我國(guó)股票市場(chǎng)與債券市場(chǎng)的交互相關(guān)性分析

沈思敏

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京210023）

0 引言

股票和債券是金融市場(chǎng)的兩個(gè)重要資產(chǎn)類(lèi)別，在投資組合中發(fā)揮著重要的作用.隨著我國(guó)金融市場(chǎng)的蓬勃發(fā)展，單一市場(chǎng)內(nèi)存在的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不斷增加，僅擴(kuò)充單一市場(chǎng)內(nèi)的投資組合很難分散風(fēng)險(xiǎn).因此，跨市場(chǎng)配置組合投資受到市場(chǎng)投資者的關(guān)注.研究股債市場(chǎng)之間的相關(guān)性，將有助于投資者完善投資組合策略，規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)；有助于監(jiān)管者制定相關(guān)政策，確保市場(chǎng)平穩(wěn)健康發(fā)展.

基于分形市場(chǎng)理論可知，金融市場(chǎng)是一個(gè)具有分形和混沌結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)［1-5］.這使得將一些常規(guī)的統(tǒng)計(jì)分析方法應(yīng)用于市場(chǎng)分析時(shí)，可能產(chǎn)生較大偏差.因此，分形分析方法應(yīng)運(yùn)而生，其中，重標(biāo)極差分析（Rescaled Range Analysis，簡(jiǎn)稱(chēng)R/S）方法與消除趨勢(shì)波動(dòng)分析（Detrended Fluctuation Analysis，簡(jiǎn)稱(chēng)DFA）方法屬于單分形分析法，它們僅能對(duì)時(shí)間序列的整體特征進(jìn)行描述，缺乏對(duì)序列局部特征的更細(xì)致的刻畫(huà).Kantelhardt［6］對(duì)DFA方法進(jìn)行推廣得到多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，簡(jiǎn)稱(chēng)MF-DFA）方法，用于研究非平穩(wěn)時(shí)間序列的波動(dòng)特征和分形性質(zhì).目前，已有學(xué)者運(yùn)用該方法發(fā)現(xiàn)加密貨幣、原油、股票和碳排放權(quán)等金融市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)具有多重分形特征［7-10］.進(jìn)一步地，MF-DFA方法被拓展為研究?jī)蓚€(gè)時(shí)間序列之間相關(guān)關(guān)系的多重分形消除趨勢(shì)交互相關(guān)性分析（Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis，簡(jiǎn)稱(chēng)MF-DCCA）方法［11］.現(xiàn)在，MF-DCCA方法已被廣泛應(yīng)用于研究不同市場(chǎng)間交互相關(guān)關(guān)系的多重分形特征.例如，李淑萍等［12］使用MF-DCCA方法研究中國(guó)股票市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)、貨幣市場(chǎng)的交互相關(guān)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3個(gè)市場(chǎng)之間存在較強(qiáng)的交互相關(guān)性，且在小波動(dòng)下表現(xiàn)出持續(xù)性特征，在大波動(dòng)下表現(xiàn)出反持續(xù)性特征.張茂軍等［13］運(yùn)用MF-DCCA方法研究美國(guó)股債市場(chǎng)的交互相關(guān)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在小波動(dòng)情形下，交互相關(guān)性表現(xiàn)為弱持續(xù)性，而在大波動(dòng)情形下，交互相關(guān)性是反持續(xù)性的，并且突發(fā)事件會(huì)對(duì)相關(guān)關(guān)系產(chǎn)生影響.Ghazani等［14］采用MF-DCCA方法研究3種主要加密貨幣與一些知名原油市場(chǎng)之間的交互相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)每對(duì)時(shí)間序列之間均具有顯著的交互相關(guān)性.

近些年來(lái)，隨著中國(guó)股票市場(chǎng)與債券市場(chǎng)的迅猛發(fā)展，兩個(gè)市場(chǎng)之間的關(guān)系變得愈加緊密與復(fù)雜.為了更深入地了解兩個(gè)市場(chǎng)之間相互關(guān)系的復(fù)雜特征，揭示跨市場(chǎng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)大小，本文以滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)與上證企債指數(shù)為研究對(duì)象，運(yùn)用MF-DCCA等多重分形分析方法，實(shí)證研究我國(guó)股債市場(chǎng)間的交互相關(guān)性，尋找風(fēng)險(xiǎn)最小、收益最大的投資組合，為市場(chǎng)投資者與市場(chǎng)監(jiān)管者提供科學(xué)有效的決策參考.

1 多重分形分析方法描述

MF-DCCA方法的算法步驟如下：給定兩個(gè)長(zhǎng)度均為N的時(shí)間序列

第3步：采用最小二乘法擬合這2Ns個(gè)子序列的局部趨勢(shì)，分別得到X(i)和Y(i)在第v個(gè)子序列中的擬合多項(xiàng)式并利用其消除局部趨勢(shì)，得到協(xié)方差：

第5步：如果兩個(gè)序列之間存在冪律交互相關(guān)關(guān)系，則有下列關(guān)系式：

其中標(biāo)度指數(shù)hxy(q)稱(chēng)為廣義交互相關(guān)指數(shù)，它可用于描述兩個(gè)時(shí)間序列之間交互關(guān)系的特征.

如果hxy(q)與q相關(guān)，表明兩個(gè)序列之間的交互相關(guān)性是多重分形的，否則是單分形的.當(dāng)hxy(q)＞0.5時(shí)，兩個(gè)序列之間的交互相關(guān)性是持續(xù)的，隱含著當(dāng)一個(gè)序列增加（下降）時(shí)，另一個(gè)序列也隨之增加（下降）；當(dāng)hxy(q)＜0.5時(shí)，兩個(gè)序列之間的交互相關(guān)性是反持續(xù)的，隱含著當(dāng)一個(gè)序列增加（下降）時(shí)，另一個(gè)序列反而下降（增加）；當(dāng)hxy(q)=0.5時(shí)，表明兩個(gè)序列之間沒(méi)有交互相關(guān)性或至多短程交互相關(guān).此外，對(duì)應(yīng)于q的正負(fù)，hxy(q)分別描述小波動(dòng)和大波動(dòng)下的標(biāo)度行為.

Shadkhoo等［15］給出兩個(gè)交互相關(guān)序列的Renyi指數(shù)τxy(q)與hxy(q)之間的關(guān)系：τxy(q)=qhxy(q)-1.

如果τxy(q)對(duì)q是非線性的，則兩個(gè)序列的交互相關(guān)性是多重分形的，否則是單分形的.通過(guò)Legendre變換，可以得到奇異指數(shù)α和多重分形譜fxy(α)的關(guān)系如下：

在MF-DCCA方法中，Δh=max(hxy(q))-min(hxy(q))能夠描述兩個(gè)序列之間交互關(guān)系的多重分形性強(qiáng)度.Δh越大，多重分形性越強(qiáng)，投資組合中隱含的金融風(fēng)險(xiǎn)就越大.另一方面，多重分形譜寬度Δα=αmax-αmin可以反映市場(chǎng)波動(dòng)的大小，Δα越大，多重分形性越強(qiáng)，市場(chǎng)也就越動(dòng)蕩.

2 數(shù)據(jù)描述與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

滬深300指數(shù)是滬深證券交易所聯(lián)合發(fā)布的反映A股市場(chǎng)整體走勢(shì)的指數(shù)，其樣本覆蓋滬深市場(chǎng)六成左右的市值，能充分反映我國(guó)股市的運(yùn)行特征.上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)是我國(guó)債券市場(chǎng)的兩個(gè)重要指標(biāo)，能綜合反映我國(guó)債市的整體水平.因此，本文選取滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)的每日收盤(pán)價(jià)作為研究對(duì)象，樣本區(qū)間為2009年8月3日至2020年3月2日，共2 571個(gè)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來(lái)源于http：//money.163.com/）.

圖1 分別展示在樣本區(qū)間內(nèi)滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)每日收盤(pán)價(jià)的波動(dòng)形態(tài).由圖1可見(jiàn)，我國(guó)股市在2015年股災(zāi)發(fā)生時(shí)出現(xiàn)較大的波動(dòng).上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)每日收盤(pán)價(jià)走勢(shì)基本一致，在樣本區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)一路上升的趨勢(shì)，并且債市的兩個(gè)指標(biāo)在2015年前后并未出現(xiàn)較大的波動(dòng)，這說(shuō)明相較于股市，債市更穩(wěn)定.

圖1 滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)每日收盤(pán)價(jià)走勢(shì)

為了消除時(shí)間序列可能存在的異方差，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.利用公式ln(Pt+1/Pt)（Pt表示第t日的收盤(pán)指數(shù)），將3個(gè)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為日對(duì)數(shù)收益率序列.圖2給出這3個(gè)對(duì)數(shù)收益率圖.從圖2可見(jiàn)，3個(gè)收益率序列持續(xù)波動(dòng)，并且十分劇烈，均表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)聚集特征，并且股市的波動(dòng)幅度顯著地大于債市的波動(dòng)幅度.

圖2 滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率

表1 給出3個(gè)收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)量.從表1可以看出，3個(gè)收益率序列的偏度不為0，表現(xiàn)為滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)收益率序列為左偏，上證企債指數(shù)收益率序列為右偏，三者的峰度均大于3，并且J-B統(tǒng)計(jì)量在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，因此，這3個(gè)收益率序列均不服從正態(tài)分布，呈現(xiàn)出“尖峰胖尾”的特征.

表1 滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)和上證企債指數(shù)收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)量

下面運(yùn)用Podobnik等［16］提出的交互相關(guān)性檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)性.給定兩個(gè)時(shí)間序列x(i)，y(i)，i=1,2,…,N，定義交互相關(guān)函數(shù)和交互相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

圖3 給出3對(duì)指數(shù)，分別是滬深300-上證國(guó)債、滬深300-上證企債和上證國(guó)債-上證企債的交互相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Qcc(m)的雙對(duì)數(shù)圖.為了方便對(duì)照，圖3也給出卡方分布在5%的顯著性水平下的臨界值.從圖3可知，3對(duì)收益率序列的交互相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Qcc()m都比自由度為m的卡方分布的臨界值大，表明3對(duì)收益率序列之間存在交互相關(guān)關(guān)系.

圖3 Qcc(m)～m雙對(duì)數(shù)圖

3 交互相關(guān)性的多重分形分析

3.1 交互相關(guān)性的多重分形特征分析

下面運(yùn)用MF-DCCA方法和多重分形譜分析法定量研究3個(gè)收益率序列之間交互相關(guān)性的多重分形特征與強(qiáng)度.

圖4 繪制3對(duì)收益率序列的波動(dòng)函數(shù)Fxy()q,s對(duì)時(shí)間標(biāo)度s的雙對(duì)數(shù)圖.從圖4可見(jiàn)，對(duì)于不同的q值，所有曲線在大標(biāo)度下都基本呈線性關(guān)系，表明3個(gè)收益率序列之間均存在冪律交互相關(guān)關(guān)系.

圖4 3對(duì)收益率序列波動(dòng)函數(shù)的雙對(duì)數(shù)圖

表2 給出3對(duì)收益率序列的交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)對(duì)應(yīng)q從-10到10的取值情況.從表2可見(jiàn)，所有hxy(q)的值均隨q的增加而非線性減小，表明3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)性是多重分形的.當(dāng)q＞5時(shí)，滬深300-上證國(guó)債的交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)小于0.5，表明在大波動(dòng)下，滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)之間的交互相關(guān)性是反持續(xù)性的.對(duì)所有q從-10到10，滬深300-上證企債和上證國(guó)債-上證企債的交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)均大于0.5，表明這兩對(duì)指數(shù)的交互相關(guān)性是持續(xù)性的.

表2 3對(duì)收益率序列的交互相關(guān)指數(shù)hxy()q

觀察3對(duì)收益率序列的多重分形強(qiáng)度Δh，滬深300-上證國(guó)債的多重分形強(qiáng)度Δh最大，表明滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)的收益率組合隱含的金融風(fēng)險(xiǎn)最大，上證國(guó)債-上證企債的次之，而滬深300-上證企債的多重分形強(qiáng)度Δh最小，表明股票與企債的投資組合最能規(guī)避風(fēng)險(xiǎn).

圖5 繪制3對(duì)收益率序列的交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)對(duì)q的變化圖.從圖5可見(jiàn)，這些交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)隨q的增加而非線性減小，說(shuō)明3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)關(guān)系是多重分形的.這與從表2得到的結(jié)論相吻合.

圖5 3對(duì)收益率序列的hxy(q)～q圖

圖6 展示3對(duì)收益率序列的Renyi指數(shù)τxy(q)對(duì)q的變化圖.從圖6可見(jiàn)，這些Renyi指數(shù)τxy(q)隨q的增加而非線性增加，進(jìn)一步驗(yàn)證3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)關(guān)系是多重分形的.此外，滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)的Renyi指數(shù)τxy(q)～q曲線的彎曲程度最大，進(jìn)一步說(shuō)明股票與國(guó)債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最大.

圖6 3對(duì)收益率序列的τxy(q)～q圖

圖7 展示3對(duì)收益率序列的多重分形譜圖.從圖7可見(jiàn)，3對(duì)收益率序列的多重分形譜圖呈現(xiàn)單鐘峰形，也表明3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)關(guān)系是多重分形的.表3給出這3對(duì)收益率序列的多重分形譜寬度Δα的值.從Δα的值來(lái)看，滬深300-上證國(guó)債的多重分形譜寬度最大，上證國(guó)債-上證企債的次之，滬深300-上證企債的多重分形譜寬度最小，這也說(shuō)明股票與國(guó)債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最大，而股票與企債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，與前面得到的結(jié)論一致.

圖7 3對(duì)收益率序列的多重分形譜圖

3.2 多重分形性的成因分析

前面的分析已經(jīng)證實(shí)3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)關(guān)系具有多重分形特征.接下來(lái)，探究形成多重分形性的原因.現(xiàn)有的研究成果表明，形成多重分形性的原因主要有兩個(gè)，即時(shí)間序列的長(zhǎng)程相關(guān)性和胖尾分布［17］.通過(guò)對(duì)比原始序列、打亂序列和替代序列的Δh和Δα的大小，可以檢驗(yàn)長(zhǎng)程相關(guān)性與胖尾分布對(duì)多重分形性形成的影響.

圖8 和圖9分別繪制3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列和替代序列的廣義交互相關(guān)指數(shù)hxy(q)～q圖以及多重分形譜fxy(α)～α圖.表4給出3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列和替代序列的Δh和Δα的值.從圖8、圖9和表4可見(jiàn)，滬深300-上證國(guó)債的打亂序列的Δh和Δα比較接近于原始序列的Δh和Δα，而替代序列的Δh和Δα均明顯小于原始序列的Δh和Δα，表明胖尾分布是滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)之間交互相關(guān)性具有多重分形性的主要原因.滬深300-上證企債和上證國(guó)債-上證企債這兩對(duì)收益率序列的打亂序列和替代序列的Δh和Δα均與原始序列的Δh和Δα有較大差別，且替代序列的差別尤為顯著，表明長(zhǎng)程相關(guān)性和胖尾分布均是影響多重分形性的主要原因，而胖尾分布的貢獻(xiàn)更大.

圖8 3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列和替代序列的hxy(q)～q圖

圖9 3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列和替代序列的多重分形譜圖

表4 3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列和替代序列的Δh和Δα

4 結(jié)論與建議

本文研究滬深300指數(shù)、上證國(guó)債指數(shù)與上證企債指數(shù)的收益率序列之間的交互相關(guān)性.得到以下結(jié)論：首先，基于描述性統(tǒng)計(jì)量和交互相關(guān)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)3個(gè)收益率序列的分布呈現(xiàn)出“尖峰胖尾”的特征，并且3個(gè)收益率序列之間存在顯著的交互相關(guān)性.其次，運(yùn)用MF-DCCA方法和多重分形譜分析方法定量地研究3個(gè)收益率序列之間交互相關(guān)關(guān)系的復(fù)雜性特征，結(jié)果表明，3個(gè)收益率序列之間的交互相關(guān)關(guān)系具有多重分形性特征，并且滬深300指數(shù)與上證國(guó)債指數(shù)的組合收益率序列的多重分形性強(qiáng)度最大，滬深300指數(shù)與上證企債指數(shù)的組合收益率序列的多重分形性強(qiáng)度最小，表明股票與國(guó)債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最大，而股票與企債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小.最后，對(duì)比3對(duì)收益率序列的原始序列、打亂序列與替代序列的Δh和Δα，發(fā)現(xiàn)胖尾分布是形成多重分形性的主導(dǎo)性因素.

基于以上結(jié)論，本文為我國(guó)市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)與投資者提出以下幾點(diǎn)建議：1）考慮到我國(guó)股票市場(chǎng)和債券市場(chǎng)之間的交互相關(guān)性具有多重分形特征，且胖尾分布是形成多重分形性的主導(dǎo)性因素，表明投資者通常以非線性方式對(duì)信息作出反應(yīng)，即僅對(duì)累積到一定程度的信息進(jìn)行處理，這容易導(dǎo)致投資者產(chǎn)生“羊群效應(yīng)”等非理性行為，因此，投資者在進(jìn)行組合配置時(shí)不僅要收集單個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)信息，還要將我國(guó)股票、國(guó)債和企債市場(chǎng)納入一個(gè)整體框架中，綜合考慮3個(gè)市場(chǎng)中價(jià)格波動(dòng)和風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)效應(yīng)對(duì)投資組合未來(lái)收益的影響，合理構(gòu)建跨市場(chǎng)配置投資組合，分散單一市場(chǎng)內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn).2）盡管股票與企債的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，但投資者對(duì)企債市場(chǎng)興趣寥寥，這是由于我國(guó)企債市場(chǎng)發(fā)展明顯落后于國(guó)債等其他債券市場(chǎng)，且市場(chǎng)流通性差，發(fā)行品種單一等在很大程度上限制投資者的選擇.因此，相關(guān)監(jiān)管部門(mén)應(yīng)當(dāng)完善企債市場(chǎng)，加強(qiáng)市場(chǎng)流通性，吸引投資者的目光.3）市場(chǎng)監(jiān)管者應(yīng)進(jìn)一步完善信息披露機(jī)制，降低信息的不對(duì)稱(chēng)性.同時(shí)，宏觀把握金融子市場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，防范系統(tǒng)性金融風(fēng)險(xiǎn)，促進(jìn)我國(guó)金融市場(chǎng)健康、穩(wěn)定地運(yùn)行.