果, 從而影響仿真結(jié)果的一致性和準(zhǔn)確性.因此, 采用憶阻器數(shù)值近似模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)在電子設(shè)計(jì)自動(dòng)化工具(electronic design automation,EDA)仿真中, 經(jīng)常會(huì)遇到收斂性問題, 特別是在長(zhǎng)時(shí)演化的場(chǎng)景下該問題會(huì)尤其明顯(詳見本文第4節(jié)分析), 且隨著憶阻器單元數(shù)量的增加, 收斂性對(duì)仿真的影響也愈加顯著.此外, 不同的仿真平臺(tái)和仿真設(shè)置(如步長(zhǎng)和容忍精度)下, 采用相同的數(shù)值模型可能會(huì)造成仿真結(jié)果的差異.

鑒于上述非解析建模方法的局限性, 本文提出一種新型的、適用于大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)的憶阻器單元解析建模策略, 該策略可提高憶阻網(wǎng)絡(luò)長(zhǎng)時(shí)演化仿真的收斂性, 從而加速憶阻網(wǎng)絡(luò)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等新興領(lǐng)域的應(yīng)用.與傳統(tǒng)非解析建模方法不同, 該策略首先基于廖世俊教授[24]提出的同倫分析方法(homotopy analysis method, HAM)、以解析的同倫級(jí)數(shù)的形式從狀態(tài)方程求解憶阻器單元的核心參數(shù)—狀態(tài)變量的解析近似解, 然后利用所求解得到憶阻器單元的解析近似模型, 最后將該模型嵌入到憶阻網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)憶阻器單元.該策略具有如下特點(diǎn): 1)其解具有閉合表達(dá)式特征, 即解為顯函數(shù), 具有解析性; 2)其解的近似誤差進(jìn)行了優(yōu)化,從而實(shí)現(xiàn)了模型以及基于模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)的收斂性優(yōu)化.通過憶阻器單元和憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)的仿真實(shí)驗(yàn), 驗(yàn)證了該策略與傳統(tǒng)非解析方法相比所具有的解析性和收斂性優(yōu)勢(shì), 并進(jìn)一步分析了該策略在不同類型憶阻單元器件和輸入下的高擴(kuò)展性.

本文結(jié)構(gòu)如下: 第2節(jié)提出了一種基于HAM的解析建模策略; 第3節(jié)以經(jīng)典的惠普(HP)Pt/TiO2/Pt型憶阻器單元[1]為例, 具體說明了求解HAM模型的詳細(xì)步驟; 第4節(jié)提出了一種適用于憶阻網(wǎng)絡(luò)中憶阻器單元模型的驗(yàn)證準(zhǔn)則, 并通過憶阻器單元和大規(guī)模憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)演化實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了該策略的適用性以及解析性和收斂性優(yōu)勢(shì)(與傳統(tǒng)非解析方法相比); 第5節(jié)就各實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及該策略的性能優(yōu)勢(shì)和擴(kuò)展性進(jìn)行了討論; 第6節(jié)為結(jié)論部分.

2 基于HAM的解析建模策略

HAM提出的初衷是為了求解各種非線性問題[24?27], 其基于同倫理論, 可將一個(gè)非線性方程通過同倫轉(zhuǎn)換成數(shù)個(gè)線性方程, 同時(shí)可靈活選擇適當(dāng)?shù)耐瑐愋问揭詼p少計(jì)算的迭代次數(shù), 從而使復(fù)雜問題易于解析求解.結(jié)合HAM的上述特征以及憶阻器單元原始物理模型中狀態(tài)方程的非線性特性, 所提建模策略采用HAM來解析求解狀態(tài)方程, 從而得出狀態(tài)變量的解析近似解, 以構(gòu)建適用于大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)的憶阻器單元解析近似模型, 最終提高憶阻網(wǎng)絡(luò)的收斂性.

具體而言, 從憶阻器單元的定義和物理性質(zhì)可知, 憶阻器單元和憶阻網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化主要由憶阻器單元的狀態(tài)方程決定[20], 該方程描述了狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)演化過程, 一般為非線性微分方程(nonlinear differential equation, NDE)[28].

為解析求解狀態(tài)變量, 進(jìn)而通過狀態(tài)變量得到完整的解析模型, 本文所提策略包含以下步驟.

首先, 根據(jù)需要建模的憶阻單元器件類型及相應(yīng)的原始物理模型(即物理方程)、器件參數(shù), 得到狀態(tài)方程 N [x(t)]=0.其中, N 為非線性微分算子; x (t) 為狀態(tài)變量, 是憶阻器單元各物理變量中最核心的變量, 決定了憶阻值、輸出響應(yīng)等其他物理變量的動(dòng)態(tài)演化.

其次, 利用HAM構(gòu)造高階同倫形變方程

其中, xm(t) 項(xiàng)表示第 m 階同倫系數(shù)( m ∈N.如果m=1 則 xm=0 , 否 則 χm=1 ); φ (t;q) 是 用 來 逼近待解狀態(tài)變量 x (t) 的近似函數(shù); q 表示用于構(gòu)造同倫轉(zhuǎn)換的嵌入?yún)?shù)( q ∈[0,1] ) ;是為了優(yōu)化所求解的收斂性而引入的收斂控制參數(shù); L 為輔助線性算子.

然后, 對(duì)(1)式兩邊進(jìn)行逆線性算子 L?1的運(yùn)算, 即

可得

其中, Dm定義為第 m 階同倫導(dǎo)數(shù)算子

線性算子 L 的選擇具體取決于狀態(tài)方程的表達(dá)式特征.通常情況下, 不同類型憶阻器單元的狀態(tài)方程本質(zhì)為一階NDE[28], 所以取 L 為一階微分, 相應(yīng)地, L?1取一階積分.

接下來, 將(3)式中 xm(t,?) 代入到原狀態(tài)方程, 通過最小化狀態(tài)方程的離散平方剩余誤差(即殘差平方和) EN(?) 以 求解最優(yōu) ? , 即

其中,

式中, N 為近似階數(shù), NP為均勻選擇的時(shí)間點(diǎn)數(shù)目, 第 j 個(gè)時(shí)間點(diǎn)可表示為 tj=j?t , 且

其中, Γ 為原狀態(tài)方程 N [x(t)] 在具體仿真場(chǎng)景下的時(shí)域范圍.

為了提高解的收斂性, 最優(yōu) ? 需滿足如下要求:1)隨著同倫近似階數(shù) N 的增加, 所得 ? 須迅速收斂到某個(gè)固定值, 避免在該值附近振蕩; 2)在給定近似階數(shù)N 的前提下, EN(?) 須盡可能小, 以減少誤差從而進(jìn)一步優(yōu)化 xm(t) 的收斂性.

最后, 聯(lián)立(3)式和(4)式及所得最優(yōu) ? , 可求出收斂性優(yōu)化后的狀態(tài)變量 x (t) 的 N 階解析近似解 xN(t) , 其具有由解析同倫級(jí)數(shù)構(gòu)成的解表達(dá)式:

其中 x0(t) 為給定的 x (t) 初始值.

3 求解HAM解析模型

以第2節(jié)所述通用求解步驟為基礎(chǔ), 本節(jié)以經(jīng)典惠普HP Pt/TiO2/Pt型憶阻器單元[1]為例, 詳述所提HAM建模策略的具體建模流程, 以得到HP憶阻器單元的解析近似模型.

HP Pt/TiO2/Pt型憶阻器中, Pt是兩端的金屬鉑電極, TiO2是夾在兩個(gè)Pt電極之間且摻雜了氧空位的二氧化鈦開關(guān)層薄膜.該憶阻器單元的物理機(jī)理是在輸入導(dǎo)致的外部電場(chǎng)作用下, 氧空位在二氧化鈦開關(guān)層中作非線性漂移運(yùn)動(dòng), 其原始狀態(tài)方程[1]可由NDE表示為

其中, IM(t)=Asin(ωt) 為輸入電流, D 是二氧化鈦層的厚度; x (t) 是該憶阻器單元的狀態(tài)變量, 其定義為摻雜層和 D 之比; RON表示低憶阻值( x =1 );μV表示電場(chǎng)作用下的平均氧空位遷移率;fw[x(t)]為窗函數(shù)用于確保求解得到的 x (t) 處于合理的物理邊界, 即x∈[0,1].

本節(jié)以Joglekar窗函數(shù)[29](簡(jiǎn)稱J窗函數(shù))為例, 其中 fw[x(t)]=1?(2x?1)2P, 非線性控制參數(shù) P =2 , 此時(shí)狀態(tài)方程(9)具有強(qiáng)非線性[29], 無(wú)法求出完全解析解.值得注意的是, 盡管J窗函數(shù)具有一定的局限性, 如存在所謂的“邊界效應(yīng)”(即當(dāng) x (t)=1 或 x (t)=0 時(shí), x (t) 將永遠(yuǎn)固定在這兩個(gè)邊界)[30], 但由于該函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)單從而便于列出下文所求的 x (t) 表達(dá)式(由(9)式可見, 解的復(fù)雜度與窗函數(shù)的復(fù)雜度正相關(guān)), 其仍被選為例子以闡明所提HAM建模策略的具體求解流程, 對(duì)于其他重要的窗函數(shù)[30,31]而言, 求解流程是類似的。此外, 該策略也同樣適用于其他窗函數(shù)(詳見圖1和圖3—圖5仿真所采用的Prodromakis[31]和Biolek[30]窗函數(shù)以及5.3節(jié)的討論), 具體求解流程并無(wú)區(qū)別, 這是因?yàn)榇昂瘮?shù)雖然種類繁多, 但本質(zhì)上均為非線性多項(xiàng)式[20], 而HAM提出的初衷正是為了處理包括非線性多項(xiàng)式在內(nèi)的各種非線性問題[24?27].

將 P =2 的J窗函數(shù)代入(9)式中, 此時(shí)HP憶阻器單元的狀態(tài)方程為

聯(lián)立(4)式和(9)式, 可得

將(11)式代入(3)式后, 再聯(lián)立(8)式, 可得到 x (t) 的三階解析近似解(注意, 此處取三階的目的僅為舉例說明HAM策略的求解流程, 也可取其他階數(shù).其他階的解具有相似的表達(dá)式.由于篇幅所限, 本文不再羅列):

其中, px3,1—px3,3和 β 是為了化簡(jiǎn)(12)式而形成的中間參數(shù), 表達(dá)式為

通過最小化 E3(t,?) 求解到最優(yōu) ? 后, 可將HP憶阻器單元[1]的器件和輸入?yún)?shù)代入到(12)式—(15)式, 從而得出 x3(t) 的閉合表達(dá)式(本質(zhì)上是解析近似解).為方便通過實(shí)例的方式更進(jìn)一步闡明該策略的建模步驟, 附錄中給出了將器件和輸入?yún)?shù)[1]代入(12)式后得出的狀態(tài)變量 x3(t) 、相應(yīng)記憶值(t) 和輸出響應(yīng)(t) (等于 IM(t)×(t) )的完整表達(dá)式.上述計(jì)算過程使用Mathematica?[32]數(shù)學(xué)軟件完成.

4 驗(yàn) 證

為驗(yàn)證所提HAM建模策略在大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)中的適用性, 以及與傳統(tǒng)非解析建模方法相比具有的解析性和收斂性優(yōu)勢(shì), 利用第3節(jié)所求的HAM模型, 分別進(jìn)行憶阻器單元和憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)演化實(shí)驗(yàn).具體而言, 采用配置為Intel Xeon?E7-8870 CPU (2.4 GHz), 32 GB DRAM (DDR4-2666 MHz)的工作站、以及Hspice?[33]EDA工具,分別進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)動(dòng)態(tài)演化(圖1、圖2—圖4)和演化時(shí)間統(tǒng)計(jì)(圖5)的仿真, 并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與傳統(tǒng)非解析數(shù)值模型進(jìn)行了比較(圖1和圖5)和分析.

4.1 憶阻器單元中狀態(tài)變量的長(zhǎng)時(shí)演化實(shí)驗(yàn)

由于憶阻器是組成憶阻網(wǎng)絡(luò)的最基本單元, 其收斂性對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體的收斂性具有顯著影響, 因此首先在單個(gè)憶阻器(憶阻器單元)中來驗(yàn)證所提策略的適用性.根據(jù)憶阻器的輸入-輸出動(dòng)力學(xué)理論[34],當(dāng)輸入為周期性長(zhǎng)時(shí)信號(hào)時(shí), 憶阻器單元的輸出響應(yīng), 即狀態(tài)變量 x (t) 的動(dòng)態(tài)演化, 也必須是周期性的, 且在不同輸入周期之間須保持一致.

然而, 從圖1(a)可看出, 長(zhǎng)時(shí)間輸入激勵(lì)下,基于傳統(tǒng)非解析模型[35]的狀態(tài)變量 x (t) 呈現(xiàn)出非周期性的演化現(xiàn)象, 違反了憶阻器的輸入-輸出動(dòng)力學(xué)理論.該現(xiàn)象是由構(gòu)建非解析模型過程中采用數(shù)值積分法引入的離散、截?cái)嗪蜕崛胝`差引起的.這些誤差在每個(gè)輸入周期內(nèi)不斷累積, 導(dǎo)致 x (t) 偏離其物理邊界 x ∈[0,1] , 最終造成仿真結(jié)果不正確.具體而言, 當(dāng)輸入極性發(fā)生變化時(shí), 非解析模型持續(xù)對(duì)輸入進(jìn)行積分, 從而需要一個(gè)等值的積分量(對(duì)電流輸入而言, 該積分量為電荷), 以抵消極性改變前所累積的積分量.只有在每次抵消完成后,x(t)才會(huì)再次隨著輸入開始演變.長(zhǎng)時(shí)場(chǎng)景下, 上述抵消效應(yīng)對(duì)演化造成的負(fù)面影響更為明顯.

與之相反, 由于HAM模型本身的解析特性,其解不存在上述誤差.故如圖1(b)所示, 基于解析HAM模型得到的 x (t) 呈現(xiàn)出理想的周期性演化特征, 表明所提HAM策略比傳統(tǒng)非解析方法更適合于長(zhǎng)時(shí)演化下的憶阻器單元建模.值得注意的是: 1)不同于第3節(jié)用于舉例的J窗函數(shù), 圖1的實(shí)驗(yàn)采用了優(yōu)化型Prodromais窗函數(shù)[31,34], 基于該函數(shù)的HP憶阻器解析建模流程與Joglekar窗函數(shù)下的(12)式—(15)式完全一致, 只是窗函數(shù)表達(dá)式不同而已, 從而也驗(yàn)證了本策略對(duì)不同窗函數(shù)的擴(kuò)展性; 2)在短時(shí)仿真且x(t)沒有到達(dá)1或者0的前提下, 部分非解析模型(如HP模型[1])的演化會(huì)呈現(xiàn)周期性特性.但圖1的仿真前提為更加苛刻的長(zhǎng)時(shí)演化且狀態(tài)變量演化已到達(dá)1, 故非解析模型并不適用, 這是因?yàn)榉墙馕瞿Ｐ退a(chǎn)生的各類數(shù)值誤差會(huì)在長(zhǎng)時(shí)間仿真下不斷累積[28], 而憶阻網(wǎng)絡(luò)的典型應(yīng)用場(chǎng)景均為長(zhǎng)時(shí)[20]; 3)同樣是基于優(yōu)化型Prodromakis窗函數(shù)的HP憶阻器模型[31], 但分別采用由本策略得出的HAM解析模型和Prodromakis數(shù)值模型得到的長(zhǎng)時(shí)演化相比, HAM模型具有明顯的周期性,從而克服了優(yōu)化型Prodromakis模型由于各種數(shù)值誤差所產(chǎn)生的非周期性現(xiàn)象, 體現(xiàn)了該策略的價(jià)值和意義所在.

圖1 輸入電流 A sin(ωt) 激勵(lì)下, HP Pt/TiO2/Pt憶阻器單元的傳統(tǒng)非解析和HAM解析模型中各自狀態(tài)變量x(t)的長(zhǎng)時(shí)演化對(duì)比 (a)非解析(數(shù)值積分)模型[35]; (b)解析的HAM模型.兩種模型采用相同的仿真配置(Hspice仿真)和器件參數(shù): 優(yōu)化型Prodromakis窗函數(shù)[31,34] (f(x)=其中非線性控制參數(shù)P=7 ), x 0=0.5,RON=1 00 Ω, δ =10 (高低憶阻值之比), A =1 mA, 以及 ω =0.1/(2π) rad/sFig.1.Dynamic evolution comparison of the state variables based on the traditional non-analytic[35] and the analytic HAM models of the HP Pt/TiO2/Pt memristor, respectively, under an input current A sin(ωt) : (a) Non-analytic (numeric integration) mode; (b) analytic 3-order HAM model.The optimized Prodromakis window[31,34] (f(x)=where nonlinearity controlling parameter P =7 ) and the device parameters:x0=0.5,RON=1 00 Ω, δ =10 (the ratio of high memristance to low resistance), A = 1 mA, and ω=0.1/(2π)rad/s, are used in the two models (Hspice simulation).

4.2 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)輸出響應(yīng)的長(zhǎng)時(shí)演化實(shí)驗(yàn)

本節(jié)采用大規(guī)模憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)作為基準(zhǔn)電路,以驗(yàn)證所提HAM建模策略在憶阻網(wǎng)絡(luò)中的適用性, 該網(wǎng)絡(luò)已被廣泛用于評(píng)估憶阻網(wǎng)絡(luò)的收斂性[20],實(shí)驗(yàn)分為直流(DC)和交流(AC)輸出響應(yīng).此外,還對(duì)基于HAM與傳統(tǒng)非解析方法的憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真時(shí)間進(jìn)行了定量對(duì)比和分析.

如圖2所示, M ×N 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)含有(M+1)(N+1) 個(gè) 電路節(jié)點(diǎn), 2 MN+M+N 個(gè)相同的憶阻器單元, M 和N 分別表示網(wǎng)絡(luò)中橫向和縱向單元的數(shù)目.假設(shè)每個(gè)單元模型含有 a 個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn), 則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)為

圖2 M ×N 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò).電流或電壓信號(hào)可作用于網(wǎng)絡(luò)的“in”輸入端Fig.2.A M ×N memristive matrix network.The current or voltage is inputted into the “in” terminal of the network.

4.2.1 適用于憶阻網(wǎng)絡(luò)中憶阻器單元模型的驗(yàn)證準(zhǔn)則

由(17)式可知, 該憶阻網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度可通過設(shè)置 M 和 N 的取值來動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié), 即 M 和 N 的取值越大則網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)越多, 網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜, 從而越容易產(chǎn)生收斂性問題.如 M =N=100 時(shí), 該網(wǎng)絡(luò)具有 2 0200 個(gè)憶阻器單元和 3 0000α+20001 個(gè)節(jié)點(diǎn).面對(duì)如此復(fù)雜的非線性憶阻網(wǎng)絡(luò), 不易采用傳統(tǒng)的直接計(jì)算法對(duì)輸出響應(yīng)進(jìn)行分析進(jìn)而驗(yàn)證憶阻器單元模型的適用性, 這是因?yàn)榛趹涀杵鞯囊延欣碚摕o(wú)法直接計(jì)算出該網(wǎng)絡(luò)的輸出響應(yīng)[28].

為解決上述問題, 受憶阻器的閉合理論[36](即任何具有地端的憶阻系統(tǒng), 可等效為一個(gè)嚴(yán)格遵循憶阻器fingerprints準(zhǔn)則的“擴(kuò)展型”憶阻器)啟發(fā),并結(jié)合Biolek等[20]的研究, 提出了一種改進(jìn)的間接法驗(yàn)證準(zhǔn)則, 以對(duì)憶阻器網(wǎng)絡(luò)中憶阻器單元模型的適用性進(jìn)行多方位驗(yàn)證, 具體如下:

1)如果憶阻網(wǎng)絡(luò)中所有憶阻器單元都相同(包括相同的初始憶阻值), “in”輸入端的電壓或電流、以及通過零時(shí)瞬態(tài)仿真( t =0 時(shí))得到的整體網(wǎng)絡(luò)憶阻值(此時(shí)網(wǎng)絡(luò)已等效為一“擴(kuò)展型”憶阻器)可被驗(yàn)證, 具體方法為: 以傳統(tǒng)線性電阻代替所有憶阻器單元, 采用電路分析理論(將在下文詳述)計(jì)算初始憶阻值, 然后對(duì)比理論計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果;

2)根據(jù)憶阻器單元的定義及其物理特性, 當(dāng)輸入信號(hào)為0時(shí), “in”輸入端的電壓或電流必須為0, 即基于閉合理論, 當(dāng)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)“擴(kuò)展型”憶阻器后, 該憶阻器的I-V曲線須經(jīng)過零點(diǎn)且呈現(xiàn)出壓縮遲滯環(huán)特征[36];

3)仿真過程中, 憶阻器單元和等效“擴(kuò)展型”憶阻器的所有狀態(tài)變量必須時(shí)刻保證在合理的物理邊界內(nèi), 如HP憶阻器單元中 x (t)∈[0,1].

如仿真結(jié)果違反上述準(zhǔn)則, 表明網(wǎng)絡(luò)中使用的憶阻器單元模型存在確定的收斂性問題.值得注意的是, 該準(zhǔn)則不僅適用于如圖2所示的憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)分析, 由于其源自憶阻器基本理論[20,36,37], 理論上可被用于其他具有不同架構(gòu)的憶阻網(wǎng)絡(luò).

4.2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為計(jì)算“in”輸入端與地之間的等效初始憶阻值, 采用已被驗(yàn)證、可有效分析電阻網(wǎng)絡(luò)的Lattice Green函數(shù)[38], 作為準(zhǔn)則1)中的電路分析理論.由該函數(shù)計(jì)算所得的憶阻值為

其中, R0是憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)憶阻器單元的初始憶阻值, γ ≈0.5772 表示歐拉-馬斯克若尼常數(shù).

圖3是將HAM解析模型嵌入到圖2憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)憶阻器單元后, 進(jìn)行瞬態(tài)仿真得到的“in”輸入端電壓Vin的長(zhǎng)時(shí)演化過程, 其中各單元均為HP Pt/TiO2/Pt憶阻器.可以看出,t=0時(shí)得到的初始電壓與依據(jù)(18)式計(jì)算出的電壓值(即250 μ A × R(50,30) )相同, 均為7.5 V, 符合驗(yàn)證準(zhǔn)則1), 從而驗(yàn)證了HAM建模策略的精度, 及其在DC直流演化場(chǎng)景下的憶阻矩陣和大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)中的適用性.由圖3還可看出, t =5 s后Vin演化趨于穩(wěn)定, 符合憶阻器閉合理論[37], 即在直流輸入下, 憶阻器的輸出最終會(huì)演化到一個(gè)固定值并持續(xù)保持穩(wěn)定.

圖3 250 μ A DC電流Iin輸入下, 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)中“in”輸入端電壓Vin的瞬態(tài)長(zhǎng)時(shí)演化 M =50 , N =30.除采用Biolek窗函數(shù)[30]( P =2 )、初始憶阻值 R 0=16.6k? ,δ=1000之外, 其余仿真參數(shù)均與圖1相同F(xiàn)ig.3.Transient long-time evolution of the “in” terminal voltage (Vin) of the matrix network under a 250 μ A DC current input (Iin).M =50 , N =30 , and the simulation parameters are the same as those in Fig.1 except the Biolek window[30] ( P =2 ), initial memristance R 0=1 6.6 kΩ,and δ =1000 are used.

圖4 為“in”端輸入正弦電流信號(hào)時(shí), 采用HP Pt/TiO2/Pt憶阻器的HAM解析模型作為基本單元, 進(jìn)行瞬態(tài)仿真得到的憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)輸入端電壓Vin的演化過程(圖4(a))和相應(yīng)的I-V遲滯環(huán)(圖4(b)).由圖4可見, 此時(shí)I-V遲滯環(huán)呈現(xiàn)壓縮形態(tài), 且當(dāng)輸入電流為0時(shí), 對(duì)應(yīng)的Vin也為0, 即I-V遲滯環(huán)過零點(diǎn), 上述仿真結(jié)果符合驗(yàn)證方法2).另外, 依據(jù)狀態(tài)變量對(duì)輸出I-V響應(yīng)的影響特性[37],以及圖4(b)中I-V響應(yīng)曲線在多個(gè)周期下所呈現(xiàn)出的重疊(即多周期的I-V曲線重合)遲滯特性可知, 將矩陣網(wǎng)絡(luò)等效為單個(gè)“擴(kuò)展型”憶阻器后, 該憶阻器的狀態(tài)變量在多個(gè)周期內(nèi)持續(xù)地振蕩演化,且演化均在其合理物理邊界(即[0, 1])內(nèi), 滿足驗(yàn)證方法3).上述圖4的分析表明, 基于HAM模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)滿足驗(yàn)證方法2)和3), 從而驗(yàn)證了HAM建模策略對(duì)交流演化下的憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)以及大規(guī)模憶阻電路的適用性.

圖4 輸入幅度為1 mA、頻率為1 Hz的AC(正弦)電流時(shí)所對(duì)應(yīng)的憶阻矩陣瞬態(tài)長(zhǎng)時(shí)演化 (a) 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)中“in”輸入端電壓Vin; (b) 相應(yīng)的I-V曲線(重疊壓縮遲滯環(huán)).各仿真參數(shù)均與圖3相同F(xiàn)ig.4.Transient long-time evolutions of memristive matrix network under a 1 mA, 1 Hz AC (Sinusoidal) current input:(a) “in” voltage Vin; (b) corresponding I-V curves (compressed hysteresis loops).The simulation parameters are the same as those in Fig.3.

除適用性外, 通過對(duì)HAM和傳統(tǒng)非解析(數(shù)值積分)模型Hspice仿真時(shí)間的比較, 還可驗(yàn)證HAM建模策略相對(duì)于傳統(tǒng)非解析方法的解析性和收斂性優(yōu)勢(shì).由圖5可見, 在輸入分別為DC直流(圖5(a))和AC正弦(圖5(b))輸入且同等憶阻器單元數(shù)目的情況下, HAM比傳統(tǒng)非解析模型所用的仿真時(shí)間更少, 因而其計(jì)算效率更高.此外, 如圖5中黑色虛線所示, 當(dāng)直流和交流輸入下憶阻器單元數(shù)分別增加到5.01 × 105和5.10 × 103時(shí), 基于非解析模型的仿真會(huì)出現(xiàn)崩潰和數(shù)據(jù)溢出的現(xiàn)象, 表明仿真失敗; 相比而言, 由于HAM策略的解析性和收斂性優(yōu)化, 基于HAM模型的仿真均未出現(xiàn)上述現(xiàn)象, 表明仿真成功.需要注意的是, 除了模型的解析性和收斂性之外, 仿真硬件平臺(tái)的性能也會(huì)影響上述運(yùn)行時(shí)間(例如, CPU的運(yùn)行速度會(huì)影響仿真時(shí)間, DRAM的容量會(huì)影響數(shù)據(jù)溢出發(fā)生時(shí)憶阻器單元的數(shù)量), 盡管如此, 不同平臺(tái)仿真得到的演化趨勢(shì)和分析結(jié)果仍與圖5相同.

5 討 論

本節(jié)對(duì)圖3—圖5的仿真結(jié)果進(jìn)行深入討論,進(jìn)一步分析所提HAM解析建模策略相比傳統(tǒng)非解析建模方法所具有的收斂性優(yōu)勢(shì), 并驗(yàn)證該策略對(duì)其他憶阻網(wǎng)絡(luò)(基于不同類型的憶阻器單元)的擴(kuò)展性.

圖5 分別采用HAM和傳統(tǒng)非解析[37](數(shù)值積分)模型進(jìn)行憶阻矩陣仿真, 隨著憶阻器單元數(shù)目的增加, 仿真時(shí)間的對(duì)比 (a)和(b)分別表示DC和AC (正弦)電流輸入下的仿真時(shí)間.此對(duì)比分析基于圖3(DC)和圖4(AC)所示Vin的動(dòng)態(tài)演化Fig.5.Comparisons of running time between simulations using the HAM and the traditional non-analytic (numeric integration)[35] and models with increasing memristor cells:(a) and (b) show the time under the DC and AC (Sinusoidal) current inputs, respectively.The comparisons are adopted to analyze the dynamic evolutions Vin as shown in Figs.3(DC) and 4 (AC).

5.1 憶阻器單元的長(zhǎng)時(shí)演化

產(chǎn)生圖1實(shí)驗(yàn)結(jié)果的內(nèi)在原因?yàn)? 傳統(tǒng)非解析建模方法受硬件仿真平臺(tái)的機(jī)器精度限制, 存在最大有效仿真時(shí)間的問題[39], 如超過該時(shí)間, 仿真會(huì)有較大的累積誤差.這是因?yàn)? 數(shù)值積分等非解析方法的有效性建立在仿真時(shí)間步長(zhǎng)必須有下限的基礎(chǔ)上, 但由于機(jī)器精度的限制, 為了將累積誤差對(duì)狀態(tài)變量 x (t) 的影響約束在合理物理邊界內(nèi), 不得不在給定的仿真時(shí)間內(nèi)限制步長(zhǎng), 因此步長(zhǎng)下限無(wú)法得到保證, 特別是對(duì)于長(zhǎng)時(shí)演化仿真該問題會(huì)愈加嚴(yán)重, 故由該類方法導(dǎo)出的非解析模型不適用于憶阻器單元的長(zhǎng)時(shí)演化仿真.而HAM建模策略由于求解的 x (t) 是以解析的同倫級(jí)數(shù)來表示, 其嚴(yán)格解析從而沒有步長(zhǎng)下限的約束, 因此對(duì) x (t) 的仿真時(shí)間不敏感, 可適用于長(zhǎng)時(shí)演化的分析.

5.2 憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)演化

由4.2節(jié)分析可知, 當(dāng) M =N=100 時(shí), 圖2所示的憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)具有 2 0200 個(gè)憶阻器單元和30000α+20001個(gè)節(jié)點(diǎn).傳統(tǒng)的非解析憶阻器單元模型一般至少包含一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(即 α ≥1 )以及一個(gè)內(nèi)部積分器(一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)積分器)來模擬 x (t) 的動(dòng)態(tài)演化[28], 故基于該模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)含有大量(由(17)式可知, 具體為(1+2α)MN+(1+α)MN+1個(gè))積分方程待求解, 而通過HAM建模策略求得的 x (t) 如(12)式所示為一閉合表達(dá)式,因此基于HAM的 x (t) 無(wú)需解積分方程且其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)只有一個(gè), 即 α =1.由于 α 的不同, 導(dǎo)致以Pt/TiO2/Pt憶阻器為基本單元[1]的憶阻網(wǎng)絡(luò), 其基于HAM和傳統(tǒng)非解析模型的電路節(jié)點(diǎn)總數(shù)分別為 3 0401 個(gè)( α =1 ) 和 5 35401 個(gè)( α =26[35]).考慮到上述差異的顯著性, 可見基于HAM模型的憶阻網(wǎng)絡(luò)需要求解的節(jié)點(diǎn)電壓方程和支路電流方程也大幅減少, 從而可提高仿真收斂性和節(jié)省仿真時(shí)間(如圖5所示為例).

5.3 擴(kuò)展性

圖1和圖3驗(yàn)證了所提HAM建模策略對(duì)不同窗函數(shù)的擴(kuò)展性, 圖3和圖4驗(yàn)證了該策略對(duì)不同輸入(即直流和交流(正弦))的擴(kuò)展性, 進(jìn)一步地, 為驗(yàn)證該策略對(duì)器件類型的擴(kuò)展性以及相對(duì)于非解析方法的擴(kuò)展性優(yōu)勢(shì), 將其應(yīng)用于如表1所列的基于不同類型憶阻器單元所構(gòu)建的矩陣網(wǎng)絡(luò)仿真, 這些憶阻器單元具有不同的器件結(jié)構(gòu)、電極-開關(guān)層材料和物理機(jī)理.

由表1所列的仿真時(shí)長(zhǎng)對(duì)比可看出:

1)相比傳統(tǒng)非解析模型, 采用HAM模型的各憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真時(shí)間更少;

2)隨著原始物理模型的復(fù)雜度(即憶阻器單元的物理機(jī)理和相應(yīng)物理方程)從Pt/Ta2O5/TaOx/Pt增加到Ag/TiO2/ITO, 憶阻網(wǎng)絡(luò)的仿真時(shí)間也相應(yīng)增加, 且使用傳統(tǒng)非解析模型的網(wǎng)絡(luò)在某些情況下會(huì)遇到仿真收斂問題(即表1中所示的“不收斂”), 而采用HAM模型的所有網(wǎng)絡(luò)仿真均收斂;

表1 直流演化場(chǎng)景下, 基于不同類型憶阻器單元的憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真時(shí)長(zhǎng)比較Table 1.Running time comparisons of the DC evolution for memristive networks with different types of memristor cells.

3)由1)和2)可知, 所提HAM建模策略可適用于多種類型的憶阻器單元, 以及由這些憶阻器單元構(gòu)建的大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò).

值得注意的是, 憶阻器單元中狀態(tài)變量的定義取決于器件具體的器件結(jié)構(gòu)、電極-開關(guān)層材料和物理機(jī)理等.除本文用于舉例的HP Pt/TiO2/Pt憶阻器單元之外, 其他憶阻器單元的狀態(tài)變量有導(dǎo)電絲的長(zhǎng)度、隧穿的勢(shì)壘寬度等.雖然不同類型的憶阻器單元, 其定義具有一定差異性, 但所提HAM策略的建模步驟是類似的, 這是因?yàn)閼涀杵鲉卧臓顟B(tài)方程通常是NDE, 而該策略中使用的HAM對(duì)于求解各類NDE具有極高的通用性[24?27].

5.4 導(dǎo)致憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真不收斂的潛在原因

通過上文實(shí)驗(yàn)分析和討論可知, 非解析型模型在憶阻器單元和憶阻矩陣網(wǎng)絡(luò)長(zhǎng)時(shí)演化的仿真過程中, 以及不同類型憶阻網(wǎng)絡(luò)的仿真時(shí)間比較中,皆存在收斂性問題, 而解析HAM模型均未出現(xiàn)該問題.因此, 可得出合理的推論: 憶阻器單元模型的非解析性是導(dǎo)致大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真不收斂的潛在原因之一.

6 結(jié) 論

綜上所述, 本文提出了一種新型的、適用于大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真的憶阻器單元HAM建模策略,基于其解析性和收斂性優(yōu)化, 該策略具有以下優(yōu)點(diǎn):

1)保證了由原始物理模型導(dǎo)出的解析近似模型的連續(xù)收斂性;

2)能夠模擬憶阻器單元和憶阻網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)動(dòng)態(tài)演化;

3)對(duì)具有不同類型窗函數(shù)、輸入和憶阻器單元的大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)均具有靈活的擴(kuò)展性.

基于此策略和所提憶阻器單元模型的驗(yàn)證準(zhǔn)則, 通過各對(duì)比實(shí)驗(yàn), 揭示了大規(guī)模憶阻網(wǎng)絡(luò)仿真中不收斂現(xiàn)象的潛在原因之一是所用憶阻器單元模型的非解析性.該策略有望進(jìn)一步用于憶阻器單元和憶阻網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)時(shí)性能分析和優(yōu)化, 促進(jìn)憶阻器單元和憶阻網(wǎng)絡(luò)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等新興技術(shù)中的應(yīng)用.

附 錄

利用所提HAM建模策略, 可求出Joglekar窗函數(shù)下Pt/TiO2/Pt憶阻器單元[1]的三階解析近似解為(將器件和輸入?yún)?shù)[1]代入(12)式后得出)

隨后, 基于(A1)式以及原始物理模型中的端口方程[1]

其中 δ 是高( x (t) =0)低( x (t) =1)憶阻值之比, 可得相應(yīng)憶阻值(t) 的三階解析近似解為