等應(yīng)變率基片的有限元分析

雷冰冰， 盧文科， 孫 鑒， 蘇艷嬌

(1. 北方民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021; 2. 東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

聲表面波(surface acoustic wave， SAW)傳感器是聲學(xué)理論研究、壓電材料研究成果和電子科學(xué)技術(shù)進(jìn)步有機(jī)融合的產(chǎn)物[1]。近年來(lái)，仿真分析技術(shù)日趨成熟，有限元分析方法被廣泛應(yīng)用于SAW傳感器的理論研究[2]、傳感機(jī)理的創(chuàng)新[3-4]和其工作性能的提升[5]等方面，SAW傳感器的仿真分析研究被廣大學(xué)者關(guān)注。

在SAW傳感器設(shè)計(jì)階段，研究人員常用有限元分析軟件諸如ANSYS和COMSOL建立器件的應(yīng)力應(yīng)變、脈沖響應(yīng)、等效電路和多物理場(chǎng)耦合等分析模型，以此指導(dǎo)SAW傳感器的設(shè)計(jì)工作。Kaletta等[6]分析AlN/SiO2/Si結(jié)構(gòu)瑞利波器件的二維有限元仿真模型，以提高器件的耦合系數(shù)與聲波波速。張祖?zhèn)7]采用COMSOL軟件研究金剛石/AlN/SiO2復(fù)合膜的膜厚度對(duì)聲表面波傳播特性的影響。劉久玲等[8]使用有限元方法對(duì)聲表面波諧振器的耦合模參量進(jìn)行分析，給出可提升SAW氣相色譜儀靈敏度的方案。趙一宇等[9]將有限元和微擾理論相結(jié)合來(lái)研究叉指電極質(zhì)量負(fù)荷對(duì)SAW橫波壓力傳感器靈敏度的影響。由此可知，使用有限元方法對(duì)SAW器件特性進(jìn)行仿真是有效可靠的，并有助于器件性能提升。

研究[10]發(fā)現(xiàn)應(yīng)變率對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)的SAW力敏傳感器工作性能具有直接影響。懸臂梁結(jié)構(gòu)常使用壓電材料基片，Lei等[10]利用有限元仿真對(duì)基片應(yīng)力應(yīng)變特性分析的結(jié)果表明：基片應(yīng)變率在z軸方向(金屬指條平行方向)呈現(xiàn)不均勻分布，這會(huì)引起叉指換能器的指條在不同z軸位置的受力應(yīng)變程度不一致，從而導(dǎo)致同一指條不同z軸坐標(biāo)處的聲同步頻率出現(xiàn)差異。為消除這一現(xiàn)象，采用有限元方法和回歸分析方法設(shè)計(jì)基片的等應(yīng)變率幾何結(jié)構(gòu)，給出其求解模型和改進(jìn)二分法求解算法，并使用有限元仿真分析法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基片應(yīng)變率及其分布特性

1.1 基片應(yīng)變率

圖1為懸臂梁結(jié)構(gòu)壓電基片受力應(yīng)變示意圖，其長(zhǎng)、寬和高分別為L(zhǎng)、W和H。定義點(diǎn)M0為原點(diǎn)，M0M17為x軸，M0N0為z軸，垂直向上方向?yàn)閥軸正方向。將M0M17按1 mm進(jìn)行等分，新得16個(gè)點(diǎn)，命名為點(diǎn)M1～M16。同理，將在N0N17上取得的點(diǎn)命名為N1～N16。

圖1 懸臂梁結(jié)構(gòu)壓電基片受力應(yīng)變圖Fig.1 Piezoelectric substrate strain diagram for cantilever beam structure

當(dāng)外部載荷F施加于點(diǎn)P時(shí)，基片產(chǎn)生應(yīng)變，此時(shí)基片上存在點(diǎn)MX將產(chǎn)生最大應(yīng)變位移值ΔL。 ΔL與基片長(zhǎng)度的比值往往小于0.3%，假定是沿SAW傳播方向拉伸基片，拉伸長(zhǎng)度為ΔL，基片應(yīng)變?nèi)缡?1)所示。

(1)

式中：ΔL′為單位力在基片上能引起的應(yīng)變位移最大值。

應(yīng)變可改變基片的力學(xué)和電學(xué)特性，此時(shí)傳感器輸出信號(hào)的頻率變化量如式(2)[11]所示。

(2)

1.2 基片應(yīng)變率分布特性

選定基片J1，其長(zhǎng)、寬、高分別為17.0、 3.0、 0.5 mm，材料為42.75°Y切X傳播石英單晶。在ANSYS 13.0軟件中使用的材料單元類(lèi)型為SOLID 185，約束面為固定在側(cè)壁的面，施加載荷F為0.196 N。由于金屬膜厚度不及基片厚度的0.1%，仿真時(shí)可忽略不計(jì)。對(duì)基片J1進(jìn)行有限元受力應(yīng)變仿真分析，結(jié)果如圖2所示。

圖2 基片J1的應(yīng)力應(yīng)變的仿真結(jié)果Fig.2 Stress-strain simulation result of substrate J1

應(yīng)變率δ反映施加載荷時(shí)基片的形變程度，為方便計(jì)算，從仿真結(jié)果中提取變化量ΔL，定義點(diǎn)Mi處的基片應(yīng)變率為

(3)

式中：rMi、rMi-1分別為點(diǎn)Mi、Mi-1處的應(yīng)變位移值；xMi、xMi-1分別為點(diǎn)Mi、Mi-1處的x軸坐標(biāo)。

取線段M7N7和M8N8之間的基片區(qū)域，繪制基片上的指條T1的應(yīng)變率分布圖，如圖3所示。

圖3 指條T1上不同z坐標(biāo)處的應(yīng)變示意圖Fig.3 Schematic of strain at different z-coordinates on finger T1

由圖3可知，指條T1未應(yīng)變時(shí)，其寬度在任一z坐標(biāo)處均為SAW固有波長(zhǎng)的1/4，虛線框是其應(yīng)變后形狀。將線段M7N7和M8N8三等分，分別得到點(diǎn)K72、K74和K82、K84。根據(jù)式(3)，用點(diǎn)K82處基片的應(yīng)變率表示線段K72K82所經(jīng)過(guò)基片表面處的應(yīng)變率，并取式(3)分母為1 mm，可得指條T1在線段K72K82上的位置應(yīng)變后寬度a1為

(4)

式中：a為指條T1未應(yīng)變時(shí)的寬度；rK82、rK72分別為點(diǎn)K82、K72處的x軸坐標(biāo)。

根據(jù)圖2的仿真結(jié)果，提取式(4)所需相關(guān)點(diǎn)處的應(yīng)變位移值，如表1所示。

表1 樣本點(diǎn)應(yīng)變位移值Table 1 Strain vector displacement value of sample points

根據(jù)表1，將a=λ/4和F=20代入式(4)，計(jì)算得到指條T1在線段K72K82上的寬度變化量為

(5)

同理，可得指條T1在線段K74K84上的寬度變化量為

(6)

由式(5)和(6)可知，Δa1≠Δa2，這表明施加載荷后指條T1在不同z軸坐標(biāo)位置上產(chǎn)生了大小不等的應(yīng)變量，即應(yīng)變位移值和方向角均有差異，如此勢(shì)必導(dǎo)致處在不同z軸坐標(biāo)處指條的聲同步頻率變化量具有差異，考慮到指條數(shù)量眾多，效應(yīng)累積，將不利于傳感器聲同步頻率的穩(wěn)定。為消除這一影響，提出基片的等應(yīng)變率結(jié)構(gòu)。

2 等應(yīng)變率基片求解

2.1 基片受力應(yīng)變特性

(7)

式中：αM1、βM1、γM1分別為rM1與x、y、z軸所夾的方向角。

圖4 點(diǎn)M1處的應(yīng)變示意圖Fig.4 Strain vector diagram at point M1

從有限元仿真輸出結(jié)果提取點(diǎn)M1～M17的應(yīng)變位移，根據(jù)式(7)計(jì)算這些點(diǎn)處的應(yīng)變位移方向余弦，比較后發(fā)現(xiàn)這17個(gè)點(diǎn)上的應(yīng)變位移方向角存在式(8)所示關(guān)系。

(8)

有限元仿真結(jié)果顯示，點(diǎn)M1～M17處的應(yīng)變位移值符合式(9)。

rM1

(9)

且在它們y坐標(biāo)、z坐標(biāo)均相同情況下，x坐標(biāo)符合式(10)。

xM1

(10)

在式(8)～(10)揭示的線段M0M17上各點(diǎn)應(yīng)變位移值、方向角和坐標(biāo)值之間存在的特性關(guān)系基礎(chǔ)上，分析可知：產(chǎn)生應(yīng)變時(shí)，任意直線上各點(diǎn)的應(yīng)變位移值與其距原點(diǎn)距離之間的函數(shù)關(guān)系呈單調(diào)性，且各方向角均隨其離原點(diǎn)距離增加而單調(diào)變化。

2.2 等應(yīng)變率基片求解模型

根據(jù)上述基片應(yīng)變特性，如果在基片平行z軸線條上找到一種合理削弱這種單調(diào)關(guān)系的方法，使同一叉指的不同z軸坐標(biāo)處應(yīng)變率趨于一致，則可解決叉指在z軸方向的應(yīng)變不均勻問(wèn)題，具有這一特性的基片稱(chēng)之為等應(yīng)變率基片。這可以通過(guò)使線段M0M17和N0N17上x(chóng)軸坐標(biāo)相等點(diǎn)對(duì)處的應(yīng)變率相等來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于這些點(diǎn)對(duì)的x軸坐標(biāo)都相等，由式(3)可推導(dǎo)得到這些點(diǎn)對(duì)處的應(yīng)變位移值相等，即滿足式(11)。

rMi=rNi{i|i∈R， 1≤i≤17}

(11)

式(11)完全成立所建立的數(shù)學(xué)模型求解復(fù)雜，故將其轉(zhuǎn)化為

(12)

(a)

(b)

(c)

(d)

(13)

式中：k00～k0n、k10～k1n、k20～k2n、k30～k3n、k40～k4n和k50～k5n為回歸系數(shù)；f(s)表示不同s值時(shí)的應(yīng)變位移值。

根據(jù)式(12)和(13)，同時(shí)考慮求解可行性，推導(dǎo)得到求解s值的目標(biāo)函數(shù)為

(14)

2.3 等應(yīng)變率基片模型的求解

式(14)需要F0(s)、F1(s)、F2(s)的取值盡量同時(shí)趨近于0，約束條件為式(13)，令終止條件e=10-4，如此該數(shù)學(xué)模型的改進(jìn)二分法求解步驟如下：

(1) 設(shè)置參數(shù)s∈[b，c]，并滿足F0(b)F0(c)<0、F1(b)F1(c)<0和F2(b)F2(c)<0，令[b，c]的中點(diǎn)為x1=(b+c)/2，計(jì)算F0(x1)、F1(x1)和F2(x1)。

(2) 取點(diǎn)x2=(b+x1)/2，計(jì)算F0(x2)、F1(x2)和F2(x2)，取點(diǎn)x3=(x1+c)/2，計(jì)算F0(x3)、F1(x3)和F2(x3)。

(4) 若e1

(5) 若|x2-x3|

表2 樣本點(diǎn)應(yīng)變位移值Table 2 Strain vector displacement value of sample points

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，使用回歸分析求解n=3時(shí)的式(13)為

(15)

將式(15)代入式(14)，得目標(biāo)函數(shù)

(16)

在MATLAB軟件中采用改進(jìn)二分法求解目標(biāo)函數(shù)為式(16)、約束條件為式(15)的數(shù)學(xué)模型，取參數(shù)s∈[0， 12]，得s=4.412 7，即點(diǎn)M0沿x軸負(fù)方向延伸4.412 7 mm對(duì)應(yīng)圖5(a)所示形狀基片為等應(yīng)變率結(jié)構(gòu)基片，稱(chēng)其為J2。

3 等應(yīng)變率基片驗(yàn)證

圖6 基片J2受力應(yīng)變的仿真結(jié)果Fig.6 Stress-strain simulation result of substrate J2

表3 樣本點(diǎn)應(yīng)變率Table 3 Strain rate of sample points

σ′8=δmax-δmin=0.25

(17)

式中：δmax是這些點(diǎn)處應(yīng)變率最大值；δmin為最小值。

(18)

同理，基片J1的線段M8N8上7個(gè)點(diǎn)處應(yīng)變率波動(dòng)幅度為

σ8=δmax-δmin=4.09

(19)

線段M8N8上的應(yīng)變率不一致的程度為

(20)

在等應(yīng)變率基片J2的線段M′7N′7和M′8N′8之間區(qū)域上，對(duì)于指條T1′在線段K′72K′82、K′74K′84上的寬度變化量可根據(jù)式(5)計(jì)算得到。

(21)

對(duì)比式(21)與式(5)和(6)可知：相比普通基片J1，等應(yīng)變率基片J2的指條T1′在不同z軸坐標(biāo)處的受力應(yīng)變位移差異顯著降低，表明等應(yīng)變率可有效解決基片受力后金屬指條在不同z軸坐標(biāo)處的應(yīng)變不一致問(wèn)題。

為進(jìn)一步分析試驗(yàn)效果，對(duì)基片上多個(gè)平行z軸線條的應(yīng)變率波動(dòng)范圍和應(yīng)變率不一致程度進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。由表4可以看出，在列出的全部平行z軸線條上，等應(yīng)變率基片的應(yīng)變率波動(dòng)幅度大幅下降。對(duì)于應(yīng)變起伏程度，在列出的9條線條上，除M17N17以外的線條均顯著降低。這表明，等應(yīng)變率基片成功消除了應(yīng)變率在z軸的分布不一致情況，有效抑制了叉指在不同z軸坐標(biāo)位置上的應(yīng)變矢量位移值差異，有利于叉指換能器保持聲同步頻率變化量的一致。

表4 樣本線條的應(yīng)變率不一致情況對(duì)比數(shù)據(jù)Table 4 Contrast data of strain rate inconsistency on sample lines

4 結(jié) 語(yǔ)

為解決基片應(yīng)變率不均勻所導(dǎo)致的金屬指條在不同z軸坐標(biāo)處受力應(yīng)變顯著差異問(wèn)題，提出基片的等應(yīng)變率結(jié)構(gòu)，給出等應(yīng)變率基片的幾何結(jié)構(gòu)和求解模型，并使用改進(jìn)二分法求解得到長(zhǎng)、寬、高分別為17.0、 3.0、 0.5 mm的42.75°Y切X傳播石英基片，其需在圖1所示點(diǎn)M0處向z軸負(fù)方向延長(zhǎng)4.412 7 mm，所得形狀的基片為等應(yīng)變率基片。使用有限元分析法對(duì)等應(yīng)變率基片效果進(jìn)行驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明，等應(yīng)變率基片在平行z軸的線條上，應(yīng)變率差異大幅降低，有效解決了應(yīng)變率在z軸方向上的分布不均勻問(wèn)題。