一種新型指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計方法及其應(yīng)用

左 凱

（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都611130）

統(tǒng)計資料表明，大量社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展主要是漸進型的，其發(fā)展相對于時間具有一定的規(guī)律性［1-2］.趨勢外推法是事物發(fā)展?jié)u進過程的一種統(tǒng)計方法，主要優(yōu)點是可以揭示事物未來的發(fā)展，并定量地估計其功能特性，常見的趨勢外推統(tǒng)計模型有多項式曲線預(yù)測模型、指數(shù)曲線模型、對數(shù)曲線預(yù)測模型和生長曲線預(yù)測模型.如果社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展趨勢每期基本上按照相同的增長速度變化，則可采用指數(shù)曲線模型進行擬合；如果社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為初期增長迅速，隨后增長率逐漸減低，最終以一個常數(shù)為增長極限時，則可采用修正指數(shù)曲線模型進行擬合.

楊桂元［3］根據(jù)指數(shù)曲線預(yù)測模型的特點，對模型的假設(shè)、參數(shù)估計、擬合誤差以及無偏性等問題進行了討論，并與經(jīng)典的線性回歸模型進行了比對.高燕希等［4］根據(jù)現(xiàn)有指數(shù)曲線模型計算方法的應(yīng)用特點，對其計算過程進行了優(yōu)化，并以湖南省岳陽市進港道路為例，分析路面沉降的變化規(guī)律.官陳平等［5］利用2004—2010年福州市細菌性疾病的發(fā)病率建立指數(shù)曲線方程，并進行外推5 a預(yù)測，取得了較為準確的計算結(jié)果.程健等［6］利用指數(shù)曲線法研究了在役儲罐發(fā)生不均勻沉降后的結(jié)構(gòu)疲勞安全性問題.最近，左凱等［7］研究了具有時間一次項的指數(shù)曲線模型，采用分段求和的思想方法給出了模型各個參數(shù)的具體表達式，并通過一個例子詳細地給出了求解的具體步驟.2009年，吳新燕等［8］采用修正指數(shù)曲線模型對汶川地震各時刻的死亡人數(shù)進行擬合，并與指數(shù)曲線模型進行比較，同時又用集集地震和阪神地震的數(shù)據(jù)進行了驗證.計算結(jié)果表明，修正指數(shù)曲線模型能夠很好地對地震死亡人數(shù)進行估計，從而為各級抗震救災(zāi)指揮部提供救災(zāi)決策參考依據(jù).

歐陽明等［9］在對已有的數(shù)學(xué)模型預(yù)測方法進行分析，并將指數(shù)曲線模型按照一定的修正方法進行優(yōu)化的基礎(chǔ)上，提出了一個新的修正指數(shù)曲線模型.通過對不同類型的單樁靜載荷試驗數(shù)據(jù)進行擬合，驗證了提出的新模型能夠?qū)螛禤-S曲線進行很好地描述.譚生源［10］在修正指數(shù)曲線模型的基礎(chǔ)上提出了具有振蕩項的修正指數(shù)曲線模型.針對模型本身的特點，采用最小二乘法給出了系統(tǒng)參數(shù)滿足的最優(yōu)化問題，并結(jié)合Matlab軟件包求解出系統(tǒng)參數(shù)的具體取值.最后，將模型應(yīng)用在一次能源消費分析中.最近，張萍等［11］結(jié)合指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型的特點，提出了具有時間冪次項的指數(shù)曲線模型，利用信賴域算法給出了模型參數(shù)的數(shù)值求解方法，并將其應(yīng)用在西藏自治區(qū)水資源總量的分析中.

但是，值得注意的是，文獻［10-11］并沒有給出模型參數(shù)的具體表達式，而是通過數(shù)值計算方法給出模型參數(shù)的計算方法.本文在經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正的指數(shù)曲線模型和文獻［7，10-11］的啟發(fā)下，提出了具有二次多項式項的新型指數(shù)曲線模型，并采用分段求和的方法給出了模型各個參數(shù)的具體表達式.最后，以我國稻谷產(chǎn)量為例，將數(shù)值計算結(jié)果與指數(shù)曲線模型、修正的指數(shù)曲線模型進行對比.從結(jié)果上可以明顯看出，本文提出的模型具有更高的精度和準確度.

1 指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型

1.1 指數(shù)曲線模型由文獻［1-2］可知，經(jīng)典的指數(shù)曲線模型為

為了估計參數(shù)a、b的表達式，一般將方程（1）兩端取對數(shù)，得

從而估計出參數(shù)lna和lnb，再取反對數(shù)，即可得到參數(shù)a、b的估計值.

1.2 修正指數(shù)曲線模型由文獻［1-2］可知，在經(jīng)典指數(shù)曲線模型的基礎(chǔ)上增加一個常數(shù)c，即得到修正指數(shù)曲線模型的表達式

其中，a、b、c為未知參數(shù)，a≠0，b∈（0，1）∪（1，∞），c∈（0，∞）.

參數(shù)a、b、c估計的基本思想是三和法：把整個原始序列分成相等的3個數(shù)組，每個組有m項，根據(jù)趨勢值Y（t）的3個局部總和分別等于原數(shù)列觀察值3個局部總和來確定3個參數(shù).具體設(shè)觀察值的3個局部總和分別為得：

2 帶二次多項式項的新型指數(shù)曲線模型

在經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型上，本文提出了具有二次多項式項的指數(shù)曲線模型，其一般方程為

可以看出，當(dāng)p=0、q=0、r=0時，新型指數(shù)曲線模型退化為經(jīng)典指數(shù)曲線模型；當(dāng)p=0、q=0時，新型指數(shù)曲線模型退化為修正指數(shù)曲線模型.

接下來，利用分段求和法的思想推導(dǎo)系統(tǒng)中參數(shù)a、b、p、q、r的具體表達式.首先，把用于建模的數(shù)據(jù)分成相等的5組，每組有m項，根據(jù)趨勢值Y（t）的5個局部和分別等于原序列的5個局部和來確定模型的參數(shù).具體為設(shè)觀察值的5個局部和分別為S1、S2、S3、S4、S5，得到：

通過對方程（22）和（23）求解，并結(jié)合表達式（10）（15）（19）得到

至此，通過分段求和的方法得到了模型各個參數(shù)的具體表達式，一旦給定原始序列的具體取值，則可建立具體的模型并進行擬合和預(yù)測.

3 具體應(yīng)用

3.1 模型精度判斷準則在具體應(yīng)用之前，給出衡量模型精確的幾個度量指標，分別是絕對百分誤差（APE）、平均絕對誤差（MAE）、平均絕對百分誤差（MAPE）和希爾統(tǒng)計量（TIC）.

在（26）式中，當(dāng)l=2，v=5m，MAE為擬合誤差，記為MAEfit；當(dāng)l=5m+1，v=n，MAE為預(yù)測誤差，記為MAEfore；當(dāng)l=2，v=n，MAE為總誤差，記為MAEtotal，表達式中＾Y（t）為計算得到的值，5m為用于建模的個數(shù)，n為原始序列的總個數(shù).

3.2 對中國稻谷產(chǎn)量的分析使用2002—2018年共17 a的我國稻谷產(chǎn)量（萬t）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行研究.首先，以2002—2016年共15 a的數(shù)據(jù)進行模型的建立，2017—2018年的數(shù)據(jù)進行驗證，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入分別得到3種模型的具體表達式為：

1）指數(shù)曲線模型

經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型、二次多項式項的指數(shù)曲線模型的數(shù)值計算結(jié)果見表1、表2.從計算結(jié)果看出，二次多項式項的指數(shù)曲線模型的值與真實的數(shù)據(jù)更接近.從平均絕對百分誤差看到：指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為26.887 3%、47.013 8%和29.403 1%；修正指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為1.154 0%、1.983 0%和1.257 6%；新型指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為1.115 3%、0.142 7%和0.993 7%.可以明顯看出，新提出的模型在稻谷產(chǎn)量中比經(jīng)典指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型有更高的精度.

表1 指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型和新型指數(shù)曲線模型對稻谷產(chǎn)量數(shù)據(jù)的計算結(jié)果Tab.1 Calculations of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

表2 指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型和新型指數(shù)曲線模型對稻谷產(chǎn)量數(shù)據(jù)的計算誤差Tab.2 Calculational errors of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

4 結(jié)論

本文討論了帶有二次多項式項的新型指數(shù)曲線模型，并充分利用分段求和的思想給出了模型中每個參數(shù)的具體表達式.最后，以我國稻谷產(chǎn)量為例說明了本模型在某些數(shù)據(jù)下的擬合精度和預(yù)測精度比經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型都要高.

相比較傳統(tǒng)的最小二乘法或者是對數(shù)變換等方法，本文的分段求和方法思想簡單，操作性好，且能夠得到滿意的結(jié)果.在今后的研究中，將考慮此方法在其他類似模型中的應(yīng)用.

致謝成都師范學(xué)院校級重點項目（CS19ZA12）對本文給予了資助，謹致謝意.