高考中應(yīng)用題瓶頸突破

摘 要：一直以來(lái)，數(shù)學(xué)都是一門(mén)難度相對(duì)較大的科目，尤其是在高中教育階段，隨著知識(shí)深度與廣度的同步提升，題目難度也隨之增加，應(yīng)用題更是難上加難，而且在高考中所占的分值比例較大，學(xué)生在解題中極易遇到瓶頸難易突破，影響他們的解題效率與自信.本文針對(duì)如何突破高考中應(yīng)用題瓶頸作探討，以江蘇高考應(yīng)用題為例，并提出部分個(gè)人建議.

關(guān)鍵詞：高考;應(yīng)用題;瓶頸突破;江蘇

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）22-0032-02

收稿日期：2021-05-05

作者簡(jiǎn)介：尤蓓君（1982.6-），女，江蘇省江陰人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

應(yīng)用題是用語(yǔ)言或文字?jǐn)⑹鲇嘘P(guān)事實(shí)，反映某種數(shù)學(xué)關(guān)系，并求解未知數(shù)量的題目，每道應(yīng)用題都包括已知條件和所求問(wèn)題.在數(shù)學(xué)高考中，應(yīng)用題不僅是一個(gè)常設(shè)題型，還占據(jù)著較大的分值比例，學(xué)生雖然從小學(xué)階段就開(kāi)始接觸應(yīng)用題，不過(guò)高考中的應(yīng)用題難度系數(shù)較大，教師需指導(dǎo)他們從具體的邏輯思維出發(fā)，使其認(rèn)真分析題目?jī)?nèi)容，真正突破瓶頸.

一、高度重視審題環(huán)節(jié)，做好應(yīng)用題解題準(zhǔn)備

高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及題材廣泛，背景也呈現(xiàn)出多樣的色彩，一般情況下，文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，數(shù)據(jù)多、不規(guī)則，文字、符號(hào)及其相關(guān)關(guān)系式相互交織，顯得復(fù)雜、繁瑣.要想突破高考中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的瓶頸，教師首先需要求學(xué)生高度重視審題環(huán)節(jié)，認(rèn)真閱讀題目信息，細(xì)致、耐心的審題，使其學(xué)會(huì)去粗取精，抓住題目的主干，同時(shí)挖掘出隱含條件，做好準(zhǔn)備工作.

例1 某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖1所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上），經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2 （米）與F到OO′的距離 b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米.

（1）求橋AB的長(zhǎng)度;

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米，其中C，K在AB上（不包括端點(diǎn)）.橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元）.橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0），問(wèn)O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

教師引領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)閱讀題，使其找出關(guān)鍵信息、已知與未知條件，弄懂文字與符號(hào)的含義，做好解題準(zhǔn)備.

二、識(shí)別實(shí)際問(wèn)題模式，確定應(yīng)用題解題思路

應(yīng)用題本身反映的就是實(shí)際生活中的相關(guān)事實(shí)，針對(duì)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的瓶頸而言，教師需引領(lǐng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的模式進(jìn)行識(shí)別.圖2

例2 如圖2，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng);

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由;

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.

本題屬于典型的測(cè)量題，教師引領(lǐng)學(xué)生聯(lián)系到三角函數(shù)的知識(shí)，并結(jié)合圓、平面直角坐標(biāo)系、斜率、兩點(diǎn)距離公式等確定思路，讓他們順利解題.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化應(yīng)用題解題過(guò)程

數(shù)和形作為數(shù)學(xué)中兩個(gè)作為古老與基本的研究對(duì)象，兩者在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化，高中數(shù)學(xué)主要研究的也是這兩大部分，代數(shù)對(duì)應(yīng)的是“數(shù)”，幾何則與“形”相對(duì)應(yīng)，應(yīng)用題也是圍繞著兩個(gè)方面設(shè)置的.因此，為實(shí)現(xiàn)高考中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的瓶頸突破，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和處理應(yīng)用題，促使他們通過(guò)以數(shù)解形或以形助數(shù)優(yōu)化解題過(guò)程.

例3 如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為107cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）.

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度;

（2）將放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.

本題考查玻璃棒l沒(méi)入水中部分長(zhǎng)度的求法，學(xué)生可用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想分析題目，結(jié)合空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)解題，優(yōu)化他們的解題過(guò)程，使其推理論證、運(yùn)算求解、空間想象能力得以鍛煉.

四、積極建立數(shù)學(xué)模型，把握解決應(yīng)用題關(guān)鍵

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解，再根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題，而應(yīng)用題大部分都是實(shí)際問(wèn)題，這為數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用提供良好契機(jī).從本質(zhì)上來(lái)講，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題同實(shí)際生活聯(lián)系的最為密切，解題的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)模型的建立，教師需意識(shí)到這一點(diǎn)，指引學(xué)生積極建立數(shù)學(xué)模型，使其把握應(yīng)用題的解題關(guān)鍵.

例4 某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上，設(shè)OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍;

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，以及直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力，教師要指引學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，使其運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析與解決這一實(shí)際問(wèn)題.

總而言之，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有相當(dāng)高的實(shí)踐考察價(jià)值，可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握與運(yùn)用情況，其實(shí)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題并非像想象中那樣不可逾越，教師需指導(dǎo)他們認(rèn)真審題、正確運(yùn)用解題方法，最終在高考中獲得理想的成績(jī).

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]