多視角剖析一道2021年高考解三角形問題*

卓曉萍 (福建省莆田第二中學(xué) 351131)

蔡海濤 (福建省莆田第二中學(xué) 351131 福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 350025)

1 試題呈現(xiàn)

(2021年新高考Ⅰ卷第19題)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

本題以三角形為載體，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性．

本題屬解答題中的中檔題.高考結(jié)束后，筆者隨機(jī)訪談了部分學(xué)生，大部分考生解答此題時都抱有一種想盡快解答的應(yīng)試心態(tài)，但由于緊張而“欲速則不達(dá)”，特別在第(2)問未能較快尋找到解決問題的突破口，最后雖然解出來了，但花費(fèi)了不少的時間.

2 多視角剖析

又因?yàn)閎2=ac，所以BD=b．

評注第(1)問要證明的是邊的關(guān)系，已知條件含有邊、角的關(guān)系，因此需要進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.再根據(jù)已知條件中含有∠ABC，∠C，故利用含有這兩個角的正弦定理，后續(xù)的證明不難完成.

本題的難點(diǎn)在第(2)問，主要有以下視角.

視角1利用函數(shù)與方程思想，結(jié)合平行線性質(zhì)，建立方程.

圖1

方法1 如圖1，過點(diǎn)A作直線BC的平行線AE，延長線段BD，與AE交于點(diǎn)E.因?yàn)锳D=2DC，所以AE=2a，DE=2b.又∠ABC+∠BAE=π，所以cos∠ABC=-cos∠BAE.

利用本視角還可以有以下方法，礙于篇幅，本文只提供思路，具體解題過程不再贅述.

方法2 如圖2，過點(diǎn)D作DG∥AB，利用∠ABC+∠DGB=π，cos∠ABC=-cos∠DGB構(gòu)造方程.

圖2 圖3

方法3 如圖3，過點(diǎn)D作DF∥BC，利用∠ABC+∠DFB=π，cos∠ABC=-cos∠DFB構(gòu)造方程.

視角2利用化歸與轉(zhuǎn)化思想,結(jié)合角度關(guān)系，建立方程.

方法4 △ABD與△ABC有公共角A，則cos∠BAD=cos∠BAC.

整理得6a2+3c2=11b2，下同方法1.

本視角還可以有以下方法，具體解題過程不再贅述.

方法5 △BDC與△ABC有公共角C，則cos∠BCD=cos∠BCA.

方法6 △ABD與△BDC有一對互補(bǔ)角,∠ADB+∠BDC=π，則cos∠BDA=-cos∠BDC.

評注視角2的思路與視角1的思路類似，都是著力去尋找到用邊表示cos∠ABC的表達(dá)式，區(qū)別之處在于視角2結(jié)合了△ABC，△BDC，△ABD之間的角度關(guān)系，利用相等或互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這種方法是解決含多個三角形問題的常用方法.

視角3利用向量的工具性，建立方程.

評注向量是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是解決諸多問題的有力工具，可解決三角形中的角和長度問題.本題即利用向量的模得到一個等量關(guān)系.

視角4利用化歸與轉(zhuǎn)化思想,把斜三角形化為直角三角形，建立方程.

圖4

方法8 如圖4，過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)BN=x，CM=y.則CN=3y.

在△ABN和△ACN中，由勾股定理得c2-x2=b2-(3y)2，即c2-b2=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y) ④.

由BC=BN+NC,得x+3y=a⑤.

評注一般地，在含多個三角形的復(fù)雜圖形中,從直角三角形入手會比較簡單，因此往往把斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進(jìn)行處理.

視角5利用海倫公式，建立方程.

同理可得△BDC的面積為

又因?yàn)锳D=2DC，所以S1=2S2,得

整理得(25b2-9c2)(9c2-b2)=4(16b2-9a2)(9a2-4b2).將b2=ac代入得

評注由已知條件得△ABD與△BDC面積的關(guān)系，又因?yàn)橐芯咳切稳叺年P(guān)系，故考慮利用海倫公式.

3 教學(xué)啟示

由以上解答視角不難看出，本題解題的切入點(diǎn)較多，很好地考查了解三角形的有關(guān)知識及思想方法，是一道質(zhì)量較高的選拔性試題.學(xué)生的思路不順暢也告誡我們，教師在教學(xué)過程中可引導(dǎo)學(xué)生多角度去思考問題.“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，每一種解法背后都有一個故事.教師在展示解法的同時，多讓學(xué)生去領(lǐng)會其中滲透的數(shù)學(xué)思想方法，揭示蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).