趣味數(shù)學(xué)

柯西平均值定理作為已經(jīng)被證明的數(shù)學(xué)難題，在高中數(shù)學(xué)中就有應(yīng)用。它又叫柯西不等式，也稱為柯西均值定理，一般表述為：n個正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值。

設(shè)有n個非負(fù)實數(shù)X₁，X₂，X₃……X_n，則有

今天我們用Python、Scratch和APPInventor來做簡單驗證。

一、創(chuàng)意來源

在Python學(xué)習(xí)中，解決數(shù)學(xué)問題可以幫助我們顯著提高學(xué)習(xí)效果。近幾期我們一直在分享研究歷史數(shù)學(xué)難題的收獲，希望對大家有所幫助。

二、設(shè)計思路

定理內(nèi)容比較簡單，就是需要計算算術(shù)平均值和幾何平均值。算術(shù)平均值，就是n個正數(shù)的和除以n得到的結(jié)果。幾何平均值，是n個正數(shù)的積，開n次方得到的結(jié)果。

讓程序先產(chǎn)生n個隨機(jī)數(shù)，再計算兩個平均值，最后進(jìn)行比較即可。

但隨機(jī)數(shù)如果都是正整數(shù)，驗證結(jié)果受限，還要用小數(shù)來驗證。為了產(chǎn)生n位的小數(shù)，將范圍擴(kuò)大10n倍，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)后，再縮小10n倍，這樣便可用整數(shù)和小數(shù)來驗證。

在實際運行過程中，卻出現(xiàn)了一個問題。那就是小數(shù)位數(shù)有上限，三種語言都出現(xiàn)了這種情況，比如Python就是17位有效數(shù)字。所以在程序中都需要根據(jù)語言環(huán)境進(jìn)行相應(yīng)的處理。

三、程序設(shè)計過程

（一）Python程序設(shè)計

本例涉及等級考試二級內(nèi)容。通過鍵盤輸入范圍、數(shù)據(jù)個數(shù)和小數(shù)位數(shù)后，首先做范圍處理，如果范圍的位數(shù)和小數(shù)位數(shù)的和超出17位，則不做驗證（圖1）。

然后隨機(jī)生成n個數(shù)p位小數(shù)，添加到列表中，再計算算術(shù)平均值和幾何平均值。最后做比較，輸出結(jié)果。

程序不是很難，主要是用到了兩個函數(shù)。一個是random庫中的randint（）函數(shù)產(chǎn)生一定范圍內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)，還有一個是pow（x，y）函數(shù)，是求x 的y次方，我這們這里利用這個函數(shù)做開n次方運算，即y值在（0，1）之間的值為開方運算，比如pow（2，1/2），即是求2的平方根。

（二）Scratch程序設(shè)計

1.首先初始化，鍵盤輸入范圍、個數(shù)和小數(shù)位數(shù)（圖2）

同時清空數(shù)據(jù)列表，將4個變量初始化。

2.產(chǎn)生n個隨機(jī)數(shù)并計算

循環(huán)“個數(shù)”次，產(chǎn)生的n個隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行加法和乘法運算，保存在變量中，同時將數(shù)據(jù)添加到列表中，以備查看（圖3）。

3.求出幾何平均值和算術(shù)平均值

算術(shù)平均值就是用n個數(shù)的和除以n，得到的結(jié)果（圖4）。

幾何平均值是將n個數(shù)的積，開n次方根的結(jié)果。因為Scratch里沒有提供開n次方根的積木塊，這里利用了指數(shù)和對數(shù)的性質(zhì)。公式中n就是數(shù)據(jù)的個數(shù)，“積”為保存n個數(shù)積的變量。

4.輸出結(jié)果

先判斷幾何平均值是不是超出范圍，再判斷小數(shù)位數(shù)和擴(kuò)大范圍后的值，是不是超出范圍，如果都沒有超出范圍，則判斷幾何平均值是否小于或等于算術(shù)平均值，如果滿足條件，則說明柯西平均值定理成立，說：“柯西平均值定理成立”5秒，否則說“柯西平均值定理不成立”5秒（圖5、圖6）。

（三）APPInventor程序設(shè)計

1.UI設(shè)計

界面設(shè)置參考APP運行結(jié)果。注意設(shè)置3個文本輸入框的提示信息。

2.變量與初始化

變量6個，功能如下。驗證數(shù)據(jù)列表，存儲隨機(jī)產(chǎn)生的驗證數(shù)據(jù)。隨機(jī)數(shù)，即保存每次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)。其他4個變量如名字（圖7）。