多角度理解和運用圓錐曲線性質(zhì)

方立新 (江蘇省揚中市第二高級中學 212200)

劉新春 (江蘇省揚中高級中學 212200)

圓錐曲線有許多重要性質(zhì)，全方位、多角度、整體性地深刻理解這些性質(zhì)既是學好數(shù)學的必然要求，也是提升數(shù)學能力和素養(yǎng)的基本載體．

1 理解圓錐曲線性質(zhì)的本質(zhì)特征

這是橢圓的一個重要性質(zhì)，雙曲線也有類似的性質(zhì)(略)．以上從數(shù)量關(guān)系上揭示了橢圓的本質(zhì)規(guī)律，其實圓錐曲線的性質(zhì)并不是孤立的、一成不變的結(jié)論，而是動態(tài)的、聯(lián)系的、可以拓展的．事實上，上述橢圓性質(zhì)的逆命題也成立，即：

2 領(lǐng)悟圓錐曲線性質(zhì)的探究方法

以上結(jié)論揭示了橢圓上兩點與橢圓中心連線構(gòu)成的三角形面積與中心弦斜率乘積之間的關(guān)系，與橢圓性質(zhì)的證明采取了類似的方法——點差法和點乘法．應(yīng)用此結(jié)論和橢圓的性質(zhì)可以解決許多與三角形面積、直線斜率等相關(guān)的問題．

3 掌握圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用策略

同一個知識可能有多種表征形式，而且常常與相對應(yīng)的方法脫節(jié)，在解決問題的過程中往往不能準確快捷地采用相對簡捷的方法．我們的策略是，面對待解決的問題，多角度聯(lián)想概念性質(zhì)，多形式表征條件結(jié)論，多方法簡化解題過程，通過觀察、比較、嘗試、選擇獲得問題解決．

以上結(jié)論還可以推廣到一般橢圓的情況．對比以上兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)已知結(jié)論的作用．

圖1

常規(guī)解法如下：

以上兩種方法采用“直譯法”按部就班求出點M,N的坐標，再求出圓的方程，運算量大，過程繁雜，原因是沒有發(fā)現(xiàn)題目條件與橢圓性質(zhì)的本質(zhì)聯(lián)系.如果直接假設(shè)M,N的坐標再運用中心弦的性質(zhì)，則可以獲得更簡捷的方法：