柔性三角梁約束微納測(cè)頭的變剛度特性分析

李保坤， 程新華， 韓迎鴿

(安徽理工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南232001)

隨著微納米加工技術(shù)的不斷發(fā)展，工件制造日趨微型化和精密化，各種微電子機(jī)械系統(tǒng)(micro electro mechanical system， MEMS)器件相繼出現(xiàn)，這些微工件制造成本低廉，同時(shí)具有集成化和多功能化等優(yōu)點(diǎn)，制造產(chǎn)品被廣泛應(yīng)用于航空航天、精密機(jī)械、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1-3]。在MEMS器件的制造過(guò)程中，需要測(cè)量這些微工件的表面幾何參數(shù)，然而傳統(tǒng)精密測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度僅有微米級(jí)，難以實(shí)現(xiàn)納米級(jí)別的分辨率，亟需研究具有優(yōu)良性能的微納坐標(biāo)測(cè)量機(jī)以保證工件表面質(zhì)量[4-6]。測(cè)頭是測(cè)量機(jī)的核心部件[7]，其性能是否優(yōu)良直接決定測(cè)量機(jī)的整體性能優(yōu)劣，因此，國(guó)內(nèi)外許多研究機(jī)構(gòu)相繼開(kāi)始研究新型微納測(cè)頭。

剛度是微納測(cè)頭的重要屬性，目前多數(shù)接觸式測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度不可調(diào)。若微納測(cè)頭剛度過(guò)大，在測(cè)量時(shí)極易劃傷工件表面；若測(cè)頭剛度過(guò)小，容易造成測(cè)頭動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能差、諧振頻率低和誤觸發(fā)等。因此，研究具有變剛度性能的約束支撐機(jī)構(gòu)以適應(yīng)測(cè)量過(guò)程和被測(cè)工件的改變，對(duì)優(yōu)化測(cè)頭的測(cè)量力、穩(wěn)健性、工藝性、測(cè)量精度和動(dòng)態(tài)特性等具有重要意義[8-9]。

鑒于測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)剛度固定的諸多不利影響，Bonello等[10]提出通過(guò)改變約束梁的有效長(zhǎng)度改變測(cè)頭的支撐剛度。文獻(xiàn)[11-13]基于應(yīng)力剛化原理，通過(guò)對(duì)支撐梁約束端施加軸向載荷來(lái)改變約束支撐梁的橫向剛度。Kim等[14]提出通過(guò)施加額外載荷放大載荷作用位移來(lái)調(diào)節(jié)剛度。Alblalaihid等[15]通過(guò)施加預(yù)應(yīng)力的方式提出一種基于三根梁約束支撐的變剛度微納測(cè)頭，但未能給出精確的理論剛度模型。

本文利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構(gòu)造出一種三角梁結(jié)構(gòu)型式的變剛度微納測(cè)頭。在測(cè)量過(guò)程中，通過(guò)控制壓電驅(qū)動(dòng)力大小進(jìn)而改變測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的整體剛度，以滿(mǎn)足不同的測(cè)量過(guò)程和測(cè)量對(duì)象。當(dāng)測(cè)頭接觸被測(cè)工件時(shí)，要求測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較小的剛度，避免劃傷被測(cè)工件表面，此時(shí)壓電疊堆驅(qū)動(dòng)器輸出壓電驅(qū)動(dòng)力減小，約束支撐機(jī)構(gòu)整體剛度減小，即將壓電疊堆器輸出力通過(guò)柔順機(jī)構(gòu)傳遞至約束支撐梁末端，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的橫向剛度隨支撐梁軸向壓力增大而減小，因此測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的整體剛度減小。當(dāng)測(cè)頭趨近或遠(yuǎn)離被測(cè)工件時(shí)，要求測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較大的剛度避免誤觸發(fā)，此時(shí)壓電疊堆驅(qū)動(dòng)器停止輸出壓電驅(qū)動(dòng)力，測(cè)頭恢復(fù)初始剛度。因此，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)可通過(guò)控制壓電驅(qū)動(dòng)力大小完成變剛度過(guò)程。應(yīng)用最小勢(shì)能原理建立測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度模型，利用有限元分析工具驗(yàn)證了理論剛度模型的正確性和該類(lèi)型測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)變剛度調(diào)節(jié)的可行性。

1 變剛度約束微納測(cè)頭構(gòu)造

壓電驅(qū)動(dòng)三角梁結(jié)構(gòu)變剛度微納測(cè)頭整體構(gòu)型如圖1所示，其由測(cè)球、測(cè)桿、中心體、約束支撐梁、H型柔性機(jī)構(gòu)、壓電疊堆驅(qū)動(dòng)器和柔性鉸鏈等部分組成。

圖1 微納測(cè)頭結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of micro-nano probe

微納測(cè)頭變剛度原理如圖2所示，當(dāng)需要減小約束機(jī)構(gòu)的支撐剛度時(shí)，壓電驅(qū)動(dòng)器輸出驅(qū)動(dòng)力。圖2中：Ai及Bi(i=1， 2，...，6)處為柔性鉸鏈，易知鉸鏈兩端受力為一對(duì)平衡力；由偽剛體模型[16]可知，壓電驅(qū)動(dòng)器在驅(qū)動(dòng)過(guò)程中，可將AiBi段視為二力桿，壓電驅(qū)動(dòng)力將沿AiBi連線(xiàn)的方向并通過(guò)H型梁作用于約束支撐梁末端，并始終沿支撐梁軸線(xiàn)方向，使得在3個(gè)相同壓電驅(qū)動(dòng)力作用下，中心體受約束支撐梁作用力均勻。此時(shí)，在軸向力的擠壓下，約束支撐梁橫向剛度減小，進(jìn)而減小整個(gè)約束支撐機(jī)構(gòu)的支撐剛度。若壓電驅(qū)動(dòng)器停止輸出驅(qū)動(dòng)力，約束支撐梁及整體支撐機(jī)構(gòu)的剛度恢復(fù)初始狀態(tài)。因此，測(cè)頭在使用過(guò)程中可通過(guò)控制壓電驅(qū)動(dòng)器輸出作用力大小實(shí)現(xiàn)約束支撐機(jī)構(gòu)的變剛度過(guò)程。

圖2 微納測(cè)頭變剛度原理Fig.2 Variable stiffness theory of micro-nano probe

測(cè)球選用紅寶石，測(cè)桿選用碳化鎢，中心體選用鈦合金，約束支撐梁選用鈹青銅，柔性鉸鏈選擇彈簧鋼作為結(jié)構(gòu)材料。微納測(cè)頭材料屬性[17-18]如表1所示。

表1 微納測(cè)頭材料屬性Table 1 Material property of the micro-nano probe

測(cè)頭的測(cè)量工作過(guò)程見(jiàn)圖3，主要分為3個(gè)階段[19]：(1)測(cè)頭快速趨近工件；(2)測(cè)頭與工件相接觸，完成工件表面位置信號(hào)的采集；(3)測(cè)量完成，測(cè)頭與工件相互分離，測(cè)頭恢復(fù)初始位置。

(a) 測(cè)頭趨近

(b) 觸碰工作

(c) 測(cè)頭遠(yuǎn)離

基于上述測(cè)頭的測(cè)量工作過(guò)程：當(dāng)測(cè)頭快速趨近工件時(shí)，為保證測(cè)頭系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免測(cè)頭因慣性力產(chǎn)生誤觸發(fā)，提高測(cè)頭的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，此時(shí)無(wú)壓電驅(qū)動(dòng)力，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較高的剛度[20]；當(dāng)測(cè)頭與工件接觸時(shí)，由于工件尺寸較小，為避免測(cè)頭對(duì)工件表面造成劃傷或者破壞，壓電驅(qū)動(dòng)器輸出作用力，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較低的剛度；當(dāng)測(cè)頭完成測(cè)量工作離開(kāi)工件表面時(shí)，為克服工件之間的范德華力[21]，此時(shí)壓電驅(qū)動(dòng)器停止輸出作用力，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)需要具有較高的剛度。

2 微納測(cè)頭理論剛度模型

測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)(即懸掛機(jī)構(gòu))的剛度大小計(jì)算方法主要有數(shù)值解法和理論建模法。其中，數(shù)值解法的相關(guān)計(jì)算方法也較為成熟，例如，利用有限元方法，根據(jù)支撐機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料特性，可精確得到其支撐剛度。然而，數(shù)值解法難以得到支撐機(jī)構(gòu)的剛度計(jì)算解析表達(dá)式，使得在實(shí)際使用過(guò)程中，由于測(cè)量過(guò)程及測(cè)量對(duì)象的改變，較難以實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)壓電驅(qū)動(dòng)力大小并對(duì)支撐機(jī)構(gòu)的剛度大小進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。理論建模法則通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)及物理模型構(gòu)建約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度解析表達(dá)式，可對(duì)約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度值隨壓電驅(qū)動(dòng)力大小改變情況進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，從而對(duì)約束支撐機(jī)構(gòu)的變剛度控制提供可能。

根據(jù)上述測(cè)量原理，微納測(cè)頭的剛度主要由測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)整體剛度決定，因此需要構(gòu)建該類(lèi)型微納測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論剛度模型，為實(shí)現(xiàn)其變剛度控制奠定理論基礎(chǔ)。由于約束支撐梁長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于梁厚度，即為細(xì)長(zhǎng)梁，可忽略剪切變形影響，故可基于歐拉-伯努利梁模型對(duì)其剛度進(jìn)行建模[22]。假設(shè)約束支撐梁變形在線(xiàn)彈性變形范圍內(nèi)，利用最小勢(shì)能原理進(jìn)行求解。

2.1 垂直剛度建模

微納測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖4所示。為便于分析，建立全局固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與中心體中心層圓心初始位置重合，x軸正向沿中心體其中一根連接軸的軸向方向，z軸正向豎直向下，y軸方向由右手法則確定。其中：中心體幾何中心到約束梁中心線(xiàn)距離為wi，中心體寬度為wd；約束支撐梁長(zhǎng)度為l，寬度為wb，厚度(z向)為tb；測(cè)桿末端至坐標(biāo)系原點(diǎn)距離為ls。

圖4 微納測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.4 Structure parameters of supporting mechanism of the micro-nano probe

圖5 單根約束支撐梁及測(cè)頭受z軸向測(cè)量力力學(xué)分析Fig.5 Force analysis of one supporting beam and the probe applied by z-directional force

選取C1-C2段約束支撐梁進(jìn)行受力分析并進(jìn)行剛度建模，由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性，其他約束支撐梁應(yīng)具有相同的垂直剛度(z軸向剛度)。建立如圖5所示的局部坐標(biāo)系，當(dāng)微納測(cè)頭受到垂直方向(z軸向)測(cè)量力Fmz作用時(shí)，每根約束支撐梁受相同的z軸向測(cè)量分力Fz，即Fmz=6Fz。約束支撐梁與柔順機(jī)構(gòu)和中心體之間的連接均可分別視為對(duì)支撐梁的固定約束。

約束支撐梁的變剛度過(guò)程主要發(fā)生彎曲變形和軸向擠壓變形，因此建立約束支撐梁彎曲試函數(shù)[23]，如式(1)所示。

w(x)=a1x2+a2x3

(1)

式中：a1、a2為待定系數(shù)，其值可根據(jù)約束支撐梁邊界條件和總勢(shì)能泛函求得。

應(yīng)用最小勢(shì)能原理，梁的位移邊界條件為

(2)

計(jì)算邊界條件得：

(3)

約束支撐梁的總勢(shì)能泛函為

Fzw(l)-Mw′(l)

(4)

式中：E為約束支撐梁彈性模量；M為中心體對(duì)約束支撐梁作用彎矩；P為支撐梁約束端所受軸向壓力；I為截面慣性矩，其大小如式(5)所示。

(5)

聯(lián)立式(1)～(5)得：

(6)

(7)

2.2 橫向剛度建模

微納測(cè)頭橫向受力如圖6所示，每根約束支撐梁兩端均為固定約束。當(dāng)微納測(cè)頭受到橫向測(cè)量力作用時(shí)，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)主要發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，設(shè)測(cè)頭彎曲角度和扭轉(zhuǎn)角度分別為θ和α。測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的橫向剛度Ky可由柔性梁彎曲變形對(duì)測(cè)頭及中心體造成的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(簡(jiǎn)稱(chēng)彎曲剛度，記為Kb，下同)和柔性梁扭轉(zhuǎn)變形對(duì)測(cè)頭及中心體造成的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(簡(jiǎn)稱(chēng)扭轉(zhuǎn)剛度，記為Kt，下同)相加得到，即有：

Ky=Kb+Kt

(8)

圖6 微納測(cè)頭橫向受力圖Fig.6 Lateral force diagram of the micro-nano probe

2.2.1 彎曲剛度計(jì)算

微納測(cè)頭橫向彎矩示意如圖7所示。由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性，以發(fā)生彎曲變形的C3-C4段約束支撐梁為例，計(jì)算約束支撐梁對(duì)中心體的彎矩，如圖8所示。

圖7 微納測(cè)頭橫向彎矩示意圖Fig.7 Lateral moment diagram of the micro-nano probe

圖8 約束支撐梁在橫向測(cè)量力作用下的彎曲變形圖Fig.8 Bending deformation diagram when the supporting beam is applied by the lateral force

由于測(cè)頭受橫向測(cè)量力時(shí)，約束支撐梁均為細(xì)長(zhǎng)梁，且梁受載荷情況與邊界條件一致，由式(7)得到單根梁受軸壓和彎矩作用下的剛度Kbe如式(9)所示。

(9)

約束支撐機(jī)構(gòu)彎矩平衡示意圖如圖9所示，其中Fbi(i=1， 2， 3)為約束支撐梁對(duì)中心體的反饋力。

圖9 約束支撐機(jī)構(gòu)彎矩平衡示意圖Fig.9 Moment balance diagram of the supporting mechanism

對(duì)于C1-C2段約束支撐梁，C1處撓度為

(10)

C1所受彎矩M1

(11)

對(duì)于C3-C4段約束支撐梁，C3處力臂為

(12)

C3處的撓度為

(13)

C3所受彎矩為

(14)

對(duì)于C5-C6段約束支撐梁，C5處力臂為

(15)

C5處的撓度為

(16)

C5所受彎矩為

Kbetanθ

(17)

由于約束梁所受彎矩M1、M2、M3將作用于中心體上，得到中心體力矩平衡方程如式(18)所示。

Fmyls=2M1+2M2+2M3

(18)

測(cè)頭位移與偏轉(zhuǎn)角存在如式(19)所示的三角函數(shù)關(guān)系，由于測(cè)頭受橫向載荷時(shí)偏轉(zhuǎn)角較小，故tanθ≈θ。

dy=lstanθ≈lsθ

(19)

聯(lián)立式(11)、(14)、(17)、(18)及(19)得到彎曲剛度Kb，如式(20)所示。

(20)

2.2.2 扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算

圖7中C3-C4段約束支撐梁受扭轉(zhuǎn)作用發(fā)生變形如圖10所示。

如圖10(a)所示，設(shè)約束支撐梁繞局部坐標(biāo)系x2y2z2中x2軸的扭轉(zhuǎn)力矩為T(mén)，沿x2軸的軸向壓力為P。這里選取前兩項(xiàng)三角級(jí)數(shù)作為轉(zhuǎn)角函數(shù)的試函數(shù)，如式(2)所示。

(a) 扭轉(zhuǎn)變形

(b) 軸向微元變形

(c) 扭切截面變形

(21)

式中：c1、c3為待定系數(shù)。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，約束支撐梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)邊界條件[24]為

(22)

根據(jù)圖10(b)、(c)得到約束梁的微元位移函數(shù)為

w(x)=θ(x)y

(23)

約束支撐梁在軸向壓力和扭轉(zhuǎn)力矩作用下的總勢(shì)能泛函為

Tθ(l)

(24)

式中：G為剪切模量；J為矩形截面慣性矩。

由最小勢(shì)能原理可知，任意滿(mǎn)足位移邊界條件的試函數(shù)中，如果試函數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有精確的包含真實(shí)位移函數(shù)，那么在加權(quán)殘值最小的條件下，對(duì)平衡方程和力的邊界條件求得最佳逼近試函數(shù)的一組解，使得總勢(shì)能泛函為最小值。因此，對(duì)約束支撐梁總勢(shì)能泛函取極小值，將式(21)～(23)代入式(24)，令

(25)

由式(21)～(25)得

(26)

根據(jù)式(21)和(26)得到單根約束支撐梁繞自身軸心線(xiàn)的扭轉(zhuǎn)剛度Ket，如式(27)所示。

(27)

測(cè)頭與支撐梁扭矩平衡示意如圖11所示。

圖11 測(cè)頭與支撐梁扭矩平衡示意圖Fig.11 Torsion balance diagram of the probe and supporting mechanism

對(duì)于C3-C4段梁Q處的相對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)半徑為

(28)

Q處相對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的撓度為

(29)

對(duì)于C3-C4段梁R處相對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)半徑為

(30)

R處相對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的撓度為

(31)

由于C3-C4段約束支撐梁受扭轉(zhuǎn)作用，該梁與中心體連接的末端Q處與R處相對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的撓度差為

(32)

C3-C4段梁扭轉(zhuǎn)角α為

(33)

由于測(cè)頭受橫向載荷時(shí)偏轉(zhuǎn)角較小，故偏角sinα≈α， tanθ≈θ，因此式(33)變?yōu)?/p>

(34)

受扭轉(zhuǎn)和軸壓作用的C3-C4段梁的扭矩T=αKet， 即有

(35)

由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)中心體力矩平衡方程可得

Fmyls=4Tcos 30°

(36)

聯(lián)立式(19)、(35)、(36)得到扭轉(zhuǎn)剛度Kt如式(37)所示。

(37)

令Kz=Ky，得測(cè)頭剛度各向同性時(shí)所需的壓電驅(qū)動(dòng)力Piso為

(38)

而

P=Piso

(39)

將式(39)代入式(7)，即可求得各向同性剛度的大小。當(dāng)壓電驅(qū)動(dòng)器輸出作用力如式(38)所示，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)處于剛度各向同性狀態(tài)，有利于減小測(cè)量的不確定度[25]。

3 數(shù)值舉證與仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

三角梁微納測(cè)頭尺寸參數(shù)如表2所示，為分析上述剛度模型的正確性，利用有限元工具加以驗(yàn)證。

表2 微納測(cè)頭結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structure parameters of micro-nano probe mm

根據(jù)表2所示的微納測(cè)頭結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的仿真模型并進(jìn)行有限元仿真，在支撐梁末端分別施加固定約束，對(duì)測(cè)球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測(cè)量力，微納測(cè)頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖12和13所示。

圖12 當(dāng)P=0 N和z軸向力為0.1 mN時(shí)的測(cè)頭位移Fig.12 The displacement of the probe when P=0 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖13 當(dāng)P=0 N和橫向力為0.1 mN時(shí)的測(cè)頭位移Fig.13 The displacement of the probe when P=0 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖12和13可知，當(dāng)微納測(cè)頭不受壓電驅(qū)動(dòng)力作用時(shí)，即P=0 N時(shí)，測(cè)頭的初始垂直剛度和橫向剛度分別為8.734 8和5.172 2 mN/μm。

由于壓電驅(qū)動(dòng)力對(duì)應(yīng)于支撐梁約束端所受不同軸向壓力，利用式(7)、(8)和有限元工具分別獲得測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)在支撐梁約束端所受不同軸向壓力情況下的垂直剛度、橫向剛度的理論值和仿真值，如圖14所示。

圖14 測(cè)頭剛度隨支撐梁約束端受軸向壓力的變化Fig.14 Probe stiffness variation versus the force applied on the restrained end of the supporting beam

由圖14可知，當(dāng)壓電驅(qū)動(dòng)力的范圍為0≤P≤Piso時(shí)，測(cè)頭剛度隨著支撐梁約束端所受軸向壓力的增大而減小，測(cè)頭支撐剛度與支撐梁約束端所受軸向壓力呈線(xiàn)性關(guān)系，支撐梁約束端所受軸向壓力越大，約束支撐剛度越小，而壓電驅(qū)動(dòng)力通過(guò)柔順機(jī)構(gòu)傳遞至支撐梁約束端，直接影響約束端所受軸向壓力大小，故可通過(guò)控制壓電輸出力來(lái)控制測(cè)頭的約束支撐剛度。當(dāng)Piso≤P≤Pcry(臨界載荷)時(shí)，此時(shí)測(cè)頭極易在任意微小擾動(dòng)下發(fā)生彎曲失穩(wěn)，因此，對(duì)測(cè)頭施加的壓電驅(qū)動(dòng)力應(yīng)當(dāng)小于Pcry，其值可通過(guò)令式(7)或(8)為0求得。

采用平均相對(duì)誤差公式計(jì)算測(cè)頭約束支撐剛度的理論值和仿真值的平均相對(duì)誤差，如式(40)所示。

(40)

式中：S為平均相對(duì)誤差；Xj為仿真值；Yj為理論值；n為取值點(diǎn)數(shù)。

由式(7)、(8)分別計(jì)算得到垂直剛度Kz與橫向剛度Ky，結(jié)合仿真結(jié)果，利用式(40)分別計(jì)算兩種剛度的理論值和仿真值之間的平均相對(duì)誤差分別為4.40%和5.41%。

將表2微納測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(7)或(8)計(jì)算得到約束支撐機(jī)構(gòu)發(fā)生屈曲時(shí)所需的壓電驅(qū)動(dòng)力Pcry的理論值為3.16 N，而約束支撐機(jī)構(gòu)剛度各向同性時(shí)所需的理論壓電驅(qū)動(dòng)力值Piso為3.05 N。因此，對(duì)約束梁施加3.05 N的壓電驅(qū)動(dòng)力使得測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)達(dá)到剛度各向同性，不會(huì)發(fā)生約束梁失效及屈曲的現(xiàn)象。

根據(jù)有限元分析工具得到測(cè)頭剛度各向同性時(shí)所需的壓電驅(qū)動(dòng)力Piso的仿真值為2.98 N。因此，測(cè)頭達(dá)到剛度各向同性時(shí)所需壓電驅(qū)動(dòng)力Piso的理論值與仿真值相對(duì)誤差為2.3%。在約束梁末端分別施加P=2.98 N的壓電驅(qū)動(dòng)力，對(duì)測(cè)球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測(cè)量力，微納測(cè)頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖15和16所示。

圖15 當(dāng)P=2.98 N和z軸向力為0.1 mN時(shí)的測(cè)頭位移Fig.15 The displacement of the probe when P=2.98 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖16 當(dāng)P=2.98 N和橫向力為0.1 mN時(shí)的測(cè)頭位移Fig.16 The displacement of the probe when P=2.98 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖15和16可知，當(dāng)施加P=2.98 N的壓電驅(qū)動(dòng)力時(shí)，對(duì)比測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的初始剛度可知，測(cè)頭具有顯著的變剛度效果，且測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有各向同性剛度，測(cè)頭的垂直剛度為0.299 9 mN/μm，測(cè)頭的橫向剛度為0.301 8 mN/μm。根據(jù)式(7)和(38)，當(dāng)施加P=3.05 N的壓電驅(qū)動(dòng)力時(shí)，測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論各向同性剛度值為0.294 9 mN/μm。由此表明，測(cè)頭理論剛度和仿真結(jié)果較為符合，構(gòu)建的測(cè)頭剛度模型是正確的，為該類(lèi)型的變剛度控制奠定了前期理論基礎(chǔ)。

4 結(jié) 論

(1) 利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構(gòu)造了一種新型對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的三角梁變剛度約束微納測(cè)頭。

(2) 構(gòu)建測(cè)頭中心體力矩平衡方程，基于最小勢(shì)能原理得到測(cè)頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論剛度模型，基于該模型進(jìn)一步得到了微納測(cè)頭具有各向同性剛度時(shí)所需的壓電驅(qū)動(dòng)力大小。

(3) 給定約束支撐機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，應(yīng)用有限元仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了理論剛度模型的正確性，得到了約束梁發(fā)生失效時(shí)的臨界屈曲載荷，對(duì)研制出該類(lèi)型測(cè)頭的樣機(jī)并開(kāi)展變剛度控制試驗(yàn)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。