關(guān)于平面Ros不等式的幾點(diǎn)注記

仇恒方，梅靜芳，徐 珂

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

眾所周知，幾何不等式在研究幾何問題時(shí)扮演著一個(gè)至關(guān)重要的角色.一般地，一個(gè)幾何不等式主要描述幾何體的體積、表面積與曲率等幾何不變量之間的關(guān)系（參見文獻(xiàn)［1-3］）.根據(jù)幾何不變量的性質(zhì)，幾何不等式可分為內(nèi)在型幾何不等式與外在型幾何不等式.內(nèi)在型幾何不等式是關(guān)于面積、體積、Gauss曲率等內(nèi)在不變量的不等式，大多數(shù)幾何不等式屬于內(nèi)在型幾何不等式，例如經(jīng)典的等周不等式、Minkowski不等式等.而外在型幾何不等式是關(guān)于平均曲率積分等外在不變量的不等式，目前對(duì)外在型幾何不等式知之甚少.還有一些不等式既不屬于內(nèi)在型幾何不等式，也不屬于外在型幾何不等式，即混合型幾何不等式.例如著名的Fenchel不等式與Alexandrov-Fenchel不等式，以及下面的Ros不等式.

引理1［4］（Ros定理）設(shè)Σ為嵌入在R3中的緊致閉C2光滑曲面，Σ包含一個(gè)體積為V的區(qū)域K，如果Σ的平均曲率H恒大于零，則有不等式其中dA為Σ的體積元，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Σ為球面.

1990年，Osserman在文獻(xiàn)［4］中給出引理1的一個(gè)直觀的簡化證明.2009年，周家足在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上給出高維Ros定理的一個(gè)直觀簡明的幾何化證明.同時(shí)，在平面情形下，周家足利用賦范空間中H?lder不等式，證明了二維空間中的Ros定理.

引理2［5］（Zhou）設(shè)Γ為歐氏平面R2中的簡單光滑閉曲線，Γ所圍區(qū)域K的面積為A，s為Γ的弧長.如果Γ的曲率κ處處不為零，則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓.

稱式（1）為關(guān)于區(qū)域K的Ros等周不等式，并定義整體量為區(qū)域K的Ros虧格，記為ΔR(K).

近年來，周家足，馬磊等人對(duì)平面Ros不等式進(jìn)行不同程度的加強(qiáng)（參見文獻(xiàn)［5-10］）.本文就Γ所圍區(qū)域是凸域情形下，對(duì)Ros不等式進(jìn)行進(jìn)一步的加強(qiáng).

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹積分幾何與凸幾何分析中的一些相關(guān)概念，更多相關(guān)知識(shí)可參閱任德麟［1］，Schneider［3］等人的著作.

設(shè)K是一個(gè)平面凸域，其邊界曲線為Γ，且假定R2的原點(diǎn)O落在K的內(nèi)部.令u是一個(gè)平面單位向量，l(u)是K關(guān)于u的支撐直線，即l(u)與u垂直且與K的邊界相接觸.從O到直線l(u)的有向距離，記為h(u)，稱其為K在方向u上的Minkowski支撐函數(shù).由于u通?？梢杂蓌軸到u的有向角θ決定，即u(θ)=(cosθ,sinθ)，所以也可以用h(θ)來代替h(u).容易看到，h(θ)是一個(gè)連續(xù)的以2π為周期的函數(shù)，則Γ可用支撐函數(shù)表示如下

設(shè)κ(θ)為光滑嚴(yán)格凸曲線Γ的曲率，ρ(θ)為曲率半徑，則因此

其中s為曲線Γ的弧長.

設(shè)A為凸域K的面積，則

下面用h(θ)的Fourier級(jí)數(shù)形式來表示A.因?yàn)橐粋€(gè)給定的凸域K的支撐函數(shù)總是連續(xù)有界的，且以2π為周期，所以h(θ)可以展開成如下形式的Fourier級(jí)數(shù)，即其中關(guān)于θ求導(dǎo)可得

利用Parseval恒等式得到

結(jié)合式（2）和（3）可得

回顧凸曲線的漸屈曲線（參見文獻(xiàn)［11-12］）.曲線Γ的漸屈曲線是它的法線的包絡(luò).因此，Γ的漸屈曲線的廣義支撐函數(shù)為（參見文獻(xiàn)［11-12］）.若Ae表示Γ的漸屈曲線所圍成的代數(shù)面積，則

接下來，回顧另外一種曲線，即凸曲線的垂足曲線（參見文獻(xiàn)［11-12］）.設(shè)Γ~是Γ的垂足曲線，即Γ~在方向u(θ)上的徑向距離恰好等于Γ在方向u(θ)上的支撐函數(shù)h(θ).因此，得到Γ的垂足曲線在極坐標(biāo)下的參數(shù)方程為r=h(θ).故垂足曲線所圍成的面積為再次利用h(θ)的Fourier展開式可以得到

下面考慮一條凸曲線的Wigner焦散線.設(shè)Γ是一條凸曲線，p,q是Γ上的兩點(diǎn).若分別過p,q的Γ的支撐線互相平行，則稱p,q為Γ的一組平行對(duì).定義其中p,q∈Γ是一組平行對(duì)} 為Γ的Wigner焦散線（參見文獻(xiàn)［11-12］）.經(jīng)過簡單的計(jì)算可知，Γ的Wigner焦散線的支撐函數(shù)為若用Aω表示Γ的Wigner焦散線的面積，則

進(jìn)一步，得到

令

稱以s(K)為圓心，以為半徑的圓盤為K的Steiner圓盤，記為S(K)，并稱s(K)為K的Steiner點(diǎn)（參見文獻(xiàn)［3，13-14］）.因此，由h(θ)的Fourier級(jí)數(shù)知s(K)=(a1,b1).

設(shè)K和L是平面上支撐函數(shù)分別為h(K,θ)和h(L,θ)的凸域，K和L的Hausdorff度量定義為

文獻(xiàn)［3，13-14］還提出其他關(guān)于K和L的偏差度量，如L2度量，其定義為

顯然，h(K,L)=0（或h2(K,L)=0）當(dāng)且僅當(dāng)K=L.

利用Parseval恒等式，K與K的Steiner圓盤S(K)之間的L2度量為

2 主要結(jié)果

記ω為從P到?K的視角，dP為面積測度.當(dāng)n＞1時(shí)，文獻(xiàn)［11-12］中有

文獻(xiàn)［15］還證明式（10）的另一種等價(jià)表示，即

例如，當(dāng)n=2時(shí)，

進(jìn)一步，有Crofton公式（參見文獻(xiàn)［11-12，15］）

定理1設(shè)K為平面上C2類的光滑閉凸曲線Γ所圍成的凸域，記A為K的面積，ΔR(K)和Aω分別為凸域K的Ros虧格和Γ的Wigner焦散線的面積，則

其中Ae為Γ的漸屈曲線所圍成的代數(shù)面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K的支撐函數(shù)形式為

證明由式（4）和（5）可得

從而，

進(jìn)一步，由式（8）（12）和（13）得到

即定理1中不等式（14）成立.

由式（16）和（17）可以看到定理1中等號(hào)成立的充要條件為an=bn=0,n≥3.

注1由式（17）易看到定理1中ΔR(K)的下界是非負(fù)的.

定理2設(shè)K為平面上C2類的光滑閉凸曲線Γ所圍成的凸域，記A為K的面積，ΔR(K)和Aω分別為凸域K的Ros虧格和Γ的Wigner焦散線的面積，則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K的支撐函數(shù)形式為

證明由式（8）和（15）可得

從而,

即定理2中不等式（18）成立.

由式（19）可以看到定理4中等號(hào)成立的充要條件是：an=bn=0,n≥4.

注2由式（19）易看出定理4中ΔR(K)的下界是非負(fù)的.

定理3設(shè)K為平面上C2類的光滑閉凸曲線Γ所圍成的凸域，記A為K的面積，ΔR(K)和分別為凸域K的Ros虧格和Γ的垂足曲線的面積，則

其中h2(K)為K與K的Steiner圓盤S(K)之間的L2度量，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K的支撐函數(shù)形式為

證明首先，把Steiner點(diǎn)(a1,b1)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由式（5）（7）和（15）可得

從而，

進(jìn)一步，由式（9）（12）和（13）得到

即定理3中不等式（20）成立.

由式（21）可以看出定理3中等號(hào)成立的充要條件為an=bn=0,n≥4.

注3由式（21）易看出定理5中ΔR(K)的下界是非負(fù)的.

3 結(jié)論

文章在周家足等研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)平面Ros不等式進(jìn)行研究.首先用Fourier級(jí)數(shù)形式來表示Ros虧格，然后經(jīng)過簡單的計(jì)算，對(duì)Ros虧格的下界進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而得到它的一些非負(fù)下界，最后把這些非負(fù)下界分別用垂足曲線的面積、Wigner焦散線的面積及L2度量等表示，并得到相應(yīng)形式Ros虧格的下界.