數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)涉及較多教學(xué)內(nèi)容，并且內(nèi)容難度相對(duì)較大，即便學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間面臨一定難度.而后進(jìn)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)面臨更大困難，若教師不能通過正確方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)引導(dǎo)，很容易使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)科目產(chǎn)生畏懼心理.解析幾何在高中數(shù)學(xué)中屬于難點(diǎn)知識(shí)，為了使學(xué)生更高效、輕松的學(xué)習(xí)解析幾何相關(guān)知識(shí)，本文著重探究數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用，為高中數(shù)學(xué)教師提供相關(guān)教學(xué)策略，使教師更有效的引導(dǎo)學(xué)生掌握正確學(xué)習(xí)方法，不斷攻克數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量及效率.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;解析幾何;教學(xué);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）24-0029-02

收稿日期：2021-05-25

作者簡(jiǎn)介：趙壽鋒（1979.6-），男，河北省滄縣人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于解析幾何教學(xué)當(dāng)中，能夠在各種思想與解析幾何相關(guān)知識(shí)點(diǎn)相互結(jié)合過程中提升教學(xué)直觀性，使學(xué)生在解題過程中不斷鍛煉自身的邏輯思維能力，同時(shí)在相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用下不斷簡(jiǎn)化和優(yōu)化解題過程，以減少學(xué)生對(duì)解析幾何相關(guān)知識(shí)的畏懼心理，幫助學(xué)生更輕松、簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步提升高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，掌握正確的學(xué)習(xí)方法.為此，有必要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用深入探究，以此為教育同仁們提供一些教學(xué)參考.

一、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于解析幾何教學(xué)，提升教學(xué)直觀性

解析幾何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中屬于難點(diǎn)內(nèi)容，不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)性的知識(shí)內(nèi)容，還需要學(xué)生能夠靈活的應(yīng)用有關(guān)知識(shí)內(nèi)容.為了達(dá)到相關(guān)教學(xué)目標(biāo)，高中數(shù)學(xué)教師可在針對(duì)解析幾何教學(xué)期間，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想建立高效課堂.數(shù)形結(jié)合思想可以將無形的數(shù)學(xué)問題變的有形，使學(xué)習(xí)者更加直觀的了解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)和相關(guān)解題思路，同時(shí)把抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成具體、簡(jiǎn)單的問題，便于學(xué)生解答.

例1 方程lgx=sinx有（ ）個(gè)實(shí)根.A.4個(gè) ?B.3個(gè) ?C.2個(gè) ?D.1個(gè)

在對(duì)此題進(jìn)行解析期間，無法單通過題目分析得到答案，此時(shí)可借助數(shù)形結(jié)合思想來剖析題目.具體就是將y=lgx的圖象和y=sinx圖象共同畫到一個(gè)坐標(biāo)系當(dāng)中，如圖1，此時(shí)可清晰的從圖中得到此方程有3個(gè)實(shí)根.

例2 圓的方程是x2+y2=1，直線l過點(diǎn)P（-3，

-1），直線和圓有公共點(diǎn)，那么直線l傾斜角相應(yīng)取值范圍為（ ）.

A.0，π6 ?B.0，π6 C.0，π3 D.0，π3

通過分析題意，可明確直線l存在斜率，因此可對(duì)直線l作出假設(shè)：y+1=k（x+3）.如果經(jīng)過P作兩條與圓O相切的直線PA和PP0，A和P0分別為切點(diǎn)，如圖2.基圖2于P點(diǎn)的坐標(biāo)，可知kPA=0，那么從Rt△OAP當(dāng)中可解出∠OPA=30°.根據(jù)對(duì)稱性，可得∠OPP0=30°，那么∠APP0=60°.綜合分析，直線l傾斜角相應(yīng)取值范圍為0，π3.

這種將數(shù)形結(jié)合思想滲透到解析幾何教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中的教學(xué)方法，可調(diào)動(dòng)學(xué)生高昂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并直觀感知數(shù)學(xué)知識(shí)，深化理解有關(guān)內(nèi)容，厘清自身學(xué)習(xí)思路，關(guān)注問題思考，靈活應(yīng)用有關(guān)知識(shí)內(nèi)容，不斷提升課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率.

二、劃歸思想應(yīng)用于解析幾何教學(xué)，提高教學(xué)有效性

化歸思想也叫轉(zhuǎn)化與歸結(jié)思想，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，其本質(zhì)是使問題從陌生轉(zhuǎn)化到熟悉、從復(fù)雜轉(zhuǎn)化到簡(jiǎn)單、從抽象轉(zhuǎn)化到具體.在所遇到的數(shù)學(xué)問題無法通過現(xiàn)有方式加以解答期間，可適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使答題難度有所下降，進(jìn)而更容易、有效的解決有關(guān)問題.比如在《圓的方程》教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師就可合理應(yīng)用化歸思想.

例3 圓的方程為：（x-2）2+（y-2）2=2，點(diǎn)P分布在圓上，設(shè)坐標(biāo)為（x，y）.求x+y和yx取值范圍.

要解答此題，就要求學(xué)生了解題目中代數(shù)式x+y以及yx的內(nèi)在意義.若x+y=t，則可將x+y涉及到的取值范圍進(jìn)行轉(zhuǎn)化，具體是在圓和直線兩者存在交點(diǎn)的時(shí)候，y軸上直線所保持截距相應(yīng)取值范圍;若y-0x-0=k，則此時(shí)可將yx取值范圍進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即圓與直線存在交點(diǎn)的時(shí)候，直線斜率涉及到的相關(guān)取值范圍.在化歸思想應(yīng)用下，之前復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單.

從已知條件可以看出圓心坐標(biāo)是（2，2），半徑為2，若x+y=t，則可得x+y-t=0.因?yàn)镻點(diǎn)分布于圓上，圓與所有直線均存在交點(diǎn)，直線與圓心間距小于等于圓半徑，此時(shí)可利用點(diǎn)到直線之間的距離公式計(jì)算，得到2+2-t12+12≤2，然后求得2≤t≤6.以同樣方法可求得2-3≤k≤2+3.

將化歸思想應(yīng)用到解析幾何當(dāng)中，可使數(shù)學(xué)問題更快、更好的獲得解決，同時(shí)還有利于學(xué)生深刻理解并掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，使數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效率顯著提升.

三、分類討論思想應(yīng)用于解析幾何教學(xué)，鍛煉學(xué)生邏輯思維

分類討論思想在數(shù)學(xué)思想中也是屬于重要組成部分，目前在高中數(shù)學(xué)教學(xué)期間應(yīng)用相對(duì)普遍.在對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探討時(shí)，可基于有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)分類，之后按照類別實(shí)現(xiàn)深入探討，進(jìn)而得出結(jié)論.分類討論思想其本質(zhì)是分解整體問題，之后再逐個(gè)擊破，以順利的實(shí)現(xiàn)問題解答.簡(jiǎn)單地說，分類討論思想提倡先將問題化整為零，之后在單獨(dú)分析與突破，最終實(shí)現(xiàn)集零為整，以此把不能準(zhǔn)確把握的問題劃分成可以直觀入手的若干小問題，最終對(duì)問題進(jìn)行清晰明了的解決，獲得最后答案.將分類討論思想應(yīng)用到解析幾何教學(xué)當(dāng)中，可使學(xué)生從整體層面看待問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.比如，在直線方程教學(xué)期間，教師可將分類討論思想滲透到例題教學(xué)中，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的整體思考，并通過分類討論思想順利解答題目.

例4 平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成矩形，AB落在x軸正半軸，且AB=2，AD落在y軸正半軸，同時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)與原點(diǎn)重合，BC=1.現(xiàn)折疊矩形，使A點(diǎn)落在線段DC上，若折痕所在直線的斜率為k，求折痕所在直線的方程.

在對(duì)這一問題進(jìn)行解答期間，要先分析已知條件，對(duì)折痕所在直線涉的斜率進(jìn)行解析，此時(shí)可分為兩種情況進(jìn)行討論，分別是k=0和k≠0.

首先分析k=0情況下，A點(diǎn)D點(diǎn)保持重合，那么折痕所在直線相關(guān)方程為y=12.在k≠0情況下，矩形折疊后，A點(diǎn)落在CD線段上，設(shè)為M，其坐標(biāo)為（a，1），此時(shí)以折痕所在直線為中心，A、M兩點(diǎn)保持對(duì)稱，可得kAM·k=-1，再次求解得到a=-k，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-k，1）.設(shè)N為AM線段中點(diǎn)，那么其坐標(biāo)可表示為（-k2，12），求解可得折痕所在直線的方程是y=kx+k22+12.綜上，在k=0的情況下，y=12;在k≠0的情況下，y=kx+k22+12.

此題目中實(shí)現(xiàn)直線方程求解期間，要對(duì)位置關(guān)系、斜率存在以及截距相等情況下斜率等不等于0進(jìn)行分類討論.若沒有應(yīng)用分類討論思想，學(xué)生在解題中容易忽略k=0情況，進(jìn)而影響到正確結(jié)果.解析幾何教學(xué)中，教師通過為學(xué)生傳授分類討論思想，能夠幫助學(xué)生建立正確的解題思路，強(qiáng)化解題能力，提升教學(xué)質(zhì)量與效率.

將數(shù)學(xué)思想方法滲透于解析幾何教學(xué)當(dāng)中，能夠使學(xué)生更加有效、深刻的理解與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提升知識(shí)應(yīng)用效果，掌握正確學(xué)習(xí)方法，不斷提高個(gè)人綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.因此，高中數(shù)學(xué)教師要正確認(rèn)識(shí)各種數(shù)學(xué)思想方法，并積極通過有效策略將數(shù)學(xué)思想方法有針對(duì)性、有目的的應(yīng)用到解析幾何教學(xué)中，以全面提升教學(xué)效率及教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生更加輕松、簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí). ?參考文獻(xiàn)：

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