阿基米德群牛問題的分析及Python求解驗證

王德貴

“群牛問題”在古希臘科學(xué)家阿基米德的研究課題中比較特別，是以詩句的形式出現(xiàn)在給埃拉托塞尼的一封信中。雖然其真實性有待考證，因為“群牛問題”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已，但歷史上對這個問題的研究，卻豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容。

下面我們也來分析一下群牛問題，并用Python求解驗證。

（一）群牛問題

太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成。

在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3;黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5;花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7。

在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4;黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5;花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6;棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7。

問這牛群是怎樣組成的？

（二）創(chuàng)意來源

通過了解知名數(shù)學(xué)難題的解題思路，并將其用于Python編程，提高我們的數(shù)學(xué)和編程水平。在我搜索的“100個數(shù)學(xué)難題”中第一個問題就是“群牛問題”，經(jīng)過分析和研究，自覺頗有收獲。

這是一道解不定方程組問題，有8個未知數(shù)，7個方程，有無數(shù)組解，我們可以求出最小正整數(shù)解。這個解數(shù)值較大，即使通過Python求最小正整數(shù)解也不容易。

（三）設(shè)計思路

按照編程解方程的慣性思路，方程的解可以使用枚舉法去求。結(jié)果當(dāng)Python程序運行后卻沒有輸出結(jié)果（所有程序后面給出）。分析原因發(fā)現(xiàn)是因為解的數(shù)值過大，必須尋求更好的求解方法。

（四）程序設(shè)計過程

1.枚舉法

最普通的思路，不需要過多考慮，用枚舉法一個個去測試（圖1）。

測試1萬個數(shù)的時間復(fù)雜度是10的12次方，需要運行30多個小時。通過搜索已知最小正整數(shù)解的值很大，枚舉法獲得結(jié)果的時間過長，必須去尋找更簡捷的方法。

2.對已知答案驗證出錯

（1）驗證解出錯

在網(wǎng)上搜索到了群牛問題的一組正整數(shù)解，代入方程直接驗證，運行結(jié)果后面4個全部為“False”（圖2）。

False表示解并不符合原題目的這項條件（圖3）。

（2）驗證另一組帶n的解也出錯

搜索到的另一組解是帶n的，代入方程驗證結(jié)果更奇怪（圖4）。

當(dāng)n=1時，有兩個“False”（圖5）。

當(dāng)n=5時，有1個“False”（圖6）。

為什么我把搜到的答案拿來驗證都沒法通過，問題出在哪里呢？為什么不同的解驗算的“False”數(shù)目還不一樣？

在分析這些問題產(chǎn)生的原因過程中，我發(fā)現(xiàn)了一個庫函數(shù)Sympy，它可以幫我解決問題！

3.SymPy庫函數(shù)

（1）SymPy庫簡介

SymPy庫函數(shù)是一個符號計算的Python庫。它的目標(biāo)是成為一個全功能的計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時保持代碼簡潔、易于理解和擴(kuò)展。它完全由Python寫成，不依賴于外部庫。SymPy支持符號計算、高精度計算、模式匹配、繪圖、解方程、微積分、組合數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、概率與統(tǒng)計、物理學(xué)等方面的功能。

SymPy的安裝和使用這里不做介紹，我只分析它求解方程的方法SymPy.solve（）。Solve（）是一個數(shù)學(xué)術(shù)語，主要是用來求解代數(shù)方程（多項式方程）的符號解析解。

（2）方程求解：先看個簡單例子（圖7）。運行就可以直接求出方程的解{x： -1， y： 4}，感覺到Python的強(qiáng)大了嗎？

（3） 群牛問題求解方程