奇異積分算子在加權(quán)調(diào)幅空間上的有界性

劉慧慧，唐 劍

（阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽236037）

0 引言

基于時(shí)-頻分析的基本工具——短時(shí)Fouier變換，F(xiàn)eichtinger在文獻(xiàn)［1-2］中率先給出調(diào)幅空間Mp,q(p,q∈[1,∞])的概念，該空間也被稱為Feichtinger函數(shù)空間.之后，Kobayashi［3］將Feichtinger的經(jīng)典定義推廣到一般的0＜p,q≤∞情形.近年來，調(diào)幅空間已成為調(diào)和分析及方程理論研究中的重要函數(shù)空間，不僅被廣泛應(yīng)用于研究奇異積分算子、Fourier乘子、H?rmander乘子、么模Fourier乘子及擬微分算子的有界性等調(diào)和問題，還被應(yīng)用于討論非線性Schr?dinger方程、非線性熱方程等偏微分方程解的適定性等問題.關(guān)于該空間更多的應(yīng)用，讀者可見文獻(xiàn)［4-14］.

沿曲線的奇異積分算子的有界性問題，多年來吸引眾多學(xué)者的關(guān)注.Zielinski在其博士論文［15］中討論如下定義的沿曲線的強(qiáng)奇異積分算子在Lp上的有界性問題，并得到當(dāng)曲線γ(t)=t2時(shí)，算子Ta,b

在L2(R2)上有界的充要條件是b≥3a.文獻(xiàn)［16］改進(jìn)上述結(jié)果，證明對(duì)更一般的曲線γ(t)=|t|k或sgn(t)|t|k(k≥2)，當(dāng)b＞3a＞0時(shí)，算子Ta,b在Lp(R2)上有界，其中指標(biāo)p滿足此外，還證明算子Ta,b在L2(R2)上有界的等價(jià)條件為b≥3a.

受文獻(xiàn)［16］的啟發(fā)，文獻(xiàn)［17］討論算子Ta,b在加權(quán)調(diào)幅空間上的有界性.證明當(dāng)b≥3a且或時(shí)，算子Ta,b在空間上有界，其中1≤p≤∞,0＜q≤∞且s∈R.利用函數(shù)分解及振蕩積分估計(jì)，本文首先對(duì)0＜p＜1的情形進(jìn)行補(bǔ)充，得到對(duì)于0＜p＜1,0＜q≤∞且s∈R，算子Ta,b在空間上有界，詳見下文定理1.

綜合文獻(xiàn)［17］的結(jié)果及定理1可見，調(diào)幅空間中指標(biāo)p的取值范圍明顯大于其在Lp中的取值范圍，表明在討論沿曲線的奇異積分算子的有界性問題上，調(diào)幅空間比Lebesgue空間更合適.此外，調(diào)幅函數(shù)空間也更適合在其上研究沿曲面的奇異積分算子的有界性問題.如Cheng等在文獻(xiàn)［18］中對(duì)如下定義的沿齊次超曲面的強(qiáng)奇異積分算子

文中使用C表示任一正常數(shù)，其在不同位置取值可能不同，但均與主要變量無關(guān).

1 預(yù)備知識(shí)及關(guān)鍵引理

記S(Rn)為Schwartz函數(shù)空間且S′(Rn)為其對(duì)偶空間.對(duì)于定義在S(Rn)上的函數(shù)f，其Fourier變換定義為f∧(ω)=∫f(t)e-2πiω·tdt，F(xiàn)ourier反演變換定義為f∨(t)=f∧(-t).函數(shù)f的平移算子及調(diào)幅算子分別定義為Tx f(t)=f(t-x)和Mω f(t)=e2πiω·t f(t)，其中x,ω∈Rn.

設(shè)函數(shù)g∈S(Rn)非零且1≤p,q≤∞,s∈R，加權(quán)調(diào)幅函數(shù)空間為關(guān)于范數(shù)

定義1［3］給定非零函數(shù)g∈Φα(Rn)及0＜p,q≤∞,s∈R.調(diào)幅空間定義為全體關(guān)于范數(shù)

有限的Schwartz函數(shù)f構(gòu)成的集合.對(duì)于p或q=∞，需將Lp或Lq范數(shù)替換為本性上確界L∞.

引理1［19］設(shè)0＜p,q≤∞且g∈Φα(Rn)，則

（1）不同的測試函數(shù)g1,g2∈Φα(Rn)定義的空間Mp,q s(Rn)具有等價(jià)擬范數(shù)；

（2）若0＜p0≤p1≤∞且0＜q0≤q1≤∞,s∈R，則嵌入到

（3）當(dāng)0＜p,q＜∞時(shí)，Schwartz函數(shù)空間S(Rn)在調(diào)幅空間中稠密.

為證本文主要結(jié)果，需要以下定義的Wiener共合空間W(?Lp,L∞)(Rn).

定義2設(shè)g∈Φα(Rn)且0＜p＜∞.Wiener共合空間W(?Lp,L∞)(Rn)定義為所有關(guān)于范數(shù)

有限的緩增廣義函數(shù)f∈S′(Rn)組成的函數(shù)集合.

引理2［10］設(shè)0＜p＜∞且定義函數(shù)空間則

引理3［20］當(dāng)0＜p＜1,0＜q≤∞且s∈R時(shí)，如果σ∈W(?Lp,L∞)，則定義為

的乘子算子σ(D)在加權(quán)調(diào)幅函數(shù)空間上有界.

引理4［21］設(shè)定義在區(qū)間(a,b)上的實(shí)值函數(shù)φ(t),φ(t)是光滑的且k∈N.若對(duì)任意的t∈(a,b)，φ(t)滿足且

（i）k≥2，或者

（ii）k=1且φ′(t)為區(qū)間(a,b)上的單調(diào)函數(shù)時(shí)，則有數(shù)Ck獨(dú)立于φ和λ的選取.

2主要結(jié)果及其證明

定理1當(dāng)k∈N且b＞3a時(shí)，若這里的常上有界，其中0＜p＜1,0＜q≤∞且s∈R.

證明通過對(duì)算子做Fourier變換，得，則由式（1）定義的算子Ta,b在加權(quán)調(diào)幅空間

因此，可將算子Ta,b寫成其中Fourier乘子可整理為

當(dāng)k≤2時(shí)，對(duì)任意的其，函數(shù)φ(t)的三階導(dǎo)數(shù)滿足理4可得由引從而對(duì)任意的

對(duì)于k＞2的情形，下面分k≥b+4和k＜b+4兩種情形來討論.選取正常數(shù)μ1,μ2,δ使得μ1,μ2＞δ.若k≥b+4，記k-2=(b+1)(1+μ1)；若k＜b+4，則記b+2=(k-2)(1+μ1).再令c1,c2為2個(gè)正常數(shù)且滿足下面分別考慮3種情形.

基于關(guān)于正常數(shù)的假定，此情形的估計(jì)將被分成如下2種子情形來考慮.

綜合3種情形，當(dāng)b＞3a時(shí)，均有成立，證畢.

定理2設(shè)函數(shù)h(y)為Rn-1上的實(shí)值有界、徑向函數(shù)，且在[0,∞)上幾乎處處可微.定義在Rn-1上的函數(shù)Ω是零次齊次的且Ω∈L1(Sn-1).若幅空間且b＞3a時(shí)，由式（2）定義的算子T*在加權(quán)調(diào)上有界，其中0＜p＜1,0＜q≤∞且s∈R.

證明根據(jù)Fourier變換，可將算子T*f寫成其中η∈Rn-1,ηn∈R且乘子為

由 引 理3，只 需 證m*(η,ηn)∈W(?Lp,L∞).若 記γ′=(γ,γn)∈Nn-1×N，則 只 需 證 對(duì) 所 有 的，函數(shù)?γ′m*(η,ηn)的L∞范數(shù)是有限的.利用極坐標(biāo)變換可得

當(dāng)k≤2時(shí)，對(duì)任意的，有由Van der Corput引理計(jì)算可得從而對(duì)b＞3a，有

若k＞2，其證明可類似定理1的證明進(jìn)行處理，對(duì)任意的仍成立

3小結(jié)

基于奇異積分算子Ta,b的Lp有界性及其在一般調(diào)幅函數(shù)空間上的映射性質(zhì)，本文通過函數(shù)分解結(jié)合振蕩估計(jì)得到該算子在加權(quán)調(diào)幅空間上的有界性，對(duì)已有結(jié)果進(jìn)行一定的補(bǔ)充,并類似得到高維情況下一類沿齊次曲面的奇異積分算子T*在加權(quán)調(diào)幅空間的有界性.綜合已有結(jié)果可見，調(diào)幅函數(shù)空間在一定程度上可以作為經(jīng)典Lebesgue函數(shù)空間的良好替代.