“猜想——驗(yàn)證“在數(shù)學(xué)創(chuàng)新模擬教學(xué)中的運(yùn)用

趙占國(guó)

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)。”研究表明：人們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，如果僅靠聽和看最多能獲取30%的新知，如果動(dòng)手做的話，可以達(dá)到90%以上。這里的“做數(shù)學(xué)”實(shí)際上是數(shù)學(xué)的創(chuàng)新模擬。數(shù)學(xué)的創(chuàng)新模擬要求我們?cè)诮虒W(xué)中必須根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境創(chuàng)設(shè)賦予啟發(fā)的現(xiàn)實(shí)背景，喚醒學(xué)生，使其在自然情境中進(jìn)行自主探究性學(xué)習(xí)，在“模擬”過程中積累經(jīng)驗(yàn)，親身經(jīng)歷前人創(chuàng)造知識(shí)、發(fā)展知識(shí)和形成知識(shí)的過程，模擬前人的創(chuàng)新路徑，親身經(jīng)歷體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造知識(shí)的歷程，并通過自己的深刻思考，在探索過程中，獲得自己的感受和理解并內(nèi)化為自己的知識(shí)建構(gòu)。將掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法與親身經(jīng)歷融會(huì)貫通，在數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過程中獲得快樂，感悟成功的喜悅，使學(xué)生的個(gè)性得到發(fā)展。下面就怎樣通過觀察、模仿、聯(lián)想、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)將思考方法交互整合，讓學(xué)生在研究數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中獲得全面、持續(xù)、和諧發(fā)展，并依據(jù)培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，結(jié)合自己的教學(xué)與實(shí)踐初探，談一談“猜想——驗(yàn)證”在小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新模擬教學(xué)中的運(yùn)用。

一、利用新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)引發(fā)學(xué)生思考，主動(dòng)經(jīng)歷“猜想——驗(yàn)證”，促進(jìn)學(xué)生在模擬的過程中創(chuàng)新

對(duì)于新知識(shí)與舊知識(shí)密切相關(guān)的內(nèi)容，應(yīng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)引起興趣的問題情境，充分引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)其原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，利用知識(shí)之間的合理聯(lián)系，把握新舊知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，形成一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“猜想驗(yàn)證”過程的引擎，促使學(xué)生利用原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問題提出假設(shè)驗(yàn)證，然后從不同角度進(jìn)行創(chuàng)新模擬，從而產(chǎn)生利用舊知識(shí)“創(chuàng)造”新知識(shí)的“正遷移”方式。

如，在探究“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法”教學(xué)時(shí)，在回顧“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生探究：“修路隊(duì)小時(shí)修路20米，1小時(shí)修多少米？”

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“工作總量÷工作時(shí)間=工作效率”，列出解決問題算式：20÷，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：除數(shù)是分?jǐn)?shù)，該怎樣計(jì)算呢？

學(xué)生甲：“可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來計(jì)算，20÷=20÷0.4=50（米）?！?/p>

學(xué)生乙：“我不同意！因?yàn)楫?dāng)除數(shù)（分?jǐn)?shù)）不能化成有限小數(shù)時(shí)，用這種方法就行不通。”

學(xué)生丙：“我們已經(jīng)知道分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），用分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算。所以，猜想一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)只要用這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)就可以了?！?/p>

即：20÷=20×=50（米）。

教師略顯疑惑并問道：這種猜想對(duì)嗎？怎樣驗(yàn)證？以此來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算理與算法。（指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出線段圖，并根據(jù)線段圖來推算出1小時(shí)能修多少米？）

有學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：從圖中可以看出，如果把小時(shí)修的米數(shù)看作1份，那么1小時(shí)修的米數(shù)應(yīng)該是20米的倍。求1小時(shí)修多少米，就是求20米的倍是多少。

又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

從小時(shí)修20米，可以得到小時(shí)修：20÷2=10（米），1小時(shí)是5個(gè)小時(shí)就是：20÷2×5=20××5=20×=50（米）。

在學(xué)生的相互啟發(fā)下，還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

可以利用商不變的規(guī)律，將除數(shù)乘得到1，被除數(shù)也乘，從而得到20÷=（20×）÷（×）=50（米）。

三位同學(xué)都從不同的角度對(duì)猜想進(jìn)行了驗(yàn)證，于是歸納得到：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法（用一個(gè)數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)）。

以上分析過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過“猜想——驗(yàn)證”的過程，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生經(jīng)歷從多角度進(jìn)行探索新知的體驗(yàn);學(xué)生獲得了通過利用自己原有知識(shí)信息獲取新知的成功感受，增強(qiáng)了學(xué)生積極探索、主動(dòng)交流表達(dá)、主動(dòng)運(yùn)用、主動(dòng)完善的能力，使主動(dòng)探索成為學(xué)生的需求和期望，從而引導(dǎo)學(xué)生在“模擬”的過程中“創(chuàng)造”新知。

二、基于和順應(yīng)學(xué)生的思考現(xiàn)實(shí)，巧定式思考促成學(xué)生猜想并主動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證

從學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)出發(fā)，尊重學(xué)生的想法，引導(dǎo)學(xué)生合理解釋自己的想法，使“猜想—驗(yàn)證”的過程自然發(fā)生，并在驗(yàn)證猜想的過程中有新的發(fā)現(xiàn)，在模擬的基礎(chǔ)上獲得新知。

如，教學(xué)平行四邊形的面積計(jì)算，理解和掌握平行四邊形面積的推導(dǎo)分析過程是教學(xué)之重點(diǎn)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生找到“新舊”知識(shí)的轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)。教學(xué)過程中，同時(shí)出示一個(gè)a=6 cm，b=4 cm的長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形（a=6 cm，h=4 cm，b=5 cm），問：誰的面積大？一名學(xué)生“堅(jiān)定”表示：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬：6×4=24（cm2），我猜想平行四邊形的面積是兩條鄰邊相乘的積：6×5=30（cm2）。

然后詢問：你是怎么認(rèn)為的？學(xué)生：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，猜測(cè)平行四邊形的面積也可能是相鄰邊的乘積。

老師不急于否認(rèn)，對(duì)學(xué)生的積極思維給予肯定：同學(xué)們運(yùn)用原有知識(shí)做出大膽的猜測(cè)，這種學(xué)習(xí)精神很值得鼓勵(lì)。那么，這種猜想是否正確呢？下面請(qǐng)大家一起來進(jìn)行驗(yàn)證。

首先問：要知道哪個(gè)圖形的面積大？該怎么辦呢？

有學(xué)生說：可以用數(shù)方格的方式來比較分析它們的大小。通過數(shù)發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形共有小方格6×4=24（個(gè)）;平行四邊形中可直接數(shù)出有18個(gè)整格，不滿一格的通過拼一拼，一共可以拼出6個(gè)，這樣18+6=24（個(gè)）。

然后繼續(xù)問：對(duì)于這個(gè)平行四邊形，是否有更好的方法來計(jì)算小方塊的數(shù)量？然后，一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，通過沿高剪切，將其平移，然后拼接在一起，它們就可以形成一個(gè)長(zhǎng)方形，并快速數(shù)出它的24個(gè)小方格。這時(shí)教師順勢(shì)而問：通過剛才數(shù)方格的操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？使學(xué)生明確：長(zhǎng)方形和平行四邊形都含有24個(gè)面積單位，面積都是24 cm2。發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積計(jì)算的猜想是錯(cuò)誤的，而且相鄰兩邊相乘的積大于實(shí)際面積。更重要的是，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以變換成長(zhǎng)方形，變換后形狀變了，但面積沒變。并從數(shù)方格的過程中獲得計(jì)算平行四邊形的面積的發(fā)現(xiàn)。

本教學(xué)案例，從學(xué)生的實(shí)際思維出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生的思考現(xiàn)實(shí)，巧借學(xué)生的定式思維促進(jìn)猜想，然后從多個(gè)角度、多種方式進(jìn)行探索和驗(yàn)證，通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)猜想錯(cuò)誤的同時(shí)獲得正確的結(jié)論并打破學(xué)生的定式。使不同層次的學(xué)生有機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。更有價(jià)值的是驗(yàn)證過程中巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件。

三、根據(jù)對(duì)問題解決過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行合理假設(shè)驗(yàn)證，使思維更具深度和廣度，培養(yǎng)模擬創(chuàng)新能力

小學(xué)數(shù)學(xué)中許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)規(guī)律都源于解決實(shí)際問題過程中的發(fā)現(xiàn)。因此，在解決問題教學(xué)的過程中既要注重算理和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又要合理估計(jì)結(jié)果，并能根據(jù)估計(jì)結(jié)果和條件作出猜想、推廣，使學(xué)生逐步具備能從不同視角將觀察、分析、假設(shè)、驗(yàn)證等方法有機(jī)融通，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。

如，“乘法分配律”的教學(xué)，學(xué)生從觀察解決實(shí)際問題而得到的兩個(gè)等式中，發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先用這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加，結(jié)果不變，即“（a+b）×c=a×c+b×c”的計(jì)算規(guī)律時(shí)，放手讓學(xué)生舉例對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，在驗(yàn)證的基礎(chǔ)上鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想：根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，你還能想到什么？于是便有學(xué)生提出：“當(dāng)兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘時(shí)，即（a-b）×c，也具有這樣的規(guī)律?！边@時(shí)候，舉例驗(yàn)證便成為自覺，通過舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)猜想是正確的。此時(shí)成功的體驗(yàn)使學(xué)生興趣盎然，多個(gè)數(shù)相加（或相減）與一個(gè)數(shù)相乘，即（a±b±c）×d也滿足這一規(guī)律，繼續(xù)猜想便成為學(xué)習(xí)的自然。通過這一系列猜想與驗(yàn)證，使學(xué)生的思考更加深刻和全面，創(chuàng)新模擬能力得到培養(yǎng)。

總之，數(shù)學(xué)猜想是一種數(shù)學(xué)想象力，即人類探索數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)的思維策略。它是基于已有的事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)，是一種通過非邏輯手段獲得的假設(shè)，屬于合理推理。若邏輯體系表現(xiàn)為：從問題的提出—反復(fù)思考—聯(lián)想、感悟—提出假設(shè)—驗(yàn)證結(jié)論等關(guān)鍵過程是其基本思維模式。