kagome 晶格中無序和自旋交換作用對(duì)量子霍爾電導(dǎo)率的影響

胡凌志,商敬龍,江紅民

（寧波大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,浙江 寧波 315211）

量子霍爾效應(yīng)是凝聚態(tài)物理中在低溫和強(qiáng)磁場(chǎng)下一個(gè)有趣的電子輸運(yùn)現(xiàn)象.研究人員首先在二維半導(dǎo)體系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子霍爾效應(yīng),隨著朗道能級(jí)被逐級(jí)填滿,霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)為等距的階梯狀平臺(tái)σxy=2ne2/h,n= 0,±1,±2,…,被稱作常規(guī)量子霍爾效應(yīng).隨著提取和制備技術(shù)的發(fā)展,一種以碳原子緊密堆積成單層二維蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)的石墨烯材料問世.石墨烯的導(dǎo)帶和價(jià)帶通常在布里淵區(qū)的6 個(gè)角出現(xiàn)接觸點(diǎn),形成無能隙的半金屬,而這些接觸點(diǎn)則被稱為狄拉克點(diǎn).同時(shí)在接觸點(diǎn)處由于能帶的線性色散關(guān)系,電子的行為由無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子來描述[1].單層石墨烯呈現(xiàn)出一種區(qū)別于傳統(tǒng)二維半導(dǎo)體的量子霍爾效應(yīng)σxy= 4(n+1/2)e2/h,n=0,±1,±2,…,通常被稱作非常規(guī)量子霍爾效應(yīng),其中半整數(shù)量子化是由于狄拉克點(diǎn)處發(fā)生貝利相變?chǔ)?.后來發(fā)現(xiàn)的在零磁場(chǎng)中的反常量子霍爾效應(yīng),其原因是強(qiáng)的自旋軌道耦合充當(dāng)了有效Zeeman 場(chǎng).近些年來,一類具有kagome 晶格結(jié)構(gòu)的二維材料引起了人們極大的研究興趣[2-15].kagome 晶格是石墨烯蜂巢晶格結(jié)構(gòu)的一個(gè)簡(jiǎn)單變形,其能帶結(jié)構(gòu)還保留有蜂巢晶格結(jié)構(gòu)的特征,能帶中的兩個(gè)色散帶與石墨烯相同,存在線性色散關(guān)系的狄拉克帶.另一方面,kagome晶格是一種由對(duì)頂三角格子組成的特殊結(jié)構(gòu),并導(dǎo)致kagome 晶格體系除了兩個(gè)色散能帶之外,還存在一個(gè)幾乎無色散的平帶,同時(shí),對(duì)頂三角格子的特殊結(jié)構(gòu)在電子間存在相互作用時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)的幾何阻挫效應(yīng).因此,kagome 晶格結(jié)構(gòu)材料是同時(shí)研究狄拉克能帶、平帶和幾何阻挫效應(yīng)的一個(gè)絕佳體系.

在量子霍爾效應(yīng)中,雜質(zhì)是一個(gè)饒有興趣的科學(xué)問題.雖然直到目前仍存在爭(zhēng)議,在Laughlin的規(guī)范理論中,必要的雜質(zhì)效應(yīng)導(dǎo)致的朗道能級(jí)展寬是理解量子化霍爾電導(dǎo)的關(guān)鍵因素之一[16],而較強(qiáng)的無序卻會(huì)破壞霍爾電導(dǎo)平臺(tái)[17-18].盡管之前已有理論工作對(duì)二維電子氣和石墨烯中非磁性無序?qū)α孔踊魻栃?yīng)的影響進(jìn)行過研究[17-18],然而在kagome 晶格體系的量子霍爾效應(yīng)中,類似的研究特別是方向隨機(jī)的磁性無序?qū)魻栯妼?dǎo)的影響卻少有.不僅如此,近幾年一系列具有磁性相互作用的kagome 晶格結(jié)構(gòu)的材料相繼被合成和制備出來,其中具有強(qiáng)烈?guī)缀巫璐斓姆磋F磁相互作用的kagome 晶格體系被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)量子自旋液體態(tài)的理想材料,特別是S=1/2的kagome 晶格海森堡反鐵磁模型的基態(tài)是否存在能隙的問題,引起了廣泛的爭(zhēng)論[2-15].因此在kagome 晶格系統(tǒng)中考慮近鄰電子之間的交換相互作用對(duì)量子霍爾效應(yīng)的影響不僅是描述實(shí)際材料的要求,而且有助于理解和甄別具有磁性相互作用的kagome 晶格材料中有可能呈現(xiàn)的一些新奇量子態(tài).

受此啟發(fā),本文利用數(shù)值計(jì)算研究了無序和海森堡自旋交換相互作用下kagome 晶格中的量子霍爾效應(yīng).其中無序包括非磁性雜質(zhì)和方向隨機(jī)的磁性雜質(zhì),相互作用包括鐵磁和反鐵磁相互作用.根據(jù)已有的研究結(jié)果,可以預(yù)見在一個(gè)強(qiáng)無序的環(huán)境下,量子霍爾平臺(tái)會(huì)被破壞.在磁性無序和反鐵磁相互作用下,kagome 晶格的量子霍爾效應(yīng)還會(huì)出現(xiàn)一些有趣的變化.

1 理論和方法

在一個(gè)二維的平行四邊形kagome 晶格體系中研究雜質(zhì)和交換相互作用對(duì)霍爾效應(yīng)的影響.如圖1 所示,體系的大小為N=N x×Ny,其中Nx和Ny代表兩條邊中格點(diǎn)的個(gè)數(shù);A、B 和C 分別代表3 種不同的晶格點(diǎn);a1和a2是晶格單位矢量;τ1、τ2、τ3和τ4指從B 類格點(diǎn)躍遷至最近鄰格點(diǎn)(A 類和C 類格點(diǎn))的躍遷積分;(ix,iy)代表格點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)kagome 晶格平面施加一個(gè)垂直方向的均勻磁場(chǎng)

圖1 kagome 晶格結(jié)構(gòu)

為了研究系統(tǒng)中無序的影響,分別考慮非磁性雜質(zhì)和方向隨機(jī)的磁性雜質(zhì),雜質(zhì)的哈密頓量表示為

式中:Pis為格點(diǎn)i處非磁性雜質(zhì)的強(qiáng)度;為格點(diǎn)i處磁性雜質(zhì)的強(qiáng)度和方向;τσσ′為泡利矩陣.

而近鄰電子之間的交換相互作用則可以表示為:

對(duì)交換相互作用使用平均場(chǎng)方法,可以得到以下結(jié)果:

上述計(jì)算中考慮各向同性的情況,其中Jij﹥0表示反鐵磁相互作用,Jij﹤ 0為鐵磁相互作用.將哈密頓量對(duì)角化后,使用Bogoliubov-de Gennes 方程可得:

2 結(jié)果和討論

首先計(jì)算純凈系統(tǒng)中通過kagome 晶格平面不同磁通量下的量子霍爾效應(yīng).圖2 所示為M=600、800、1 200 時(shí)系統(tǒng)的霍爾電導(dǎo)率,顯然該系統(tǒng)的量子霍爾效應(yīng)與石墨烯晶格中一致,霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)半整數(shù)量子化σxy=ve2/h=gs(n+1/ 2)e2/h,n=0,±1,±2,…,上式中簡(jiǎn)并因子gs=4表示每個(gè)朗道能級(jí)包含2 個(gè)自旋分量和2 個(gè)不等價(jià)的狄拉克谷點(diǎn),整數(shù)v在圖中以數(shù)字標(biāo)示在對(duì)應(yīng)的量子霍爾電導(dǎo)平臺(tái)上.與二維電子氣系統(tǒng)中常規(guī)的量子霍爾效應(yīng)類似,霍爾電導(dǎo)隨著費(fèi)米能EF的變化都呈現(xiàn)為等距的階梯狀,每當(dāng)一個(gè)朗道能級(jí)被填滿時(shí)霍爾電導(dǎo)就增加一個(gè)量子數(shù).然而從圖中可以發(fā)現(xiàn)并不存在σxy=0的平臺(tái),這是因?yàn)閗agome 晶格中的載流子是無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子,其中霍爾電導(dǎo)的半整數(shù)量子化是在狄拉克點(diǎn)處貝利相位發(fā)生π的突變的結(jié)果.隨著磁通量的增大,系統(tǒng)的朗道能級(jí)隨之改變,霍爾電導(dǎo)圖中每個(gè)平臺(tái)的寬度也相應(yīng)地變寬,從圖中也能清楚地看到,通過整個(gè)晶格平面的磁通量的改變并不影響霍爾電導(dǎo)的量子化特性.

圖2 霍爾電導(dǎo)隨費(fèi)米能的變化關(guān)系

為了研究kagome 晶格系統(tǒng)中無序?qū)魻栃?yīng)的影響,在系統(tǒng)中隨機(jī)選取一半格點(diǎn)摻雜大小隨機(jī)分布在 [ -Ps,Ps]之間的非磁性雜質(zhì),于是Ps代表了無序的大小.圖3(a)是當(dāng)M= 1200時(shí),系統(tǒng)中含不同非磁性雜質(zhì)強(qiáng)度的霍爾電導(dǎo).圖中實(shí)線代表Ps=0即系統(tǒng)無雜質(zhì)的霍爾電導(dǎo).可以看出,Ps=0.15 時(shí)的無序強(qiáng)度相對(duì)較低,幾乎所有霍爾電導(dǎo)平臺(tái)都保持著量子化,這表明系統(tǒng)的量子霍爾效應(yīng)在弱無序狀態(tài)下是穩(wěn)定的.當(dāng)Ps= 0.75時(shí),僅有v=±2,±6,±1 0的平臺(tái)仍是量子化的.當(dāng)Ps增加到1.5 時(shí),絕大多數(shù)平臺(tái)都已經(jīng)被破壞,僅有v= ±2的平臺(tái)保持完整.可以預(yù)測(cè)當(dāng)雜質(zhì)的強(qiáng)度增大到某一值時(shí),所有的霍爾平臺(tái)都會(huì)被破壞,系統(tǒng)的霍爾效應(yīng)將不再有量子化的性質(zhì).因此,計(jì)算結(jié)果表明,在kagome 體系中,隨著無序強(qiáng)度逐漸增大,霍爾電導(dǎo)從高朗道能級(jí)到低朗道能級(jí)逐步破壞量子化,對(duì)應(yīng)朗道能級(jí)越低的平臺(tái)具有越穩(wěn)定的性質(zhì),這種無序?qū)α孔踊魻栃?yīng)的影響和石墨烯晶格是一致的.

然而,在包含磁性雜質(zhì)情況下霍爾電導(dǎo)出現(xiàn)了一些有趣的變化.與系統(tǒng)中含非磁性雜質(zhì)的研究方法類似,同樣在樣品中隨機(jī)選取一半格點(diǎn)加入雜質(zhì)強(qiáng)度分布在 [-Pm,Pm],方向隨機(jī)分布在θ? [0,π)、φ? [0,2π)的磁性雜質(zhì),結(jié)果如圖3(b)所示.圖中虛線是Pm= 0.15的霍爾電導(dǎo)隨費(fèi)米能的變化關(guān)系,盡管此時(shí)無序程度較弱,對(duì)原有的霍爾平臺(tái)幾乎沒有影響,但在原來相鄰的兩個(gè)平臺(tái)中間誘導(dǎo)出新的平臺(tái),導(dǎo)致體系發(fā)生從非常規(guī)量子霍爾效應(yīng)到常規(guī)量子霍爾效應(yīng)的轉(zhuǎn)變.沒有雜質(zhì)時(shí),每個(gè)朗道能級(jí)En=sign(n)vf具有自旋和狄拉克谷點(diǎn)簡(jiǎn)并度.當(dāng)加入磁性雜質(zhì)時(shí),打破了自旋簡(jiǎn)并,只剩下狄拉克谷點(diǎn)二重簡(jiǎn)并度,相應(yīng)的霍爾電導(dǎo)簡(jiǎn)并系數(shù)從gs=4變?yōu)間s=2,同時(shí)使得原朗道能→ 級(jí)發(fā)生劈裂變?yōu)镋nσ= sign(n)vf×,導(dǎo)致原來相鄰的兩個(gè)平臺(tái)中間出現(xiàn)新的平臺(tái).值得注意的是,最近在反常量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)局域磁矩隨機(jī)反轉(zhuǎn)時(shí)觀察到了類似的非零霍爾電導(dǎo)平臺(tái)向零霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的轉(zhuǎn)變[19-20],期望以上計(jì)算的量子霍爾電導(dǎo)的平臺(tái)轉(zhuǎn)變能夠在摻有磁性雜質(zhì)的kagome 晶格體系的量子霍爾效應(yīng)中觀察到.當(dāng)Pm逐步增大時(shí),霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)與圖3(a)相似的破壞平臺(tái)的過程,同時(shí)由于自旋劈裂隨著Pm增大而相應(yīng)地增大,v=0的平臺(tái)寬度也逐步增大.

圖3 不同強(qiáng)度非磁性和磁性無序下霍爾電導(dǎo)隨費(fèi)米能的變化關(guān)系(M=1 200)

最后計(jì)算近鄰電子之間的磁性相互作用對(duì)量子霍爾效應(yīng)的影響.圖4(a)展示了在鐵磁相互作用Jij﹤ 0下體系的霍爾電導(dǎo)率,從圖中可以看到,鐵磁相互作用使系統(tǒng)由非常規(guī)量子霍爾效應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)量子霍爾效應(yīng)σxy= 2ne2/h,這與圖2 純凈系統(tǒng)的非常規(guī)霍爾電導(dǎo)形成了鮮明的對(duì)比.值得注意的是,在各向異性的kagome 晶格中也有類似的從非常規(guī)量子霍爾效應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)量子霍爾效應(yīng)的現(xiàn)象[21].同時(shí)由于在1/3 填充時(shí)有零霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的出現(xiàn),可以知道在鐵磁相互作用下體系在1/3填充時(shí)存在能隙.對(duì)比鐵磁相互作用,反鐵磁相互作用則對(duì)體系的霍爾電導(dǎo)平臺(tái)沒有影響,結(jié)果如圖4(b)所示,可以看到量子霍爾電導(dǎo)仍是非常規(guī)的類型.這個(gè)結(jié)果意味著在自旋為1/2 的反鐵磁交換相互作用形成自旋液體的機(jī)制下,體系的量子霍爾效應(yīng)保持不變,同時(shí)也暗示著在自旋為1/2 的反鐵磁交換相互作用下,體系和原來系統(tǒng)一樣具有零能隙的特征,此特征有助于從實(shí)驗(yàn)上探測(cè)和研究自旋液體的激發(fā)特性和形成機(jī)制.

圖4 自旋交換耦合作用對(duì)霍爾電導(dǎo)的影響(J=0.6)

3 總結(jié)

本文計(jì)算了非磁性和磁性無序以及海森堡自旋交換作用對(duì)kagome 晶格量子霍爾效應(yīng)的影響.結(jié)果表明在純凈的情況下,kagome 晶格呈現(xiàn)出和石墨烯一樣的非常規(guī)量子霍爾效應(yīng).當(dāng)存在非磁性和磁性無序時(shí),隨著無序強(qiáng)度逐漸增大,霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的破壞從高朗道能級(jí)對(duì)應(yīng)的平臺(tái)開始,逐步向低朗道能級(jí)對(duì)應(yīng)的平臺(tái)進(jìn)行,朗道能級(jí)越低的平臺(tái)表現(xiàn)出越穩(wěn)定的特性.磁性雜質(zhì)除了破壞霍爾電導(dǎo)平臺(tái)外還可以解除自旋簡(jiǎn)并,使系統(tǒng)發(fā)生從非常規(guī)量子霍爾效應(yīng)到常規(guī)量子霍爾效應(yīng)的轉(zhuǎn)變.在近鄰電子之間的鐵磁性相互作用下,同樣能使體系轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)的量子霍爾效應(yīng),并且由于在1/3 填充時(shí)有零霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的出現(xiàn),表明在鐵磁相互作用下體系在1/3 填充時(shí)存在能隙.然而在反鐵磁相互作用下,體系的霍爾電導(dǎo)仍然是原來的非常規(guī)類型.這意味著在S=1/2的反鐵磁交換相互作用形成量子自旋液體時(shí),體系仍保持原來的非常規(guī)量子霍爾效應(yīng),同時(shí)也暗示著在S=1/2的反鐵磁交換相互作用下,體系和原來的系統(tǒng)一樣具有零能隙特征.