線性過程方差變點估計的相合性及收斂速度

董三英，魏岳嵩，張婷婷

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

在統(tǒng)計學(xué)中，變點問題自20世紀70年代以來一直是一個熱點課題.變點是指在一個序列或過程中，在某個未知時刻序列或過程的某個統(tǒng)計特性發(fā)生變化.變點問題的統(tǒng)計推斷就是依據(jù)具體的背景，對這個未知的時刻做出估計，并對估計量的性質(zhì)進行統(tǒng)計分析.

由于方差在統(tǒng)計應(yīng)用中被解釋為一種風(fēng)險，它被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟及金融等領(lǐng)域.序列方差中發(fā)生變化點的時刻在文獻中得到相當多的關(guān)注.例如，Inclan等［1］利用累積平方和的方法檢測不相關(guān)序列中方差的多重變化.Gombay等［2］利用累積和（CUSUM）統(tǒng)計量檢測和估計獨立序列中的方差變化.Wichen等［3］開發(fā)自回歸模型方差變點的迭代似然估計.文獻［4］研究線性過程中方差變點的比率檢驗.Berkes等［5］提出一種CUSUM檢測來檢測線性過程的協(xié)方差結(jié)構(gòu)的變化.Shi［6］分析基于觀測和的CUSUM估計量的強收斂性.秦瑞兵等［8］針對線性過程給出強相合估計，并給出收斂速度是關(guān)于n的函數(shù).秦瑞兵［9］針對線性過程方差變點比率檢驗存在勢過低的情況提出新的檢驗統(tǒng)計量.趙文芝［10］構(gòu)造CUSUM型統(tǒng)計量研究相依序列均值方差同時存在變點的估計問題.

本文研究線性過程模型方差變點的相合性，并且給出它的強弱收斂速度.相較于文獻［8］，本文對線性過程模型的統(tǒng)計量做出一些改變，文獻［8］只給出強相合性，并沒有給出收斂速度，本文增加基于該CUSUM型統(tǒng)計量對模型做出一些分析，得到更一般形式的相合性及其收斂速度.

1 模型及假設(shè)

假設(shè)Y1,Y2,…,Yn為一列線性過程的隨機變量序列，且滿足

其中：μ,σ1,σ2都是參數(shù)，且σ1≠σ2.τ0=k0/n是一個變點，ei是一個MA(∞)過程，其表達形式為

為研究CUSUM估計量的強弱收斂性質(zhì)，首先給出以下假設(shè)

（A）ζk,k=1,2,…的均值為0，方差為1；成立.

（C）對于任意的k，有

2 主要結(jié)論

當已知μ時，不失一般性，假設(shè)μ=0，對于模型（1），在通過檢驗或事先知道線性過程隨機變量序列存在變點的條件下，用基于CUSUM統(tǒng)計量的方法估計變點τ0和k0，其CUSUM估計為

其中

γ為滿足條件0≤γ＜1的參數(shù).

引理1［11］令Y1,Y2,…,Yn為隨機變量序列，A1,A2,…,An為σ代數(shù).假設(shè)Yj是適應(yīng)于Aj的(j=1,2,…,n)，且對于1≤j≤n，其中Y0=0，同時對于每一個j有0≤aj≤1，令常數(shù)c1≥c2≥…≥cn≥cn+1=0，r≥1，1≤m≤n.那么對于任意的x＞0，有

引理2［11］設(shè)X1,X2,X3,…為鞅差序列且r≥1，那么存在正常數(shù)ar≤br使得

定理1若Y1,Y2,…,Yn是滿足模型（1）的隨機變量序列，它的變點估計τ^n=k^/n，如果假設(shè)（A）（B）（C）成立，則τ^是τ0的相合估計.

證明為方便起見，記

當k≤k0時，

當k≥k0時，同理有

故

當k=k0時，

由三角不等式得

綜合式（5）和（6）有

如果τ≤τ0，由中值定理有

如果τ＞τ0，有1-τ＜1-τ0，由中值定理

記

結(jié)合式（8）（9）和（10），可得

結(jié)合式（7）和（11）有

即

則?ε＞0，欲證τ^的相合性，只需證明n→∞時，

由式（12）得

注意到

由引理1引理2和cr不等式，對于任意正整數(shù)r＞2和任取η＞0，有

類似有

綜合式（14）（15）和（16）有

再由式（12）和（17）有

綜上，定理1得證.

定理2在定理1的條件下，弱收斂速度為，其中，

l(n)為滿足的慢變函數(shù)，δ為滿足的常數(shù).

證明令g1(n)為單調(diào)遞增且滿足的函數(shù).對?ε＞0，欲證τ^的收斂速度，只需證明

類似于定理1的證明知

定理3在定理1的條件下，強收斂速度為

其中

證明欲證τ^的強收斂速度，由Borel-Cantelli引理，只需證對?ε＞0，有

若取g2(n)=n1-γ-δ2，只要取

綜上所述，由Borel-Cantelli引理的應(yīng)用可得，，即定理3結(jié)論成立.

3 結(jié)語

本文用CUSUM方法討論線性過程方差變點值的相合量及其收斂速度.比較定理2和定理3可知，當時，變點估計τ^的強弱收斂速度相同，當時，變點估計τ^的強弱收斂速度相差一個慢變函數(shù).進一步還可以討論{Yi}為弱相關(guān)和強相關(guān)條件下的方差變點估計的相合性和收斂速度.