環(huán)Fq+v Fq上線性碼的重量計(jì)數(shù)器

齊 薇， 廖群英

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

眾所周知，糾錯(cuò)碼在增強(qiáng)信息傳輸可靠性方面起著非常重要的作用，它可以用來檢測和糾正信息傳輸中的錯(cuò)誤［1］.線性碼是一類具有良好代數(shù)結(jié)構(gòu)的糾錯(cuò)碼［2-3］，線性碼的重量分布是檢測譯碼錯(cuò)誤的重要指標(biāo)，重量計(jì)數(shù)器是研究線性碼的重量分布的一種有力工具.

1977年，MacWilliams等［4］對有限域上碼的各種重量計(jì)數(shù)器及其關(guān)系進(jìn)行了較為系統(tǒng)的闡述.自此之后，許多學(xué)者將研究興趣從有限域轉(zhuǎn)移到有限環(huán).2012年，田園等［5］定義了環(huán)

上線性碼的t-Lee重量計(jì)數(shù)器，給出了該環(huán)上線性碼的t-Lee重量計(jì)數(shù)器的MacWilliams恒等式.2014年，許和乾等［6］定義了環(huán)

上線性碼的對稱重量計(jì)數(shù)器，并且建立了該環(huán)上線性碼的Hamming重量計(jì)數(shù)器和Lee重量計(jì)數(shù)器的MacWilliams恒等式.2017年，Chen等［7］定義了環(huán)

上的線性碼，研究了一些重量計(jì)數(shù)器并獲得了這些重量計(jì)數(shù)器之間的關(guān)系，其中p是素?cái)?shù).關(guān)于線性碼重量計(jì)數(shù)器的更多研究成果參見文獻(xiàn)［8-14］.

本文定義了R上線性碼C的長度重量計(jì)數(shù)器，得到線性碼C的Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器均可由長度重量計(jì)數(shù)器表示.

1 R上線性碼的基本性質(zhì)

設(shè)交換環(huán)

其中，p是素?cái)?shù)，m為正整數(shù).Rn的非空子集C稱為是R上碼長為n的碼；若C是R-子模，則稱C為R上的線性碼.設(shè)C1、C2是R上碼長為n的線性碼，則

也是R上碼長為n的線性碼，稱C1+C2為C的分解.進(jìn)而，若

文獻(xiàn)［15］中給出了R上的線性碼C與Fq上線性碼C1-v，Cv是相互唯一確定的，即如下引理.

引理1.1［15］設(shè)C為R上碼長為n的碼，C1-v、Cv如上給出，則：

1）C是R上的線性碼，當(dāng)且僅當(dāng)C1-v、Cv是Fq上的線性碼，且C=vC1-v+（1-v）Cv.

2）設(shè)C是R上的線性碼，則

且分解唯一.

為建立R上的線性碼和Fq上線性碼之間的聯(lián)系，下面給出Gray映射和R上對偶碼、自正交線性碼、自對偶線性碼及LCD線性碼的定義.

定義1.2定義Rn到F2nq的Gray映射為

進(jìn)而，若x?y=0，則稱x、y正交.

2）R上碼長為n的線性碼C的對偶碼C⊥定義為

若C?C⊥，則稱C為自正交線性碼；若C=C⊥，則稱C為自對偶線性碼；若C∩C⊥=0，則稱C為LCD線性碼.

因C為R上碼長為n的線性碼，故不妨設(shè)

另一方面，由Φ是雙射可知

推論1.5設(shè)C是R上碼長為n的自正交（自對偶，LCD）線性碼，則Φ（C）也是Fq上碼長為2n的自正交（自對偶，LCD）線性碼.

證明由Φ的定義易證Φ（C）是Fq上長為2n的碼.再由C?C⊥知

于是，由命題1.4可得

從而Φ（C）是Fq上長度為2n的自正交線性碼.其他情形可類似證明.

2 R上線性碼的重量計(jì)數(shù)器

在編碼理論以及工程實(shí)現(xiàn)中，線性碼的重量計(jì)數(shù)器是一個(gè)重要的參數(shù)，它是檢測譯碼錯(cuò)誤概率的主要依據(jù).迄今為止，最受關(guān)注的是Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.然而，由這2個(gè)重量計(jì)數(shù)器不容易得到有關(guān)線性碼的直和分解，由此引入長度重量計(jì)數(shù)器的概念.下面首先給出R上線性碼的Lee重量及一些重量計(jì)數(shù)器的定義.

定義2.1設(shè)C是R上碼長為n的線性碼.

1）對r=x+vy∈R，定義r的Lee重量為

3）對任意c′，c″∈Rn，定義c′與c″的Lee距離為dL（c′，c″）=wL（c′-c″）；

4）環(huán)R上碼C的最小Lee距離定義為

由此定義可知，Rn中任意向量的Lee重量值取自集合｛0，1，…，2n｝，從而引進(jìn)重量計(jì)數(shù)器的概念.

定義2.2設(shè)C是R上碼長為n的線性碼.

1）對任意i=0，1，…，2n，記Li為C中Lee重量為i的碼字個(gè)數(shù)，稱集合｛L0，L1，…，L2n｝為碼C的Lee重量分布.碼C的Lee重量計(jì)數(shù)器定義為

3）對任意i=0，1，…，n，記Hi是C中Hamming重量為i的碼字個(gè)數(shù).稱集合｛H0，H1，…，Hn｝為碼C的Hamming重量分布.碼C的Hamming重量計(jì)數(shù)器定義為

由上述定義可得

根據(jù)文獻(xiàn)［4］，記dH為碼C的Hamming距離.

引理2.3設(shè)Φ為Rn到F2nq的Gray映射，則：

1）對任意z∈Rn，有wL（z）=wH（Φ（z））；

2）Φ是（Rn，dL）到（F2nq，dH）的保距同構(gòu)映射.

證明1）根據(jù)定義2.1可得.

2）容易證明Φ是Fq-線性同構(gòu).進(jìn)而，對任意x，y∈Rn，有

即Φ是保距映射.

下面的定理2.4表明R上線性碼C的對稱重量計(jì)數(shù)器可以用來表示Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.

定理2.4設(shè)C是R上碼長為n的線性碼，則

1）LeeC（X，Y）=SweC（X2，XY，Y2）；

2）HamC（X，Y）=SweC（X，Y，Y）；

3）LeeC（X，Y）=HamΦ（C）（X，Y）.

證明只需證明1）、2）和3）類似可得.由定義2.2的1）和2）可知

由定理1.1可知，R上線性碼C的直和分解形式為C=vC1-v⊕（1-v）Cv.為了建立R上線性碼C、vC1-v和（1-v）Cv三者重量計(jì)數(shù)器的聯(lián)系，下面定義一種新的重量計(jì)數(shù)器.

定義2.5R上碼長為n的線性碼C的長度重量計(jì)數(shù)器定義為

由定義2.1可知，對任意r∈R，wL（r）的值取自集合S=｛0，1，2｝.對任意

下面的引理2.6表明R上線性碼C的對稱重量計(jì)數(shù)器也可由長度重量計(jì)數(shù)器表示.由命題2.4，對稱重量計(jì)數(shù)器可以表示出Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.從而，Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器均可由長度重量計(jì)數(shù)器表示出來.

引理2.6設(shè)C是R上碼長為n的線性碼，則Ω（LweC（X0，X1，…，Xn-1））=SweC（X0，X1，X2）.

證明 由長度重量計(jì)數(shù)器和對稱重量計(jì)數(shù)器的定義及（3）式，可得

引理2.7設(shè)C=vC1-v⊕（1-v）Cv是R上碼長為n的線性碼，則

證明設(shè)c=（c0，c1，…，cn-1）=a+b∈C，其中

下面對碼長l進(jìn)行歸納.

1）當(dāng)l=1時(shí)，由c=a+b∈C，其中

則由（1）和（5）式可知