加權(quán)最小化問題中限制等距性的研究
2021-09-14 03:27:18張茜雯王金平
寧波大學(xué)學(xué)報(理工版) 2021年5期
張茜雯,王金平
（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,浙江 寧波 315211）
加權(quán)稀疏信號的重構(gòu)問題是從標(biāo)準(zhǔn)稀疏問題演化而來,由于標(biāo)準(zhǔn)最小化在任何關(guān)于x的支撐集的初始信號和假設(shè)中都不占任何優(yōu)勢,通過權(quán)重的方式使得需要被重構(gòu)的向量結(jié)構(gòu)更加一般化.2009 年,Foucart 等[1]提出了標(biāo)準(zhǔn)稀疏情況下的非凸最小化問題.2016 年,Rauhut 等[2]提出了一種新型加權(quán)范數(shù)以及加權(quán)l(xiāng)1最小化,加權(quán)l(xiāng)1最小化比標(biāo)準(zhǔn)l1最小化更加穩(wěn)定.本文基于文獻(xiàn)[1-2],在加權(quán)非凸問題下對測量矩陣的性質(zhì)進(jìn)行研究.
1 預(yù)備知識
壓縮感知旨在從少量線性測量組的數(shù)據(jù)中重構(gòu)未知的信號解.從數(shù)學(xué)理論方面看,通過lp最小化[1](0﹤p≤1)
本文首先在有噪聲的情況下證明加權(quán)RIP 為穩(wěn)定重構(gòu)塊稀疏信號的充分條件,然后給出塊RIP暗含著s階加權(quán)l(xiāng)prNSP,這進(jìn)一步一般化了l1最小化問題.
2 主要結(jié)果
3 小結(jié)
本文將加權(quán)最小化問題一般化到非凸加權(quán)最小化,證明了當(dāng)測量矩陣滿足帶有加權(quán)限制等距常數(shù)的加權(quán)RIP 時,加權(quán)RIP 比加權(quán)rNSP 的性質(zhì)更強(qiáng),并證明了加權(quán)RIP 是有噪方程組的解能夠穩(wěn)定恢復(fù)的充分條件,并利用加權(quán)最佳逼近與噪聲水平給出了近似解與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差估計.這些結(jié)果說明了非凸加權(quán)最小化問題對含噪聲的方程組解的重構(gòu)仍具有穩(wěn)定性.
當(dāng)測量矩陣滿足加權(quán)RIP 時,能否通過其他方法將約束等距常數(shù)δw,2s的取值范圍進(jìn)一步擴(kuò)大,且仍能保證任何加權(quán)信號都可被穩(wěn)定恢復(fù)? 除了加權(quán)RIP,未來有必要進(jìn)一步探索測量矩陣的其他性質(zhì),并討論其解的誤差估計.
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