經(jīng)歷過程感悟思想

宋海清

在小學(xué)階段，教師有意識(shí)地向?qū)W生滲透基本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定律的理解，提高學(xué)生分析與解決問題的能力。人教版五年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》把“植樹問題”作為學(xué)習(xí)支點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題的有效方法的能力。

一、經(jīng)歷探索過程，感悟化歸思想

在解決“兩端都栽”的問題時(shí)，教材通過圖文結(jié)合的形式呈現(xiàn)例題：“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？”例題旁，筆者通過教材中小精靈和小學(xué)生的提示“100m太長(zhǎng)了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試”“我先看看20m可以栽幾棵”引出解決問題的常用方法——從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這種處理已經(jīng)滲透了簡(jiǎn)單的化歸思想——化繁為簡(jiǎn)。在教學(xué)時(shí)，很多教師出示例題后先讓學(xué)生猜測(cè)結(jié)果，然后直接告訴學(xué)生：“我們先看看20m可以栽幾棵”。這樣的教學(xué)活動(dòng)，表面看起來讓學(xué)生經(jīng)歷了“猜測(cè)—探索”的過程，也滲透了化繁為簡(jiǎn)的思想方法，但這種方法是教師告訴學(xué)生的，學(xué)生并沒有經(jīng)歷解決問題的過程，體會(huì)不到將大數(shù)改成小數(shù)探索規(guī)律的作用和必要性。

教師應(yīng)該盡量把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生在探索的過程中自主尋找合適的方法。筆者曾經(jīng)聽過朱德江老師執(zhí)教的《植樹問題》，頗受啟發(fā)。朱老師將原例題的100m改成了500m，然后把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生自主解決“一共要栽多少棵樹”。針對(duì)學(xué)生不同的解答方法和結(jié)果，朱老師組織學(xué)生討論“你比較認(rèn)同哪種方法”。當(dāng)學(xué)生一致認(rèn)為“500÷5+1=101（棵）”這種方法最好后，教師拋出問題“為什么要加1，你有辦法來說明嗎”，學(xué)生想出了很多辦法。學(xué)生甲（邊說邊畫小樹簡(jiǎn)筆畫）說：“我畫出了3棵樹，發(fā)現(xiàn)2棵樹中間有一個(gè)間隔，栽3棵樹，有2個(gè)間隔，如果更多，原理也是一樣的。”學(xué)生乙說：“第一次形成一個(gè)間隔需要2棵樹，第二次再加1棵樹就又形成一個(gè)間隔，這樣棵數(shù)就比間隔數(shù)始終要多1。”學(xué)生丙說：“植樹就像切木頭，切一刀就是兩段，切兩刀就是三段，段數(shù)總是比刀數(shù)要多1。”

在解釋的過程中，學(xué)生不由自主地將“500m”轉(zhuǎn)化成了較小的數(shù)，感悟到用較小數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律解決問題的方法。由此給筆者啟示：教材提供的將100m轉(zhuǎn)化成20m、25m只是為學(xué)生解決此類問題提供一種思路——用“化繁為簡(jiǎn)”的方法來解決問題，具體轉(zhuǎn)化成多少不重要，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷探索解決問題方法的過程，自主選擇合適的思想方法來解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

二、規(guī)范探究過程，體驗(yàn)歸納思想

在歸納植樹問題（兩端都栽）的規(guī)律時(shí)，教材先通過20m和25m兩個(gè)數(shù)據(jù)，借助畫線段圖，讓學(xué)生直觀感受棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律;然后由直觀到抽象，讓學(xué)生應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想30m和35m的植樹棵數(shù);在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生概括出一般規(guī)律。這樣的設(shè)計(jì)完整呈現(xiàn)了歸納的一般方法，即經(jīng)歷從特殊到一般的過程。

在常規(guī)教學(xué)中，教師有兩種常用的教學(xué)設(shè)計(jì)：第一種，讓學(xué)生自主選擇不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究（一般每名學(xué)生選擇一個(gè)數(shù)據(jù)），然后組織學(xué)生匯報(bào)交流。教師將不同學(xué)生的不同數(shù)據(jù)整理成表格（如下表），再引導(dǎo)學(xué)生集中觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第二種，按照教材的設(shè)計(jì)順序，引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖得出20m、25m小路的栽樹棵數(shù)，再計(jì)算出30m、35m小路的栽樹棵數(shù)，最后引導(dǎo)學(xué)生觀察棵數(shù)、間隔數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

這兩種教學(xué)方法都注重收集多種不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，體現(xiàn)了推理歸納的一般方法。雖然兩種方法都能得出一條路的兩端都栽時(shí)“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的規(guī)律，對(duì)于學(xué)生個(gè)體來說，第一種方法學(xué)生只通過一個(gè)數(shù)據(jù)就得出了結(jié)論，沒有經(jīng)歷歸納推理的全過程;第二種方法雖然有多個(gè)數(shù)據(jù)支撐，但都是按教師的要求發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生的自主體驗(yàn)不夠。

教學(xué)時(shí)，最好讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的歸納過程。當(dāng)學(xué)生研究了一個(gè)或兩個(gè)數(shù)據(jù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“僅用這幾個(gè)數(shù)據(jù)得出這樣的結(jié)論，你們覺得可靠嗎？有沒有更多的數(shù)據(jù)來證明？”教師啟發(fā)學(xué)生選擇多個(gè)不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行探究，既能讓學(xué)生經(jīng)歷歸納的一般過程和步驟，又滲透了歸納思想——一個(gè)特例不足以說明問題，多個(gè)不同的例子才能揭示規(guī)律，從而讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時(shí)掌握歸納的基本思想方法。

三、關(guān)注思維差異，明晰模型思想

“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想。針對(duì)植樹問題的三種情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”，教材都是通過畫線段圖，讓學(xué)生把“點(diǎn)”（樹）與“線”（間隔）一一對(duì)應(yīng)起來，發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，從而經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程，建立植樹模型。

在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生思維的差異性決定了他們解決問題的個(gè)性化。有的學(xué)生在頭腦中已經(jīng)形成植樹表象，他們直接用數(shù)進(jìn)行推理，如栽2棵樹，形成1個(gè)間隔，栽3棵樹，形成2個(gè)間隔等;有的學(xué)生需要借助實(shí)物（小棒、圓片等）模擬植樹;還有的學(xué)生通過畫線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律;等等。教學(xué)時(shí)，教師要用好教材，但不能要求學(xué)生一律按教材的方式畫線段圖建模，而應(yīng)充分尊重學(xué)生的思維差異，讓他們自主選擇寫一寫、擺一擺、畫一畫等方式來理解、表達(dá)“段點(diǎn)”關(guān)系;同時(shí)，要給學(xué)生展示交流的機(jī)會(huì)，一方面給學(xué)生分享不同方法的機(jī)會(huì)，讓他們通過觀察比較，感受到無論采用哪種方式，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律都是一樣的;另一方面突出線段圖的優(yōu)越性，讓他們體會(huì)到線段圖能直觀、清晰、簡(jiǎn)潔地表現(xiàn)出棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。這樣能較好地處理個(gè)性與共性的關(guān)系，讓學(xué)生通過觀察、分析、判斷、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立植樹模型。

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問題還有很多，比如在公路兩旁安裝路燈、鋸木頭、架設(shè)電線桿、設(shè)計(jì)橋墩等，這些問題情境中都隱含著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。教師在教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)豐富的現(xiàn)實(shí)問題情境，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步體會(huì)模型思想解決問題的優(yōu)越性，積累用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：黃岡市黃州區(qū)赤壁街道中心學(xué)校）

責(zé)任編輯? 張敏