利用磁力攪拌器探究磁懸浮現(xiàn)象

劉夢(mèng)妮，張楊林，晏志遠(yuǎn)，孫美滿，范 婷

(1. 石河子大學(xué) 理學(xué)院，新疆 石河子 832003；2. 中國(guó)刑事警察學(xué)院 公安信息技術(shù)與情報(bào)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110854)

本文中的磁懸浮問(wèn)題來(lái)源于第33屆國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(International Youth Physicist’s Tournament，簡(jiǎn)稱IYPT)的第九題，原題如下：

Magnetic levitation under certain circumstances，the ‘flea’ of a magnetic stirrer can rise up and levitate stably in a viscous fluid during stirring. Investigate the origins of the dynamic stabilization of the “flea” and how it depends on the relevant parameters.

譯為：在某些特定情況下，磁力攪拌器的攪拌子在攪拌時(shí)，能在黏性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮. 研究攪拌子動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的起源，以及它如何依賴相關(guān)參數(shù).

磁力攪拌技術(shù)在防止泄漏，減少污染，節(jié)約能源方面有著突出優(yōu)點(diǎn)[1]. 磁力攪拌器廣泛應(yīng)用于易燃、易爆、有毒、強(qiáng)腐蝕性和貴重介質(zhì)的工業(yè)攪拌或攪拌反應(yīng)中. 磁力攪拌器利用磁性物質(zhì)同極相斥的特性，通過(guò)不斷變換基座兩端的極性來(lái)推動(dòng)磁性攪拌子轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到一定值時(shí)，攪拌子能在黏性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮. 本文旨在通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)探究懸浮現(xiàn)象的起源，以及實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的相關(guān)參數(shù)及其依賴關(guān)系.

1 磁懸浮現(xiàn)象理論分析

1.1 基本原理

磁力攪拌器的實(shí)物(原理)如圖1所示.

圖1 磁懸浮裝置圖

圖2 實(shí)驗(yàn)原理圖

1.2 理論推導(dǎo)

將攪拌器驅(qū)動(dòng)磁鐵和攪拌子視為磁偶極子，攪拌子可視為在二維平面的運(yùn)動(dòng)，忽略攪拌子沿水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)磁鐵和攪拌子的運(yùn)動(dòng)近似為繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).攪拌子的運(yùn)動(dòng)可分成豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)(圖3(a))，以及水平方向的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(圖3).分別對(duì)攪拌子進(jìn)行受力分析和力矩分析，使用牛頓第二定律以及轉(zhuǎn)動(dòng)定律描述攪拌子的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).

1) 水平方向的運(yùn)動(dòng)

豎直方向運(yùn)動(dòng) 水平方向運(yùn)動(dòng)圖3 攪拌子受力分析和力矩分析

磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)B的表達(dá)形式為[2]

(1)

其中，μ0為電磁常數(shù)，md為攪拌器驅(qū)動(dòng)磁鐵磁矩，因此，攪拌子對(duì)應(yīng)位置的磁場(chǎng)為

(2)

磁場(chǎng)力產(chǎn)生的力矩為

(3)

其中ms為攪拌子磁矩.

將式(3)代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律公式可以得到

(4)

由牛頓內(nèi)摩擦定律(定常層流內(nèi)摩擦力)

(5)

(6)

其中，D=8πγKηl3[2]，γ為黏度，K為形狀相關(guān)因子，η為器壁相關(guān)因子.

由式(4)和(6)得出攪拌子水平運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

2) 豎直方向的運(yùn)動(dòng)

豎直方向磁場(chǎng)力為[2]

(8)

其中

F(z)=ms

(9)

由牛頓第二定律

(10)

3) 合運(yùn)動(dòng)

式(7)的通解為

θ(t)-θ0=Awsin(ωWt)+ωSt

(11)

由式(7)可知，攪拌子轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ為擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).描述角運(yùn)動(dòng)的3個(gè)方程[3]如下，其中3個(gè)變量擺動(dòng)振幅Aw、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωs和擺動(dòng)角速度ωw都是關(guān)于自變量驅(qū)動(dòng)角速度ωd的函數(shù).

(12)

(13)

ωw=ωd-ωs

(14)

將式(12)—(14)帶入式(11)，通過(guò)Origin軟件擬合，將擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩條曲線疊加，得到合運(yùn)動(dòng)曲線(圖4).

圖4 擺動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及合運(yùn)動(dòng)

1.3 理論公式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

磁場(chǎng)力F(z)和磁場(chǎng)力矩M(z)可利用電子稱通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量.取磁場(chǎng)力F(z)為0.15 N，磁場(chǎng)力矩M(z)為0.002 N·m. 求解方程組式(7)和式(10)，可得出攪拌子懸浮高度zb隨時(shí)間t的變化(圖5)，以及攪拌子轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ隨時(shí)間t的變化(圖6)的擬合曲線圖，與下圖實(shí)驗(yàn)測(cè)量值所得曲線相吻合，則該方程組能正確描述攪拌子在黏性流體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖5 懸浮高度zb隨t變化

圖6 轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ隨t變化

2 磁懸浮現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)探究

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

磁懸浮實(shí)驗(yàn)儀器有ZGCJ-3A數(shù)顯磁力攪拌器、攪拌子(尺寸分別為8×15 mm、8×20 mm、8×30 mm、6×15 mm、6×20 mm、 6×30 mm)、甘油、溫度傳感器、燒杯(直徑分別為54 mm、70 mm、93 mm、112 mm)、高速攝像機(jī).

黏度測(cè)量?jī)x器：量筒(1000 ml，50 cm)、黏性流體(甘油)、小鋼球、千分尺、游標(biāo)卡尺、溫度計(jì)、秒表等.

2.2 磁懸浮實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析

低轉(zhuǎn)速下：攪拌子與磁力攪拌器磁鐵同步運(yùn)動(dòng).增大轉(zhuǎn)速到一定值(ω↑)：攪拌子異步運(yùn)動(dòng)(解耦)并出現(xiàn)周期性的“擺動(dòng)”，在一定條件下懸浮并穩(wěn)定在某個(gè)高度附近.

降低轉(zhuǎn)速到另一定值(ω↓)：攪拌子落回底部并恢復(fù)同步運(yùn)動(dòng)；臨界值附近會(huì)出現(xiàn)徑向不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng).

是否出現(xiàn)懸浮現(xiàn)象取決于驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速ωd、黏度η、攪拌子初始距底高度zb、攪拌子的尺寸、燒杯的尺寸等.

2.3 黏滯阻力對(duì)懸浮的影響

首先考慮溫度對(duì)黏度的影響較大[4]，所以本實(shí)驗(yàn)利用溫度傳感器以保證實(shí)驗(yàn)中溫度恒定.通過(guò)落球法測(cè)量黏度并使用光電門記錄小球在黏性流體中的一段距離中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.本實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程中使用黏度為0.79 Pa·s的甘油溶液.

表1 落球法測(cè)量黏度數(shù)據(jù)

其次考慮層流與湍流對(duì)黏度的影響，層流是實(shí)驗(yàn)所需條件[5]. 高黏滯阻力、低雷諾數(shù)系統(tǒng)符合本文層流模型(η=0.92 Pa·s → Re=400)，而低黏滯阻力、高雷諾數(shù)系統(tǒng)不符合本文的層流模型(η=0.28 Pa·s → Re=1400)[6]. 本實(shí)驗(yàn)中所討論的雷諾數(shù)范圍能滿足穩(wěn)定懸浮條件皆處于層流狀態(tài).

為證驗(yàn)證黏性流體的作用，用水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)攪拌子不但不會(huì)跳起和懸浮，而且會(huì)形成漩渦，破壞流場(chǎng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而證明黏性流體對(duì)攪拌子懸浮的重要作用. 當(dāng)固定攪拌子初始距底高度zb且攪拌器轉(zhuǎn)速?gòu)? rpm逐漸增加至1300 rpm，流體的黏度會(huì)影響最終攪拌子的懸浮平均高度(圖7).流體黏度越大，懸浮高度越低，流體黏度太低(例如水)則需要更高的轉(zhuǎn)速才能跳起和懸浮.

圖7 黏度對(duì)攪拌子懸浮高度的影響

2.4 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)懸浮的影響

1) 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)攪拌子懸浮后的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的影響.

逐漸增大攪拌器轉(zhuǎn)速直至攪拌子跳起并懸浮，得到擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)隨ωd的變化(圖8).當(dāng)ωs=ωw的時(shí)候，此時(shí)對(duì)應(yīng)的ωd為ω↓，這意味著如果驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速小于ω↓，那么攪拌子不會(huì)懸浮反而會(huì)回落.通過(guò)曲線可以得出，隨驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速增大，擺動(dòng)ωw會(huì)增大，轉(zhuǎn)動(dòng)ωs會(huì)減小.

圖8 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)懸浮后的擺動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的影響

2) 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)搖擺振幅的影響.

逐漸增大攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速且攪拌子初始距底高度zb固定時(shí)，或逐漸增高攪拌子初始距底高度zb且攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速固定時(shí)，對(duì)應(yīng)的振幅是越小，如圖9所示.

圖9 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)搖擺振幅的影響

3) 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)懸浮高度的影響.

當(dāng)逐漸增大攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速至攪拌子懸浮后，繼續(xù)將攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速?gòu)?35 rpm增大至1300 rpm時(shí)，攪拌子懸浮高度逐漸降低，且隨著轉(zhuǎn)速增大，攪拌子會(huì)不斷貼近容器底部，但不會(huì)觸底(圖10).

圖10 驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速對(duì)懸浮高度的影響

4) 攪拌子和燒杯大小對(duì)懸浮的影響.

當(dāng)攪拌子尺寸、流體黏度和攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速固定，換用直徑分別為54 mm、70 mm、93 mm及112 mm的燒杯進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 當(dāng)燒杯尺寸，流體黏度和攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速固定，換用尺寸分別為8×15 mm、8×20 mm、8×30 mm、6×15 mm、6×20 mm及6×30 mm的攪拌子進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

由表2知，較短的攪拌子更容易穩(wěn)定在中心，而長(zhǎng)攪拌子往往無(wú)法穩(wěn)定. 攪拌子的徑向不穩(wěn)定性和燒杯直徑關(guān)聯(lián)不大，但直徑小的燒杯容易提供初始的穩(wěn)定態(tài).

表2 使用不同尺寸的燒杯和攪拌子探究懸浮穩(wěn)定性

3 結(jié)語(yǔ)

本文探究了磁懸浮產(chǎn)生的起源，具體研究攪拌子初始距底高度zb、流體黏滯阻力、攪拌器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速、攪拌子尺寸、燒杯尺寸等相關(guān)參數(shù)對(duì)磁懸浮現(xiàn)象的影響.攪拌子初始距底高度zb影響攪拌子搖擺振幅；流體黏度不能過(guò)高或過(guò)低，即磁懸浮現(xiàn)象對(duì)流體的黏性有一定要求；驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速會(huì)改變懸浮的高度及攪拌子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)需要調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速，可以得到合適的懸浮狀態(tài)；攪拌子越小越容易在中心穩(wěn)定懸浮且可控性更好，攪拌子過(guò)大將降低穩(wěn)定性，攪拌子的大小是相對(duì)于燒杯而言，選擇合適尺寸的燒杯與攪拌子組合才能實(shí)現(xiàn)懸浮.有了這些規(guī)律，通過(guò)調(diào)節(jié)影響懸浮的參數(shù)，可以獲得更好的懸浮.這種穩(wěn)定懸浮方法為廣泛應(yīng)用提供了前景，例如無(wú)摩擦運(yùn)輸，無(wú)容器存儲(chǔ)，無(wú)接觸操作等.