2020年澳大利亞HSC數(shù)學(xué)考試壓軸題解法賞析*

張 倩 (山西師范大學(xué)教師教育學(xué)院 041004)

沈 威 (廣東省惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 516007)

1 引言

High School Certificate Examination(以下簡稱HSC考試)是澳大利亞新南威爾士州的高中畢業(yè)聯(lián)考，是由新州教學(xué)委員會(huì)組織的對(duì)高中畢業(yè)生進(jìn)行的一項(xiàng)水平考試．HSC數(shù)學(xué)考試歷史悠久，在澳大利亞高考中占有重要地位，其出題方式、考查內(nèi)容深刻體現(xiàn)了澳大利亞高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，具有科學(xué)性和公平性．目前，HSC考試已得到世界上主要國家和地區(qū)教育界的承認(rèn)，學(xué)生在HSC考試中的成績可以申請(qǐng)這些認(rèn)可該成績的國家的大學(xué)．HSC數(shù)學(xué)試題注重一般數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)實(shí)際情境的聯(lián)系，它的題量大，考查內(nèi)容廣泛，解題時(shí)間較長，最后的壓軸題與大多數(shù)數(shù)學(xué)試卷一樣也具有分值高、難度大的特點(diǎn)，有一定的區(qū)分性和綜合性.接下來我們對(duì)2020年HSC數(shù)學(xué)考試壓軸題中的(a)小題進(jìn)行賞析．

2 試題分析

HSC數(shù)學(xué)試卷共包含10道選擇題和6道解答題，考試時(shí)長165分鐘，滿分100分．1～10題為選擇題，每道分值為1分，選擇題部分的分值僅占全卷10%．11～16題為解答題，每道大題包含 3～6個(gè)小題，每道小題從易到難由1～4個(gè)小問組成，每道大題分值13到18分不等，共計(jì)90分．本文選取的是2020年第16題，該大題分值為14分，分為(a)(b)(c)三個(gè)小題，其中(a)題的三個(gè)小問共占5分．

(a)Michelle借了450 000美元，在25年的時(shí)間里每月定期償還P美元，其中年利率為6%，每月可扣減，利息在每次還款前計(jì)算和收?。O(shè)An為n次還款后剩余的欠款．

(i)證明兩次還款后剩余欠款的表達(dá)式為

A2=450000×(1.005)2-P×1.005-P；

(ii)證明n次還款后剩余欠款的表達(dá)式為

(iii)計(jì)算每月定期償還的金額P.

2.1 考點(diǎn)分析

等比數(shù)列是高中必修數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的極限、級(jí)數(shù)等內(nèi)容作鋪墊，在我國的高考中也是重點(diǎn)考查知識(shí)之一．在澳洲高考中，學(xué)生要能夠理解其中不同的還款方式的不同計(jì)算方法，并能夠根據(jù)題中還款方式的特點(diǎn)建立迭代和等比數(shù)列求和的數(shù)學(xué)模型對(duì)問題進(jìn)行求解．

一般銀行的還款方式主要有兩種[1]：一種是等額本息還款，是指把按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟竭€款期限的每個(gè)月中．作為還款人，每個(gè)月還給銀行固定金額，但每月還款額中本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減；另一種是等額本金還款，是指把按揭貸款的本金總額平均分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一交易日至本次還款日之間的利息．這種還款方式相對(duì)等額本息還款而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減．

試題顯然考查的是等額本息還款法的計(jì)算．要求學(xué)生在具體情境中，利用等額本息還款數(shù)學(xué)模型，通過邏輯推理遞推論證欠款表達(dá)式．試題綜合考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和、復(fù)利的相關(guān)計(jì)算等數(shù)學(xué)知識(shí)，還考查了分類與整合、特殊與一般、極限思想等數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況．

試題緊密結(jié)合生活實(shí)際中的貸款問題，了解購房貸款、分期還款、復(fù)利計(jì)算的知識(shí)對(duì)于學(xué)習(xí)“實(shí)用數(shù)學(xué)課程”[3]的學(xué)生來說具有較大的實(shí)際意義．前兩個(gè)小題都是證明題，可以較好地考查學(xué)生對(duì)于基本概念定理的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，塑造嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹?qiáng)調(diào)因果可循的思維方式，遞進(jìn)式的出題方式也考慮到了學(xué)生個(gè)體之間的差異性．

2.2 解題難點(diǎn)

首先，澳大利亞HSC數(shù)學(xué)考試用時(shí)較長，考查范圍廣泛，學(xué)生要思維敏捷、高效解題，才能給壓軸題留出足夠的思考書寫時(shí)間．題目中的數(shù)量關(guān)系又較為復(fù)雜，因此考生要有良好的心理素質(zhì)和一定的閱讀理解能力以及信息整理能力．考生如果在前面的題目中耗費(fèi)太多時(shí)間，那么在面對(duì)最后一道解答題時(shí)難免緊張慌亂，此時(shí)仔細(xì)審題，確定試題中復(fù)利還款的計(jì)算方式，建立合適的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解題等對(duì)學(xué)生來說也成了一大難點(diǎn)．

其次，要區(qū)分題中的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是等額本息還款還是等額本金還款．學(xué)生需要深入了解生活中的數(shù)學(xué)，找到問題的切入點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想在具體情境中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建等額本息還款的數(shù)學(xué)模型，恰當(dāng)選擇使用數(shù)學(xué)歸納法來提高計(jì)算效率，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去分析解決數(shù)學(xué)問題．由第一次還款和第二次還款后的剩余欠款等式遞推求證n次還款后剩余欠款的表達(dá)式時(shí)，需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)所得等式進(jìn)行整合，這也是試題難點(diǎn)之一．

最后，在計(jì)算每月還款金額時(shí)，選擇合適的換算基點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算也有一定難度，且要保證換算的關(guān)系式準(zhǔn)確，在歸納簡化的過程中不出錯(cuò)．雖然HSC數(shù)學(xué)考試允許學(xué)生攜帶符合NESA標(biāo)準(zhǔn)(澳大利亞新南威爾士州教育專業(yè)標(biāo)準(zhǔn))的計(jì)算器，但要想準(zhǔn)確計(jì)算出每月還款金額也并非易事，還需學(xué)生思路清晰，書寫規(guī)范．

3 解法分析

試題中約定每月以相等額度平均償還貸款本息，貸款的本金總額450 000美元與利息總額相加，平均分?jǐn)偟竭€款期限25年中的每個(gè)月，每個(gè)月的還款額是固定的P美元，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減．在復(fù)利計(jì)息的情況下,設(shè)n次還款后的欠款為An，可建立數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行求解．

第二次還款后的剩余欠款為A2=A1×1.005-P=450 000×1.0052-P×1.005-P，得證．

(ii)數(shù)學(xué)模型：An=An-1×1.005-P，n= 1,2,…,300．

由(i)中表達(dá)式遞推可得An=450 000×(1.005)n-P×(1.005)n-1-…-P．即An= 450 000×(1.005)n-P(1.005n-1+…+1)．

方法3(終值法) “終值”是指n期后的本利和，計(jì)算的基點(diǎn)是存期的終點(diǎn)．

第一次還款P,折算成終值為P×(1.005)299；第二次還款P,折算成終值為P×(1.005)298；……第n次還款P，折算成終值為P×(1.005)300-n；……第300次還款P,就是這一次的終值．每次還款P折算成的終值的和,應(yīng)該是現(xiàn)值450 000折算成的終值450 000×(1.005)300．故P(1.005299+1.005298+…+1)=450 000×(1.005)300．

本題比較容易想到用方法1，因?yàn)樵谇皟蓚€(gè)小題中已經(jīng)求出了每次還款后剩余欠款A(yù)n的表達(dá)式，所以只需要找到貸款還清時(shí)的數(shù)量關(guān)系式，代入還款總期數(shù)即可求解，不需要再用數(shù)學(xué)歸納法簡化數(shù)量關(guān)系式，也可減少解題步驟，降低錯(cuò)誤率．三種解法的本質(zhì)是一樣的，只是換算的基點(diǎn)不同，一般來說都選擇終值作為基點(diǎn)進(jìn)行換算，但是方法1相比終值法來說更容易理解．

4 思考與啟示

2020年澳大利亞HSC高考數(shù)學(xué)試題中，等比數(shù)列的知識(shí)通過“借貸與復(fù)利”作為綜合性較強(qiáng)的解答題壓軸題間接進(jìn)行考查，分值占全卷5%；我國的數(shù)學(xué)高考試題中，數(shù)列的相關(guān)知識(shí)則常作為解答題的“起點(diǎn)題”進(jìn)行考查，分值占全卷8%．作為高分值的解答題，HSC試題中“借貸與復(fù)利”知識(shí)點(diǎn)的考查方式值得我們思考學(xué)習(xí)．

4.1 適應(yīng)社會(huì)需求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)

澳大利亞高中數(shù)學(xué)包含4種課程，分別針對(duì)不同學(xué)生群體的學(xué)習(xí)和就業(yè)需求，旨在為不同層次的學(xué)生提供其所必需的數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)及技能．其中“實(shí)用數(shù)學(xué)課程”[3]的核心就在于幫助學(xué)生有效、高效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際情境中的問題．(a)題在考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況時(shí)，聯(lián)系生活實(shí)際創(chuàng)建合理的問題情境，結(jié)合其他學(xué)科的知識(shí)特色綜合命題，既保留了數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特色，又與其他的學(xué)科知識(shí)緊密聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)要求．在我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，也應(yīng)適當(dāng)增加知識(shí)與具體情境的聯(lián)系，讓學(xué)生在解題練習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系有更加直觀的認(rèn)識(shí)和理解，也就更容易將數(shù)學(xué)思維能力遷移到現(xiàn)實(shí)生活中的問題解決過程中去．讓選擇直接就業(yè)和參加職業(yè)教育培訓(xùn)的學(xué)生學(xué)習(xí)更加基礎(chǔ)實(shí)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，了解社會(huì)生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展技能和理解能力．學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想解決生活問題，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)更好地為生活實(shí)際服務(wù)．

4.2 注重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)，鍛煉邏輯思維

澳大利亞高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指明了數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)兩者的本質(zhì)與價(jià)值，它強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生各方面能力的培養(yǎng)，主要包括：(1)運(yùn)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題的能力；(2)在數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)情境中進(jìn)行推理與解釋的能力；(3)運(yùn)用數(shù)學(xué)或者統(tǒng)計(jì)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力；(4)有效地選擇和使用技術(shù)的能力；(5)運(yùn)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的能力．試題中的(i)(ii)小題直接給出了表達(dá)式，要求學(xué)生推理論證，正是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力．學(xué)生不僅要理解等額本息還款法的計(jì)算方式，能用它解決數(shù)學(xué)試題，還要能夠在數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)量關(guān)系式，在不影響試題本質(zhì)特征的前提下，利用數(shù)學(xué)歸納法將模型變形簡化為需要論證的剩余欠款表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)語言將復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息和自己的思考計(jì)算過程簡明精煉地解釋清楚．在解題過程中，可以有效鍛煉學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．基于此，我們也應(yīng)當(dāng)考慮在教學(xué)中更加重視學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力訓(xùn)練，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力．

4.3 探究競賽試題，提升建模素養(yǎng)

我國高考曾在試題中融入有關(guān)彩票與抽獎(jiǎng)的概率統(tǒng)計(jì)模型、有關(guān)物資調(diào)運(yùn)工期效益的優(yōu)化模型、有關(guān)折疊視圖的空間幾何模型等對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)進(jìn)行考查．現(xiàn)值、終值計(jì)算復(fù)利的題目也與數(shù)學(xué)建模中的社會(huì)經(jīng)濟(jì)模型息息相關(guān)，可以綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，然而相關(guān)的試題卻僅在北京市首屆“方正杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽等中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題中出現(xiàn)．類似的知識(shí)點(diǎn)雖然已在我國高中數(shù)學(xué)必修五第二章“數(shù)列”的探究與發(fā)現(xiàn)“購房中的數(shù)學(xué)”中作為拓展類知識(shí)出現(xiàn)，但高考中卻不曾以這種方式對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查．并且這種題型不是應(yīng)試重點(diǎn)，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜抽象，解答又有一定難度，導(dǎo)致很多學(xué)生都不會(huì)認(rèn)真去了解這類題目．教師應(yīng)當(dāng)注意在教學(xué)中拓展呈現(xiàn)此類試題，比如在數(shù)列課程教學(xué)后，展示購房貸款問題，并鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深入探究交流，讓學(xué)生進(jìn)一步考慮到其中的非數(shù)學(xué)因素對(duì)建模的影響，演繹檢驗(yàn)所建模型的可行性，評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)與不足，提出改進(jìn)建議，由此達(dá)到提升學(xué)生的建模素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的目的．這類試題雖然對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求較高，但可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生能高效解決未來生活中遇到的這類問題，避免在生活中“踩坑”，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義．