整體架構(gòu)視角下初中方程章起始課的實踐探索

沈虹

【內(nèi)容摘要】初中方程這一單元的整體建構(gòu)教學(xué)，其設(shè)置核心是幫助學(xué)生自主建構(gòu)方程相關(guān)知識的框架，更為上位的整體規(guī)劃學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，為一元一次方程的后續(xù)學(xué)習(xí)和其他方程的繼續(xù)研究提供方向、方法和動力。

【關(guān)鍵詞】整體架構(gòu) ?章起始課 ?方程

近年來，核心素養(yǎng)的研究與培養(yǎng)成為國際教育界的熱點問題。我國也明確提出了對學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系的要求，學(xué)界再次聚焦單元整體建構(gòu)教學(xué)，希望通過單元的整體設(shè)計落實核心素養(yǎng)的養(yǎng)成①。下面，筆者將結(jié)合自己在某次比賽中執(zhí)教的“一元一次方程”章起始課，分享初中方程教學(xué)的整體架構(gòu)思路和類比遞進(jìn)式的教學(xué)方法。

章起始課是從數(shù)學(xué)知識的生長脈絡(luò)出發(fā)，根據(jù)教學(xué)規(guī)律，為整章知識構(gòu)建了宏偉的藍(lán)圖，使學(xué)生了解一章內(nèi)容或幾個單元內(nèi)容的相關(guān)背景、應(yīng)用價值，初步認(rèn)識知識脈絡(luò)體系及其與其他知識的聯(lián)系②。本次方程章起始課的教學(xué)采用先行組織，類比思考，整體建構(gòu)的思路展開，現(xiàn)將教學(xué)主要環(huán)節(jié)及相關(guān)分析呈現(xiàn)如下。

一、教材分析

蘇科版教材七年級上冊第4章“一元一次方程”，主要研究一元一次方程的概念、方程的解、解方程及其應(yīng)用，它是課本第三章代數(shù)式的后面一個章節(jié)內(nèi)容，可以理解為是對代數(shù)式的拓展與升華，也為后續(xù)研究不等式及其應(yīng)用打下基礎(chǔ)，更為研究其他方程提供研究方向和方法。

二、學(xué)情分析

七年級學(xué)生的思維正從具象發(fā)展到抽象，而本節(jié)章起始課作為初中數(shù)學(xué)方程的第一節(jié)課，筆者認(rèn)為很有必要通過設(shè)置一定的情境，讓學(xué)生主動感悟列方程的必要性和優(yōu)越性。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)之前已有如下知識經(jīng)驗積累：（1）會通過設(shè)未知數(shù)列出簡單的方程（2）會通過等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次方程（3）代數(shù)式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷概念、分類、代數(shù)式的值。

基于以上學(xué)情，筆者確定了本節(jié)課的研究路徑;類比已有的認(rèn)知經(jīng)驗，自主生成本節(jié)知識的大致框架。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）初步認(rèn)識、體會方程與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系;

（2）感悟方程的起源，了解一元一次方程的概念;

（3）建立初中方程體系的知識框架。

四、教學(xué)過程

（一）先行組織，學(xué)習(xí)回顧，感悟研究方程的一般方法

本次方程章起始課的導(dǎo)入考慮從第三章代數(shù)式出發(fā)，通過結(jié)合學(xué)生對代數(shù)式的分類，從而自覺喚醒學(xué)生的前經(jīng)驗，尤其是回顧的情境中不僅包含整式、分式，更有方程、不等式的滲透，再通過結(jié)合生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系的大量事實，讓學(xué)生感受到生活中處處有方程，從而自然過渡到本屆新授課方程的研究。而方程研究的一般方法與代數(shù)式類似，甚至后續(xù)不等式的研究也是如此。

（二）為什么學(xué)，充分感悟方程研究的必要性

對于首次接觸方程和用方程解決問題的初中生來說，研究方程的難點在于對方程必要性的感悟和復(fù)雜情境中等量關(guān)系的尋找。本節(jié)課作為方程章起始課，讓學(xué)生感悟列方程的必要性是首要前提。而蘇教版數(shù)學(xué)書中關(guān)于“丟番圖的墓志銘”可以作為課堂探究的有效素材，該事例的引用不僅可以讓學(xué)生初步感受方程解題的優(yōu)越性，還能在課堂中滲透數(shù)學(xué)史的教授。課堂中結(jié)合學(xué)生的反饋，可以了解到對于與數(shù)學(xué)重要公式相關(guān)或有杰出成就的數(shù)學(xué)家，大家還是較為熟悉，而對于國外的名人大咖還是了解較少，因此引導(dǎo)到大家并不熟悉的丟番圖，并介紹其墓志銘，自然過渡到丟番圖生平年齡問題的解決上。學(xué)生起初在本題的解決過程中還是躍躍欲試，其中用算術(shù)方法的同學(xué)約占全體一半，而能用算術(shù)方法解出本題的屈指可數(shù);另外一部分則嘗試用方程的方法解題，其中能列出正確方程的也為數(shù)不多。最終，本題的兩種解法都由學(xué)生代表闡述，其中算術(shù)方法由于其逆向思維的運用要求較高，這也是部分同學(xué)沒有得到結(jié)果的原因之一;而方程思想的直接、簡潔是大部分同學(xué)都能接受的。因此本題所要達(dá)到的目的就在于此，充分凸顯方程解決問題時的便捷與有效，充分刻畫方程是表達(dá)數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，從而逐步開始建立方程模型思想。

（三）什么是方程，初步構(gòu)建探究方程內(nèi)容的框架

想讓學(xué)生重新認(rèn)識、重新接受方程解題，其實對于部分習(xí)慣算數(shù)方法解題學(xué)生來說是一個很重要的轉(zhuǎn)折點，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，方程只是作為一種解題工具，大部分學(xué)生對于方程還是感到陌生和不便的。因此，對于方程的起源，筆者從“方”與“程”的來源探究，借此引入部分?jǐn)?shù)學(xué)史內(nèi)容，讓學(xué)生深層感知方程起源，并積發(fā)學(xué)習(xí)方程的興趣。中國古代在描述未知數(shù)表示的一組式子（即方程組）時，通過用算籌（古代一種計數(shù)工具）擺出各組系數(shù)，形成類似方陣的形狀，此為“方”的含義。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽注釋《九章算術(shù)》說，“程，課程也。二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！睌?shù)學(xué)史的滲透是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積累過程，再通過結(jié)合相關(guān)現(xiàn)實情境，列出一系列方程，其中包含一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程，通過小組合作探究以上不同方程的分類，利用不重復(fù)不遺漏的分類原則，及小組合作，匯總學(xué)生的不同分類標(biāo)準(zhǔn)，大致分為兩類，一類是按照未知數(shù)（元）的個數(shù)分類，可以分為一元、二元、三元……更多元等，另外一類是按照未知數(shù)的次數(shù)來分類，可以分為一次、二次、三次……更高次等，在該過程中，學(xué)生仿照未知數(shù)個數(shù)，提到未知數(shù)次數(shù)，而在此時，筆者通過引導(dǎo)3x+4y=20與xy=12的分類區(qū)別，幫助學(xué)生總結(jié)出這里的次數(shù)應(yīng)該是“未知數(shù)所在項的次數(shù)”，這些話語的引導(dǎo)只需要借助第三章代數(shù)式的相關(guān)多項式各項系數(shù)的內(nèi)容回顧，學(xué)生的前經(jīng)驗就很容易被喚醒，并聯(lián)系到此次方程的概念教學(xué)中。掌握這部分內(nèi)容，對初中整個方程體系的概念及概念的應(yīng)用都可以運用類比思想學(xué)習(xí)。

（四）如何來學(xué)，有序展開一元一次方程內(nèi)容的學(xué)習(xí)

初中階段的方程學(xué)習(xí)體現(xiàn)研究方法的一致性，這也是方程章起始課存在的價值所在。以上內(nèi)容，由學(xué)生自主歸納總結(jié)出一元一次方程的特點，給出一元一次方程的概念，滲透從一般到特殊的思想方法，也是研究復(fù)雜問題往往從最簡單的類型著手的思維方式，再通過類比得出黑板上其他方程的命名，感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。而丟番圖最后的年齡之謎則涉及方程的解和解方程，并最終通過方程建模解決實際問題中的各個難題。一元一次方程的研究思路“概念—方程的解—解方程—應(yīng)用”與初中后續(xù)的二元一次方程和一元二次方程類似，在此加強學(xué)生對方程類比學(xué)習(xí)的意識，甚至在日后的不等式學(xué)習(xí)中也可以借鑒相關(guān)方法和思想。

（五）課堂小結(jié)，鞏固研究探究方程的活動經(jīng)驗

這個環(huán)節(jié)代替了小結(jié)與思考，通過總結(jié)“實際問題—建立模型—求解驗證—解決問題”的探究思路，從而完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也是一次初中生與數(shù)學(xué)建模思想近距離接觸的機會。本節(jié)課作為方程的章起始課，方法的教授明顯更重于內(nèi)容的灌輸，對于活動經(jīng)驗進(jìn)行及時的總結(jié)，才能真正達(dá)到“授之以魚不如授之以漁”的效果。學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，已基本能掌握方程學(xué)習(xí)的一般思路，并通過類比代數(shù)式的學(xué)習(xí)，對整式方程、分式方程甚至不等式也有一定的了解，為后續(xù)方程的學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ)。

五、教學(xué)分析

（一）科學(xué)定位，內(nèi)容重整，發(fā)揮整體建構(gòu)功能

放眼長遠(yuǎn)看全局，章起始課的教學(xué)對全節(jié)教學(xué)有提綱挈領(lǐng)的作用，能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的整體性和系統(tǒng)性，讓學(xué)生明白本節(jié)內(nèi)容的由來和學(xué)習(xí)的必要性，從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和自覺性。筆者在對蘇教版數(shù)學(xué)七上方程一單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行完全的解讀后，聯(lián)系之前所學(xué)的代數(shù)式、聯(lián)想后面要學(xué)的不等式，將部分代數(shù)式的研究方法正遷移到方程的研究中來，強化初中方程研究的一般思路的相似性，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合、重組，學(xué)生能通過本節(jié)章起始課對本單元形成一個框架性認(rèn)識，形成整個方程學(xué)習(xí)的認(rèn)知地圖，養(yǎng)成了學(xué)生的全局思維能力，明確本單元后續(xù)階段學(xué)習(xí)的方向和研究方法。

（二）低位切入，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維自然生長

在章起始課的教學(xué)前，最重要的準(zhǔn)備工作就是進(jìn)行整體分析。根據(jù)學(xué)生實際，確定教學(xué)流程。只有全面了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點，才能真正地理解學(xué)生。對于初中方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生既具備小學(xué)時學(xué)習(xí)方程的大致印象，又具備初中第三章關(guān)于代數(shù)式學(xué)習(xí)的相關(guān)經(jīng)驗，因此筆者通過展示不同代數(shù)式，讓學(xué)生分類，通過學(xué)生前經(jīng)驗的喚醒，低位切入本節(jié)課的教授內(nèi)容，大大提高了學(xué)生的參與度和積極性。

（三）精準(zhǔn)設(shè)問，遞進(jìn)式教學(xué)促進(jìn)素養(yǎng)提升

章起始課沒有文本教材可以依據(jù)，沒有傳統(tǒng)的教學(xué)目標(biāo)可以參考，內(nèi)容要涉及一章的核心知識和數(shù)學(xué)思想。除了給學(xué)生展示單元內(nèi)容及其內(nèi)在邏輯聯(lián)系外，還要體現(xiàn)本單元內(nèi)容或相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)該單元知識的基本方法。因此，章起始課的重要價值在于引導(dǎo)學(xué)生想要達(dá)到“欲窮千里目”的效果，此處需要“先上一層樓”，而在這里重要的登樓階梯就是課堂中一個個精準(zhǔn)的設(shè)問。例如：問題1“你認(rèn)為在這里只需要未知數(shù)的次數(shù)為1就是一次方程嗎？”這一問引導(dǎo)學(xué)生思考一元一次方程概念的表述需要更嚴(yán)謹(jǐn)，問題2“根據(jù)一元一次方程的研究思路，請你大膽猜測二元一次方程和一元二次方程的研究思路會是怎樣？”這一問則體現(xiàn)方程章起始課在初中方程教學(xué)中的引領(lǐng)作用。

六、結(jié)論與思考

通過本節(jié)方程章起始課的教學(xué)實踐證明，單元整體建構(gòu)教學(xué)有利于學(xué)生先從宏觀上構(gòu)建認(rèn)知的整體方向，讓學(xué)生從整體上把握研究方向，研究路徑，進(jìn)而習(xí)得學(xué)習(xí)方法。充分發(fā)揮正遷移作用，引領(lǐng)學(xué)生利用舊知得到新知。由于學(xué)生有了積極的情感，就可以實現(xiàn)減負(fù)增效的良性循環(huán)。而課堂中筆者恰當(dāng)?shù)剡\用多模態(tài)教學(xué)，通過相關(guān)視頻、圖片的展示，把抽象內(nèi)容可視化，靜態(tài)內(nèi)容動態(tài)化。雖然數(shù)學(xué)的內(nèi)容很難通過一節(jié)課或一個知識點就將其本質(zhì)表述清楚，但數(shù)學(xué)知識之間并不是孤立存在的，章起始課只需要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，充分體會數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，對數(shù)學(xué)的理解深刻了，應(yīng)用時才能得心應(yīng)手，也就真正能達(dá)到從“數(shù)學(xué)知識”到“數(shù)學(xué)思想”再到“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的逐步提升，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

【注釋】

① 章飛、顧繼玲. 單元教學(xué)的核心思想與基本路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（10）：23-28.

② 周遠(yuǎn)方、方延偉、葉俊杰. “章引言”是起始課教學(xué)指路的明燈[J]. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（5）：29-34.

（作者單位：江蘇省常州市東青實驗學(xué)校）