移動(dòng)荷載作用下離散支承曲線軌道振動(dòng)特性分析

鄭晨晨 ,黃 強(qiáng) ,劉干斌

（1.寧波大學(xué) 巖土工程研究所,浙江 寧波 315211;2.寧波大學(xué) 濱海城市軌道交通協(xié)同創(chuàng)新中心,浙江 寧波 315211）

由于地形、地質(zhì)條件和地下建筑物等原因,軌道交通線路往往需要設(shè)置大量的曲線線路,小半徑的曲線地鐵線路也在逐漸增多[1-3].列車在曲線軌道上運(yùn)行產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)問題較之直線軌道更為嚴(yán)重.直線軌道只承受車輛的豎向荷載,而曲線軌道內(nèi)外軌高差使得鋼軌需要承受橫向荷載,且受速度影響明顯.如橫向振動(dòng)產(chǎn)生軌道波磨問題會(huì)對(duì)軌道和列車車輪產(chǎn)生很大影響,關(guān)系到列車的行車安全[4].曲線軌道的振源頻率更廣、振動(dòng)幅值更大、橫向加速度響應(yīng)更為明顯.根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)[5],地鐵列車通過曲線軌道時(shí)地表50 m 范圍內(nèi)的水平向振動(dòng)加速度有效值可達(dá)豎向的2～4 倍.隨著城市曲線線路增多,曲線軌道的振動(dòng)問題逐漸受到關(guān)注[6-8].

國內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)曲線軌道的振動(dòng)問題進(jìn)行了研究.Dai 等[9]采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)單層連續(xù)支承曲線梁的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究,分析了扣件阻尼、曲線半徑、移動(dòng)速度等因素對(duì)曲線梁各向位移的影響,但沒有考慮軌道離散支承的影響.劉維寧等[10]將曲線軌道簡化為周期性離散支承曲線梁,首次推導(dǎo)出離散支承下曲線Timoshenko 梁平面外振動(dòng)響應(yīng)的解析解,發(fā)現(xiàn)曲線梁振動(dòng)響應(yīng)與荷載速度密切相關(guān),但沒有對(duì)平面內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步分析.王開云等[11]采用Ritz 法得到了離散支承型Euler 梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程,研究了直線梁的振動(dòng)響應(yīng),但忽略了曲率對(duì)梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響.杜林林等[12-13]利用周期性結(jié)構(gòu)原理,將曲線軌道視為離散支承結(jié)構(gòu),在頻域下分析了曲線梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng);并用基于模態(tài)疊加法分析了移動(dòng)簡諧荷載下曲線軌道的空間振動(dòng)特性,得到了頻域下曲線梁的響應(yīng)解答,但其曲線軌道位移的頻域解答過程較復(fù)雜繁瑣,一般用來分析軌道位移的頻譜響應(yīng)特征.時(shí)域解答更為直觀,可以直接得到軌道位移隨列車移動(dòng)時(shí)的振動(dòng)響應(yīng),當(dāng)移動(dòng)荷載為簡諧荷載時(shí),也可分析軌道頻率特性.總的來看,目前時(shí)域解答多針對(duì)連續(xù)支承曲線軌道的情況,較少反映離散支承的影響.地鐵軌道是由一個(gè)個(gè)離散的扣件支承而成,因此離散支承的影響不可忽視.

本文采用時(shí)域分析方法對(duì)離散支承曲線軌道的振動(dòng)特性進(jìn)行分析,揭示曲線軌道時(shí)域下的空間振動(dòng)特性.以地鐵隧道內(nèi)的整體式曲線軌道為例,首先基于振型疊加法推導(dǎo)出離散支承下曲線軌道的空間振動(dòng)常微分方程,然后利用Runger-Kutta 法,采用Matlab 軟件編程求解該方程,分析移動(dòng)荷載下離散支承曲梁平面內(nèi)外的振動(dòng)特性,最后對(duì)比不同工況下的軌道位移響應(yīng),以期為曲線軌道的減振提供參考.

1 曲線軌道振動(dòng)響應(yīng)求解

1.1 曲線梁振動(dòng)方程

考慮到隧道質(zhì)量和剛度遠(yuǎn)大于鋼軌,隧道可視為固定端,將整體式曲線軌道簡化為單層離散支承的Euler 長梁.假定曲線梁為等截面均質(zhì)梁,曲率半徑為常數(shù)且遠(yuǎn)大于梁截面尺寸,按照右手螺旋法建立坐標(biāo)系(圖1).鋼軌受力計(jì)算模型如圖2 所示,其振動(dòng)方程如式(1).

圖1 整體式軌道位移示意圖

圖2 鋼軌截面受力圖

式中:ρ和A為曲線梁的密度和截面積;u為x方向位移(徑向位移);v為y方向位移(豎向位移);w為z方向位移(軸向位移);β為扭轉(zhuǎn)變形;Ix為繞x軸的慣性矩;Iy為繞y軸的慣性矩;Ip為截面極慣性矩;J為扭轉(zhuǎn)常數(shù);E和G分別為曲線梁的彈性模量和剪切模量;kx和cx、ky和cy、kz和cz分別為x、y、z方向的彈簧剛度和阻尼系數(shù);fv和fh分別為作用在曲梁頂端的豎向和徑向荷載;h為梁頂部與中性軸之間的距離;R為曲線梁的半徑;zn為第n個(gè)扣件位置,等于 (n-1)dc;dc為扣件間距;列車速度為V.

1.2 振動(dòng)方程求解

利用振型疊加法求解方程(1),根據(jù)Euler 梁理論,其振型函數(shù)可采用簡支梁正則振型函數(shù),其表達(dá)式為:

式中:Yi(z)為正則振型函數(shù);qi(t)為對(duì)應(yīng)的時(shí)間坐標(biāo)函數(shù);nm為振型數(shù)目.

對(duì)于Euler 長梁,其振型函數(shù)可表示為[14]:

將正則振型函數(shù)代入式(1),經(jīng)過傅里葉變換并簡化,可將偏微分方程變換為如下常微分方程:

式(3)各系數(shù)為:

對(duì)方程組(3),可寫成如下矩陣形式:

1.3 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

經(jīng)計(jì)算振型數(shù)目取120 能滿足計(jì)算精度要求(圖3).為驗(yàn)證本文所采用計(jì)算方法的準(zhǔn)確性,參照文獻(xiàn)[13]模型參數(shù)(表1),將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[13]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

圖3 豎向位移幅值隨模態(tài)數(shù)目的變化

表1 T60 鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)[13]

圖 4 為本文計(jì)算方法與文獻(xiàn)[13]的對(duì)比結(jié)果.從圖4 可知,兩者徑向位移、豎向位移和扭轉(zhuǎn)變形響應(yīng)結(jié)果基本一致,表明本文計(jì)算方法準(zhǔn)確、可行.

圖4 曲線梁徑向、豎向位移與扭轉(zhuǎn)變形對(duì)比

2 曲線軌道振動(dòng)特性分析

基于上述軌道參數(shù),對(duì)曲線軌道的時(shí)域振動(dòng)特性進(jìn)行分析,研究扣件、曲率半徑、超高角以及荷載列車速度對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn),徑向位移與扭轉(zhuǎn)變形的變化規(guī)律相似(都與fh的變化有關(guān)).因此,僅分析豎向撓度、徑向撓度的響應(yīng)規(guī)律.選取曲線軌道中點(diǎn)(支點(diǎn)處)的位移響應(yīng)進(jìn)行分析.

2.1 扣件影響

在我國軌道交通系統(tǒng)中,扣件間距大部分采用600～650 mm,而國外則相對(duì)較大,如新加坡整體式道床扣件間距為700 mm.相比之下,我國采用的扣件間距比較保守,在一定程度上提高了成本,增加了后期維護(hù)的費(fèi)用.扣件對(duì)于鋼軌有兩大影響因素:扣件間距和支承剛度.選取曲線半徑300 m 下10～40 MN·m-1的支承剛度,600～700 mm扣件間距進(jìn)行分析,結(jié)果如圖5 和圖6 所示.

從圖5 和圖6 可知,鋼軌的位移變化量隨著支承剛度的增加而減小,隨著扣件間距的增大而增大.當(dāng)扣件間距為600 mm、支承剛度為40 MN·m-1時(shí),豎向位移有最小值0.75 mm;當(dāng)扣件間距為700 mm、支承剛度為10 MN·m-1時(shí),豎向位移有最大值2.38 mm.在荷載作用下,鋼軌位移受扣件支承剛度影響較大,受扣件間距影響較小.以鋼軌間距650 mm 為例,徑向支承剛度從6.25 MN·m-1增加到25 MN·m-1時(shí),徑向位移減小了66.8%,豎向支承剛度從10 MN·m-1增加到40 MN·m-1時(shí),豎向位移減小了64.8%;在豎向支承剛度為40 MN·m-1時(shí),扣件間距從700 mm減小到600 mm時(shí),豎向位移僅從0.84 mm 減小到0.75 mm,變化量很小.因此,在移動(dòng)荷載作用下減小扣件間距對(duì)減小鋼軌位移的影響并不明顯,增加扣件支承剛度則能有效減小鋼軌產(chǎn)生的位移.

圖5 不同支承剛度下徑向位移隨扣件間距的變化

圖6 不同支承剛度下豎向位移隨扣件間距的變化

2.2 半徑影響

由于橫向曲率的存在,曲線軌道的振動(dòng)較直線軌道更為復(fù)雜,曲線半徑是關(guān)鍵因素.以列車速度20 m·s-1為例,半徑300～1 500 m,軌道超高角為5o,超高為120 mm,滿足規(guī)范里對(duì)超高上限的要求[15].

圖 7 為不同曲線半徑時(shí)徑向位移峰值的變化曲線.從圖7 可知,隨著半徑增加,徑向位移方向發(fā)生改變,從負(fù)值變?yōu)檎?當(dāng)曲線軌道半徑增加至500 m 時(shí),徑向位移為零.直梁因沒有承受橫向力,所以徑向位移始終為零.這表明列車速度和超高角一定時(shí),可以選擇合適的曲線半徑使得徑向位移為零.

圖7 不同曲線半徑時(shí)徑向位移峰值的變化

圖 8 為不同曲線半徑時(shí)豎向位移峰值的變化.從圖8 可看出,在列車運(yùn)行速度范圍內(nèi),豎向位移基本不隨半徑增加而發(fā)生變化,且與直梁相差極小,其主要原因是豎向振動(dòng)荷載隨曲線半徑的變化不明顯.可見,當(dāng)列車設(shè)計(jì)速度和設(shè)計(jì)超高角確定后,可以確定最佳的曲線半徑,使得徑向的振動(dòng)位移最小.

圖8 不同曲線半徑時(shí)豎向位移峰值的變化

2.3 超高角影響

曲線軌道正是由于超高角的存在,使得部分慣性力與重力分力平衡.因此,從橫向荷載傳遞來看,超高角能減小鋼軌所受的橫向荷載.不同曲率半徑下徑向位移和豎向位移隨超高角的變化如圖9和圖10 所示.為更加直觀地看出規(guī)律,將圖9 數(shù)據(jù)進(jìn)行絕對(duì)值處理.

從圖9 和圖10 可知,曲線軌道超高角對(duì)徑向位移的影響比豎向位移更明顯.半徑不變時(shí),隨著超高角的增加,徑向位移幅值先減小后增大,在理想超高角(θ=arctan(V2(gR)-1))時(shí)徑向位移為零.例如,軌道半徑為600 m,列車運(yùn)行速度為20 m·s-1時(shí)其理想狀態(tài)超高角近似4o.隨著軌道半徑的增加,徑向位移隨超高角的變化規(guī)律趨于一致.

圖9 不同曲線半徑時(shí)徑向位移隨超高角的變化

圖10 不同曲線半徑時(shí)豎向位移隨超高角的變化

當(dāng)曲線半徑較小時(shí),豎向位移隨著超高角的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢;當(dāng)曲線半徑不斷增大時(shí),豎向位移隨超高角的增加逐漸下降.這是由于fv與重力分力和慣性力分力有關(guān),在小半徑曲線下,慣性力分力增加量比重力分力減小量要多,因此豎向荷載增加,從而造成豎向位移增加.

2.4 速度影響

列車速度對(duì)曲線軌道振動(dòng)響應(yīng)有重要影響,鑒于三向位移變化規(guī)律相同,以徑向位移為例,不同速度下徑向位移時(shí)程的變化如圖11 所示.

圖11 不同速度時(shí)徑向位移時(shí)程的變化

在目前列車速度下列車的振動(dòng)荷載作用近似于準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用,曲線軌道不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象,最大位移出現(xiàn)在拾振點(diǎn)處.事實(shí)上,列車速度產(chǎn)生的影響還與軌道超高角和曲線半徑有關(guān),因此有必要綜合分析,不同超高角和曲線半徑下位移隨速度的變化如圖12～15 所示.

圖12 不同超高角時(shí)徑向位移隨速度的變化

圖13 不同超高角時(shí)豎向位移隨速度的變化

圖14 不同曲線半徑時(shí)徑向位移隨速度的變化

圖15 不同曲線半徑時(shí)豎向位移隨速度的變化

由圖12、13 可看出,超高角對(duì)曲線軌道徑向位移、豎向位移影響較大,但超高角變化對(duì)徑向位移和扭轉(zhuǎn)變形的影響更大;超高角越小對(duì)應(yīng)的理想車速也越小.荷載移動(dòng)速度對(duì)曲線軌道徑向位移影響更加明顯,特別是當(dāng)列車速度大于理想車速后,徑向位移隨速度的增加值遠(yuǎn)大于豎向位移.由圖14、15 可發(fā)現(xiàn),半徑對(duì)曲線軌道徑向位移和豎向位移有顯著影響,隨著半徑的增加,各向位移變化曲線的斜率逐漸減小,在大半徑曲線軌道中速度對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響較低.可見,列車在小半徑曲線軌道運(yùn)行時(shí)要將速度控制在理想車速附近,以減小軌道產(chǎn)生更大的徑向位移.

3 結(jié)論

(1)扣件的支承剛度是影響曲線軌道位移幅值的主要因素,減小扣件間距并不能有效減小鋼軌產(chǎn)生的位移,增加扣件支承剛度對(duì)鋼軌位移減小有明顯作用.

(2)在目前的列車速度下,列車移動(dòng)荷載近似于準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用,鋼軌不會(huì)發(fā)生共振,最大位移出現(xiàn)在拾振點(diǎn)處.

(3)曲線半徑、超高角、列車速度三者之間相互影響,列車徑向振動(dòng)存在一個(gè)理想狀態(tài).隨著半徑的增加,橫向荷載方向會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變,導(dǎo)致徑向位移幅值先減小后增大.

(4)荷載移動(dòng)速度對(duì)徑向位移、扭轉(zhuǎn)變形影響較大,豎向位移受速度影響較小,隨著速度的增加,徑向位移和扭轉(zhuǎn)變形的振動(dòng)響應(yīng)先減小后增加,中間存在理想速度狀態(tài).