量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息

張淑儀 席政軍

(陜西師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 西安 710062)

在經(jīng)典信息論中，Shannon互信息是刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量相互之間獨(dú)立程度的度量，在信道編碼中有很重要的應(yīng)用且給出了信道容量[1].在量子信息論中，通過(guò)von Neumann熵形式給出了互信息的基本定義(與Shannon互信息對(duì)應(yīng)，本文稱作von Neumann互信息，通常也稱作量子互信息[2]).在量子信息處理中，von Neumann互信息可以描述兩體量子態(tài)上的全部關(guān)聯(lián)[3]，也用于量子信道容量的刻畫(huà)[4-5]，并在量子資源理論中有非常好的應(yīng)用[6].von Neumann互信息可以由量子相對(duì)熵給出4種等價(jià)的定義.在量子信道容量的研究中，結(jié)合信道的n次重復(fù)使用(獨(dú)立同分布)基于量子互信息來(lái)描述信道容量.而實(shí)際中較大量子系統(tǒng)上的操作難以實(shí)現(xiàn)且獨(dú)立同分布的量子態(tài)難以制備等限制，一般考慮帶有誤差的有限情形或者one-shot情形(也就是n=1的情形).在one-shot量子信息論中，涉及到帶參數(shù)的熵，量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵就是非常重要的一類帶參數(shù)的熵.量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵來(lái)自于量子假設(shè)檢驗(yàn)，量子假設(shè)檢驗(yàn)類似于2個(gè)量子態(tài)的區(qū)分問(wèn)題.量子假設(shè)檢驗(yàn)是量子信息處理中的基本問(wèn)題[7-8]，已得到很好的發(fā)展和應(yīng)用[9-18].

文獻(xiàn)[19]在前人工作的基礎(chǔ)上集中討論了量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵，較為系統(tǒng)地研究了其性質(zhì)，給出了在one-shot經(jīng)典-量子信道容量中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[20]給出了與文獻(xiàn)[19]等價(jià)的另一個(gè)量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵，得到了與其他廣義熵之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[21]基于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵[19]定義了量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵，刻畫(huà)了具有量子邊信息的數(shù)據(jù)壓縮，得到了最小壓縮長(zhǎng)度的上下界.該文獻(xiàn)也給出了量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵和其他相對(duì)熵之間的一些關(guān)系.在量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的研究相對(duì)成熟的情形下，一個(gè)自然的問(wèn)題是：用量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵給出量子版本互信息的定義是否等價(jià)？如果不等價(jià)，是否存在序關(guān)系？本文將采用文獻(xiàn)[19]中關(guān)于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的定義，較為系統(tǒng)地研究其性質(zhì)，并討論與其他相對(duì)熵之間的關(guān)系.在Shannon互信息中，由于貝葉斯概率，容易得到條件熵和互信息的鏈?zhǔn)椒▌t，但是目前還不清楚量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵版本的互信息是否存在鏈?zhǔn)椒▌t。本文將重點(diǎn)研究基于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的互信息定義及其相應(yīng)的性質(zhì).

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

本文均使用以2為底的對(duì)數(shù).若2個(gè)隨機(jī)變量(X,Y)服從聯(lián)合分布pxy，則Shannon聯(lián)合熵定義為

可以定義一個(gè)隨機(jī)變量在給定另一隨機(jī)變量下的條件熵，即

結(jié)合貝葉斯概率公式pxy=pxpy|x，得到聯(lián)合熵和條件熵的鏈?zhǔn)椒▌t，即

H(X,Y)=H(X)+H(Y|X).

(1)

對(duì)于同一字符集上的2個(gè)概率密度函數(shù)為px和qx，它們的相對(duì)熵定義為

(2)

I(X;Y)=D(pxy‖pxpy).

(3)

Shannon互信息刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)變量包含另一個(gè)隨機(jī)變量的信息量，也描述已知另一隨機(jī)變量所含有的信息量下原隨機(jī)變量不確定度的減少量.結(jié)合Shannon熵的定義，Shannon互信息表示為

I(X;Y)=D(pxy‖pxpy)=
H(X)+H(Y)-H(X,Y)=
H(X)-H(X|Y)=
H(Y)-H(Y|X).

(4)

這里，I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)和I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)這2個(gè)等式是雙隨機(jī)變量互信息的鏈?zhǔn)椒▌t.

因?yàn)榱孔恿W(xué)中并沒(méi)有與在不同時(shí)間變量的2個(gè)變量的聯(lián)合概率分布類似的概念[2-3]，從而對(duì)于兩體量子態(tài)ρAB，并沒(méi)有類似于pxy=pxpy|x的量子態(tài)表示形式，即ρAB≠ρA?ρB|A，其中ρA=trB(ρA)是約化密度算子，類似于邊際概率分布.算子ρB|A并不是條件量子態(tài)，甚至不是量子態(tài).因此，沒(méi)有類似于Shannon條件熵的量子條件熵的直接定義.結(jié)合鏈?zhǔn)椒▌t(1)，對(duì)于任意的兩體量子態(tài)ρAB，基于子系統(tǒng)B的von Neumann條件熵定義為

S(A|B)=S(ρAB)-S(ρB).

(5)

顯然，量子信息論中的von Neumann條件熵只是在形式上類似于經(jīng)典信息論中的Shannon條件熵，在本質(zhì)上它們之間有很大的區(qū)別，比如：當(dāng)兩體量子態(tài)為糾纏態(tài)時(shí)，S(A|B)<0.這說(shuō)明von Neumann條件熵可以為負(fù).von Neumann互信息定義為

I(A:B)=S(ρA)+S(ρB)-S(ρAB).

(6)

von Neumann條件熵和互信息在形式上都與Shannon條件熵和互信息保持一致.特別地，von Neumann互信息也有等式組(4)表示，具體討論在第3節(jié).

2 量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵

量子假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題涉及2個(gè)假設(shè)：

1)零假設(shè)(null hypothesis)H0:ρ?n，

2)備則假設(shè)(alternative hypothesis)H1:σ?n，

其中ρ?n=ρ?…?ρ和σ?n=σ?…?σ表示量子態(tài)的n次獨(dú)立同分布(independent and identically distributed,i.i.d.)的拷貝態(tài).需要解決的問(wèn)題是基于量子測(cè)量結(jié)果確定哪一個(gè)假設(shè)是真的.量子測(cè)量由一個(gè)POVM(positive operator valued measure,POVM)來(lái)描述.本文僅考慮二值的POVM，相應(yīng)的測(cè)量算子元為Mn和In-Mn，分別對(duì)應(yīng)假設(shè)H0和H1的接受，從而產(chǎn)生2類誤差概率：

αn(Mn)=tr((In-Mn)ρ?n),
βn(Mn)=tr(Mnσ?n),

其中,α(M)是當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)接受假設(shè)H1的概率，β(M)是當(dāng)假設(shè)H1為真時(shí)接受H0的概率.類似于經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，通常希望同時(shí)最小化這2類概率，但是它們之間存在均衡關(guān)系.一般情況下，約束其中一個(gè)誤差概率而對(duì)另一個(gè)進(jìn)行最小化.若第1類誤差概率被限制在很小的參數(shù)ε∈(0,1)內(nèi)，討論第2類誤差概率的最小化，量子Stein’s引理給出了漸近情形下關(guān)于誤差概率的最佳可達(dá)誤差指數(shù)[8-9]，即

在非漸近情形下，對(duì)第1類誤差概率限制下第2類誤差概率的變化趨勢(shì)是由量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵來(lái)描述的.本文后面的討論僅考慮單次拷貝的情形，且采用文獻(xiàn)[19]中量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的定義.

(7)

(8)

類似于von Neumann熵，該量化可以看做是量子假設(shè)檢驗(yàn)熵.

量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵滿足數(shù)據(jù)處理不等式，也就是量子操作不會(huì)引起量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵增加[19,22]，即對(duì)于任意的量子操作Λ都有

進(jìn)一步地，如果考慮n次獨(dú)立同分布的情形，當(dāng)n充分大時(shí)，量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵等于量子相對(duì)熵[18]，也就是漸近均分性(asymptotic equipartition property,AEP)，即

(9)

結(jié)合文獻(xiàn)[20]的方法，基于定義1，使用von Neumann相對(duì)熵容易給出量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的一個(gè)上界，即

(10)

其中Hb(ε)=-εlb(ε)-(1-ε)lb(1-ε)為二元Shannon熵.

量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵依賴于參數(shù)ε，量子態(tài)的ε-鄰域發(fā)生變化，有可能導(dǎo)致量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵發(fā)生變化.通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得性質(zhì)1～4.

性質(zhì)1.

(11)

b.設(shè)ε1,ε2∈[0,1]，且ε1<ε2，有

(12)

該結(jié)果的詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)[22]不等式(11)表明：隨著備擇假設(shè)的增強(qiáng)，第2類誤差概率變大.而不等式(12)表明：誤差參數(shù)的越小限制，第2類誤差概率反而變大.性質(zhì)1給出了備擇假設(shè)的變化引起的第2類誤差概率的變化，結(jié)合文獻(xiàn)[20]的結(jié)果，容易給出零假設(shè)的微小變化和參數(shù)變化共同引起第2類誤差概率的變化情形.

(13)

及

(14)

其中，δ∈(0,1-ε).

從定義1可知，量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵本質(zhì)上就是一個(gè)期望值，通過(guò)零假設(shè)的一些特定限制，可以直接估算量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的界.文獻(xiàn)[23]首先給出了這方面的討論.

性質(zhì)3.設(shè)ρ為任意滿秩態(tài)，σ為任意量子態(tài)，且0≤ε<λmin(ρ)，有

(15)

其中，λmin(ρ)是量子態(tài)ρ的最小特征值.

性質(zhì)3僅是針對(duì)零假設(shè)為滿秩態(tài)的情形，性質(zhì)4給出一般量子態(tài)的情形.

(16)

其中，λi(ρ)為ρ的特征值.

結(jié)合不等式tr(Mρ)≥1-ε，有

從而可得

則可以得到

從而命題得證.

證畢.

3 量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵和互信息

在經(jīng)典信息論中，對(duì)于聯(lián)合概率分布，依賴于貝葉斯概率，得到條件熵等于聯(lián)合熵與其中一個(gè)邊際分布熵的差，也就是條件熵鏈?zhǔn)椒▌t(1).在量子信息論中，并不存在條件量子態(tài)，從而不能直接推廣經(jīng)典條件熵的定義.如果考慮條件量子態(tài)，只能基于某一個(gè)子系統(tǒng)上的測(cè)量獲得另一個(gè)子系統(tǒng)上的量子態(tài).但是兩體量子態(tài)的局部進(jìn)行測(cè)量后整體量子態(tài)會(huì)發(fā)生改變，測(cè)量前后的狀態(tài)可能并不相同.依賴于測(cè)量得到的條件量子熵一般并不等于von Neumann條件熵(5).研究發(fā)現(xiàn)它們的差正好能刻畫(huà)復(fù)合量子系統(tǒng)上子系統(tǒng)之間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)[3].本節(jié)重點(diǎn)討論von Neumann條件熵的形式，不涉及測(cè)量.

量子條件熵可以通過(guò)量子相對(duì)熵來(lái)表示[5,21].對(duì)于兩體量子態(tài)ρAB和次歸一化態(tài)IA?σB，它們的von Neumann相對(duì)熵為

S(ρAB‖IA?σB)=
-S(ρAB)-tr[ρABlb(IA?σB)]=
-S(ρAB)+S(ρB)+S(ρB‖σB).

(17)

由于本文采用次歸一化態(tài)，從而von Neumann條件熵的相對(duì)熵表示與文獻(xiàn)[1]的表述略有不一致.以該表示為標(biāo)準(zhǔn)形式，可以方便討論量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵性質(zhì)的條件熵[19-22].

(18)

從定義2易得最優(yōu)化的過(guò)程并沒(méi)有一個(gè)精確解，即

根據(jù)Schatten ∞-范數(shù)的半正定程序[20,22]，量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵也可以表示為

(19)

其中，MB=trAMAB.顯然，并不能從等式(19)直接得到量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵的精確解，這與von Neumann條件熵并不一致.但是對(duì)于等式(19)繼續(xù)使用半正定程序易得到量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵的許多性質(zhì)以及和其他量化的關(guān)系，比如：數(shù)據(jù)處理不等式.該不等式的成立直接導(dǎo)致增加條件減小熵的結(jié)果.特別地，量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵并沒(méi)有類似于Shannon條件熵的鏈?zhǔn)椒▌t(1).

在量子信息論中，對(duì)量子系統(tǒng)上的狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量后會(huì)發(fā)生變化，測(cè)量前后的狀態(tài)無(wú)法保持一致.因此無(wú)測(cè)量的von Neumann互信息是Shannon互信息形式上的直接推廣.von Neumann互信息只是在形式上保持了Shannon互信息等價(jià)形式的一種，但在本質(zhì)還是有所不同的.結(jié)合量子相對(duì)熵可以給出von Neumann互信息的4種等價(jià)形式，有

(20)

進(jìn)而有

(21)

原問(wèn)題

s.t.0≤MAB≤IAB

tr(MABρAB)≥1-ε

對(duì)偶問(wèn)題

max(1-ε)η-tr(NAB)
s.t.ηρAB≤NAB+ρA?σB
NAB≥0,η≥0
σB≥0,tr(σB)≤1

.

(22)

從而命題得證.

證畢.

由于量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息與誤差參數(shù)有關(guān)，結(jié)合量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵性質(zhì)1直接可得量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息關(guān)于參數(shù)的序關(guān)系.對(duì)于0≤ε<ε′≤1，有

在三體量子系統(tǒng)中，對(duì)于von Neumann互信息中，丟棄一個(gè)子系統(tǒng)，互信息會(huì)減少.下面的結(jié)果證明量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的互信息也具有類似的性質(zhì).

(23)

性質(zhì)6的證明與性質(zhì)5類似.特別地，當(dāng)εA和εB均為恒等映射時(shí)，可得

(24)

該關(guān)系說(shuō)明丟棄子系統(tǒng)減少量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息.

經(jīng)典-量子態(tài)在具有量子邊信息的信源編碼中有非常重要的應(yīng)用，也對(duì)應(yīng)于經(jīng)典-信道編碼.同時(shí)，在考慮基于測(cè)量的量子條件熵時(shí)，經(jīng)典-量子態(tài)僅擁有經(jīng)典關(guān)聯(lián).結(jié)合量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵，下面討論三體經(jīng)典-量子態(tài)的情形.

其中，dX是經(jīng)典系統(tǒng)X的維數(shù).

進(jìn)而可得

類似地可以給出經(jīng)典-量子態(tài)的量子假設(shè)檢驗(yàn)條件熵的上下界，即

其中，c=|supp{px}|表示概率分布px的支集維數(shù).

下面的結(jié)果給出量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息與量子最大互信息之間的關(guān)系.

結(jié)合文獻(xiàn)[20-21]中結(jié)果，使用本文量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵的定義，通過(guò)基本的代數(shù)運(yùn)算可以完成證明.與之類似的結(jié)果，結(jié)合不等式(10)，下面的結(jié)果給出量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息和von Neumann互信息的關(guān)系，即

(25)

根據(jù)量子條件熵和量子互信息可以由量子相對(duì)熵表示，可知量子條件熵與量子互信息有量子互信息的鏈?zhǔn)疥P(guān)系，即

I(A:B)=S(ρA)+S(ρB)-S(ρAB)=
S(ρB)-S(B|A)=S(ρA)-S(A|B).

(26)

一般情況下，基于其他熵度量定義的互信息并不一定有等式(26)成立[20-21,24-25].下面討論量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息的鏈?zhǔn)疥P(guān)系.首先基于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵定義單系統(tǒng)上量子假設(shè)檢驗(yàn)最大熵.

(27)

(28)

最后通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，進(jìn)而完成命題的證明.

證畢.

在該命題的證明過(guò)程中，得到了帶限制的量子假設(shè)檢驗(yàn)熵，該熵的測(cè)量算子依賴于條件熵的最佳測(cè)量，顯然易得

另外，該命題僅給出了一個(gè)下界，但上界的證明目前還是一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題.雖然能給出互信息和條件熵的上下界，但是難以給出一個(gè)緊湊的鏈?zhǔn)疥P(guān)系.

4 總 結(jié)

在量子信息論中，基于von Neumann熵，可以得到類似于經(jīng)典信息論中Shannon熵的好多有用量化和關(guān)系，在量子信息處理中有非常重要的應(yīng)用.存在一些其他的熵在量子信息中的推廣，但并不像von Neumann熵具有良好的性質(zhì)或者關(guān)系，可關(guān)鍵是這些熵在one-shot量子信息論中有非常好的應(yīng)用，比如假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵.我們?cè)敿?xì)介紹了量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵及其相關(guān)性質(zhì)，并得到了新的上界.然后基于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵討論了條件熵，得到量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵形式的條件熵并沒(méi)有類似Shannon熵或von Neumann熵的鏈?zhǔn)疥P(guān)系，這是由于假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵或者新定義的最大熵都依賴于最優(yōu)化.由于糾纏的存在同時(shí)并不存在量子版本的貝葉斯公式.對(duì)于量子假設(shè)檢驗(yàn)相對(duì)熵，我們給出了4種不完全等價(jià)的互信息定義.結(jié)合在信息處理中常用的條件熵，主要討論了其中一類互信息，得到了一些有意思的性質(zhì)，并給出了和其他互信息之間的關(guān)系.給出了經(jīng)典-量子態(tài)的量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息的上下界，得到了量子假設(shè)檢驗(yàn)互信息類似于Shannon熵或von Neumann熵的互信息鏈?zhǔn)疥P(guān)系.