基于多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論的鐵路路線方案優(yōu)選

劉舒逸，方璽

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢430070)

鐵路路線方案的優(yōu)選為典型的多目標(biāo)決策問題[1?2]。以往為避免主觀因素的影響，多采用確定型客觀分析方法對(duì)鐵路路線進(jìn)行方案優(yōu)選[3?4]。但實(shí)際上，決策者的非理性主觀因素往往會(huì)對(duì)方案優(yōu)選決策有很大影響。由于決策時(shí)間的變化，不同時(shí)間點(diǎn)下某些指標(biāo)因素是動(dòng)態(tài)變化的，因此以動(dòng)態(tài)的思維分析指標(biāo)因素的影響，將更加符合實(shí)際。多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論，對(duì)于局勢(shì)隨時(shí)間變化的多目標(biāo)優(yōu)選決策問題，有較高的建模及處理能力。將局勢(shì)決策中的時(shí)變指標(biāo)變?yōu)榛覕?shù)，利用多種灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行精度對(duì)比優(yōu)選以對(duì)灰色指標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)[5?6]，充分考慮了時(shí)間變化對(duì)方案優(yōu)選決策的影響[7]。通過分析決策者無意識(shí)的決策行為，將概率轉(zhuǎn)化為優(yōu)選決策時(shí)的動(dòng)態(tài)化的指標(biāo)權(quán)重函數(shù)，從而獲得決策的優(yōu)勢(shì)信息[8?10]。該方法通過考慮客觀存在的人為非理性主觀因素，以體現(xiàn)客觀現(xiàn)實(shí)的實(shí)際情況，因而得到的方案優(yōu)選結(jié)果也更加貼近客觀實(shí)際[11?13]。多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論首創(chuàng)性的考慮了時(shí)間變化對(duì)決策局勢(shì)的動(dòng)態(tài)影響。方法創(chuàng)新性強(qiáng)，考慮更為全面，分析過程貼近實(shí)際，分析結(jié)果也更加科學(xué)可靠。

1 系統(tǒng)建模

1.1 指標(biāo)系統(tǒng)構(gòu)建

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)研究成果[14]，鐵路路線優(yōu)選決策為2 級(jí)指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)，1 級(jí)指標(biāo)包括經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境及社會(huì)等方面的指標(biāo)。每個(gè)1級(jí)指標(biāo)又可以分為若干2 級(jí)指標(biāo)。其一般性指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)見圖1[15]。

圖1 指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)Fig.1 Indicator hierarchy diagram

以上指標(biāo)可在鐵路方案優(yōu)選決策時(shí)，根據(jù)具體情況進(jìn)行增刪補(bǔ)減靈活調(diào)整。決策分析時(shí)盡量采取量化指標(biāo)。當(dāng)部分指標(biāo)難以直接采用數(shù)值進(jìn)行度量時(shí)，可采用德爾菲評(píng)分法。

1.2 多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論多目標(biāo)決策

1.2.1 灰色預(yù)測(cè)型決策矩陣構(gòu)建

鐵路路線方案優(yōu)選決策問題一般由n個(gè)備選方案構(gòu)成決策方案集S={S1，S2，…，Sn}，由m個(gè)影響指標(biāo)構(gòu)成指標(biāo)集C={c1，c2，…，cm}，則方案Si的指標(biāo)cj的指標(biāo)值為xij，得到鐵路路線方案優(yōu)選的決策矩陣X如下：

決策矩陣中的部分指標(biāo)數(shù)值隨時(shí)間而變動(dòng)，即為灰色指標(biāo)，灰色決策矩陣X(?)如下：

式(2)中，?代表矩陣、數(shù)值為隨時(shí)間而動(dòng)態(tài)變化的數(shù)，即灰數(shù)。

1.2.2 灰色指標(biāo)白化處理

灰色指標(biāo)可采用GM(1,1)模型、微分verhulst模型及差分verhulst 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。GM(1,1)模型如下：

微分verhulst模型如下：

差分verhulst模型如下：

為了提高精度，本文選擇GM(1,1)模型、微分verhulst 模型及差分verhulst 模型等3 種模型中的殘差平方和最小的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)白化。

1.2.3 指標(biāo)規(guī)范化處理

決策矩陣X中的指標(biāo)值有3 種類型：效益型指標(biāo)、成本型指標(biāo)及區(qū)間型指標(biāo)。效益型指標(biāo)值越大，方案越優(yōu)；成本型指標(biāo)值越大，方案越劣；區(qū)間型指標(biāo)為值落在某一區(qū)間，方案較優(yōu)。采用[?1,1]的線性變換算子進(jìn)行規(guī)范化處理。

首先，進(jìn)行j指標(biāo)均值算子rj計(jì)算：

對(duì)于效益型指標(biāo)的規(guī)范化處理：

對(duì)于成本型指標(biāo)的規(guī)范化處理：

對(duì)于區(qū)間為(xⅠ,xⅡ)的區(qū)間型指標(biāo)(指標(biāo)值落在特定區(qū)間為好的指標(biāo))的規(guī)范化處理：

得到規(guī)范化處理后決策屬性矩陣U：

1.2.4 綜合前景值計(jì)算

根據(jù)矩陣U，得到鐵路路線方案優(yōu)選決策局勢(shì)的正理想方案向量負(fù)理想 方 案向 量其 中

計(jì)算方案Si的指標(biāo)cj與正理想方案的關(guān)聯(lián)度：

計(jì)算方案Si的指標(biāo)cj與負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)度：

方案Si的指標(biāo)cj的正前景效用價(jià)值函數(shù)為：

負(fù)前景效用價(jià)值函數(shù)為：

則方案Si的綜合前景值為正、負(fù)前景值之和Qi，即：

在式(15) 中， 指標(biāo)權(quán)重向量為W=(w1,w2,…,wj…,wm)。

式(11)～(17)中，ε 取值范圍0～1，α取值為0.88；β取值為0.88；θ取值為2.25，γ+取值為0.61，γ?取值為0.69。

1.2.5 最優(yōu)方案解析優(yōu)選分析

若權(quán)重向量W=(w1,w2,…,wj,…,wm)中各指標(biāo)權(quán)重值為動(dòng)態(tài)未知量。則可得到所有備選方案累加綜合前景值Qt的最大化模型：

此模型為非線性規(guī)劃模型，其約束條件為：

通過解算最大化模型，得到Qt最大化下的最優(yōu)權(quán)重向量

將最優(yōu)權(quán)重向量代入式(15)，得到各方案綜合前景值。最優(yōu)方案S*的綜合前景值為Q*：

2 例證分析

2.1 項(xiàng)目背景

某擬建城際鐵路穿越城市、郊區(qū)、鄉(xiāng)村等多種類型地域，部分路段離生態(tài)敏感區(qū)較近。經(jīng)過前期方案對(duì)比初選，初步擬定了1 號(hào)，2 號(hào)，3 號(hào)及4 號(hào)4 條鐵路路線方案。由于地方政府財(cái)政資金壓力，導(dǎo)致該項(xiàng)目上馬時(shí)間不定。目前，認(rèn)為該項(xiàng)目可能開建的時(shí)間為2023 年，2025 年和2030年。

本次鐵路路線方案優(yōu)選決策選取了經(jīng)濟(jì)、技術(shù)及環(huán)境3 個(gè)1 級(jí)指標(biāo)，經(jīng)濟(jì)可行性選取了建設(shè)項(xiàng)目投資C1，經(jīng)濟(jì)效益C2；技術(shù)可行性選取了土石方工程量C3，橋梁及隧道長(zhǎng)度C4，工程地質(zhì)情況C5；環(huán)境可行性選取了生態(tài)環(huán)境破壞影響C6，拆遷征地面積C7，文物古跡影響C8等2 級(jí)指標(biāo)。其中，C1，C2，C3，C4和C7為定量指標(biāo)；C5，C6和C8為定性指標(biāo)，采用專家評(píng)分進(jìn)行間接量化表征(100分制，評(píng)分越高，方案越優(yōu))。又有C1，C2和C6為灰色指標(biāo)，其余指標(biāo)為確定型指標(biāo)。統(tǒng)計(jì)得到各鐵路路線方案指標(biāo)數(shù)據(jù)，見表1。

從4 個(gè)方案指標(biāo)值看，雖然方案1 和方案3 相對(duì)來說有明顯不足，但是方案1 和方案3 的某些指標(biāo)向好的發(fā)展趨勢(shì)明顯強(qiáng)于方案2 和方案4，從趨勢(shì)上存在有逆轉(zhuǎn)或逆襲的可能性，從未來與發(fā)展的眼光考慮，仍然將方案1 和方案3 作為備選方案。

2.2 決策矩陣白化及規(guī)范化

對(duì)灰色指標(biāo)采用GM(1,1)、微分verhulst 及差分verhulst 模型進(jìn)行精度對(duì)比。1 號(hào)方案的建設(shè)項(xiàng)目投資C1指標(biāo)說明預(yù)測(cè)模型對(duì)比優(yōu)選分析結(jié)果見表2。

由表2 可知，3 類模型的相對(duì)精度一致，但GM(1,1)模型的殘差平方和最小，因此采用GM(1,1)對(duì)1號(hào)方案的建設(shè)項(xiàng)目投資進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表2 1號(hào)方案C1指標(biāo)預(yù)測(cè)模型誤差計(jì)算表Table 2 Error computation table of predication model

類似地，得到各方案各灰色指標(biāo)的最優(yōu)預(yù)測(cè)模型在各時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測(cè)值見表3。

整理表1 及表3 中數(shù)據(jù)，得到不同時(shí)間點(diǎn)下的鐵路路線優(yōu)選決策的確定型決策矩陣。

表1 指標(biāo)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Table 1 Indicator data statistics table

表3 各方案灰色指標(biāo)白化預(yù)測(cè)值Table 3 Predicted value of gray index whitening for each scheme

2023年的決策矩陣：

2025年的決策矩陣：

2030年的決策矩陣：

根據(jù)式(6)～(9)對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行規(guī)范化處理，得到2023 年，2025 年及2030 年鐵路路線方案優(yōu)選的決策屬性矩陣U2023，U2025及U2030。

2.3 關(guān)聯(lián)度值及效用前景值

根據(jù)矩陣U2023，U2025及U2030，鐵路路線優(yōu)選決策的正理想方案向量：

負(fù)理想方案向量：

根據(jù)式(11)及式(12)(分辨系數(shù)取0.5)，計(jì)算得到2023 年，2025 年及2030 年的正、負(fù)理想方案的關(guān)聯(lián)度矩陣

利用式(13)～(14)得到不同時(shí)間點(diǎn)的正、負(fù)前景效用價(jià)值矩陣。

2023年正前景效用價(jià)值矩陣：

2023年負(fù)前景效用價(jià)值矩陣：

2025年正前景效用價(jià)值矩陣：

2025年負(fù)前景效用價(jià)值矩陣：

2030年正前景效用價(jià)值矩陣：

2030年負(fù)前景效用價(jià)值矩陣：

2.4 最優(yōu)方案優(yōu)選決策

綜合前景值計(jì)算公式，各指標(biāo)不定權(quán)重向量W=(w1,w2,…,wj,…,wm)，則 權(quán) 重處 理方式 如式(16)～(17)。為合理體現(xiàn)各指標(biāo)的重要性，根據(jù)相關(guān)專家意見，單個(gè)指標(biāo)權(quán)重的取值范圍為0.05～0.3之間。各指標(biāo)權(quán)重處理值為：

正前景效用權(quán)重處理值：

負(fù)前景效用權(quán)重處理值：

根據(jù)各方案綜合前景值累加最大化原則，得到以不定權(quán)重為變量的約束非線性規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)為：

約束非線性規(guī)劃模型的約束條件為：

計(jì)算得到各時(shí)間點(diǎn)累加綜合前景值最大的權(quán)重向量：

2023 年：W2023= (0.05， 0.30， 0.05， 0.15，0.05，0.05，0.05，0.30)；

2025 年：W2025= (0.15， 0.30， 0.05， 0.05，0.05，0.05，0.05，0.30)；

2030 年：W2023= (0.05， 0.30， 0.05， 0.15，0.05，0.05，0.05，0.30)。

進(jìn)而得到各方案綜合前景值。

2023 年 時(shí)：Q1=-1.076 3，Q2=-0.110 9，Q3=-1.042 6，Q4=-0.033 6。

2025 年 時(shí)：Q1=-1.210 3，Q2=0.032 5，Q3=-1.080 9，Q4=0.004 4。

2030 年 時(shí)：Q1=-1.273 6，Q2=-0.103 2，Q3=-0.936 7，Q4=0.021 5。

2.5 結(jié)果分析

對(duì)不同時(shí)間點(diǎn)的不同方案綜合前景值進(jìn)行比較，2023年與2030年各方案優(yōu)劣排序是一致的：4號(hào)方案＞2 號(hào)方案＞3 號(hào)方案＞1 號(hào)方案，但2025年各方案優(yōu)劣排序?yàn)椋?號(hào)方案＞4號(hào)方案＞3號(hào)方案＞1 號(hào)方案。說明在不同的時(shí)間點(diǎn)下，隨著灰色指標(biāo)數(shù)值的隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)改變，方案之間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)關(guān)系發(fā)生了很大變化，出現(xiàn)了最優(yōu)方案的轉(zhuǎn)移。其本質(zhì)是因各備選方案隨年份變化導(dǎo)致物價(jià)波動(dòng)以及生態(tài)環(huán)境質(zhì)量隨人工改造在不同年份有所變化，而導(dǎo)致的決策局勢(shì)的改變。此時(shí)，采用考慮時(shí)間變化因素的多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論進(jìn)行建設(shè)時(shí)間不定情況下的鐵路路線方案優(yōu)選決策是必要的，其相對(duì)于如單一的累計(jì)前景理論分析等傳統(tǒng)的確定型優(yōu)選決策方法，確實(shí)更為適宜有效。

3 結(jié)論

1)構(gòu)建了包括經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等1級(jí)指標(biāo)，建設(shè)項(xiàng)目投資，經(jīng)濟(jì)效益、正線長(zhǎng)度等2級(jí)指標(biāo)在內(nèi)的鐵路路線方案優(yōu)選決策多級(jí)指標(biāo)體系，并根據(jù)實(shí)際對(duì)指標(biāo)進(jìn)行了靈活調(diào)整。

2) 構(gòu)建了考慮灰色指標(biāo)影響的多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論模型。采用累計(jì)前景理論對(duì)鐵路路線方案進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)選決策，構(gòu)建了以權(quán)重為變量，各方案累加綜合前景值最大的約束非線性規(guī)劃模型。模型充分考慮到方案建設(shè)時(shí)間點(diǎn)不確定時(shí)決策優(yōu)選局勢(shì)的動(dòng)態(tài)變化，并考慮了決策者的非理性思維對(duì)優(yōu)選決策的主觀影響，模型構(gòu)建科學(xué)，考慮問題全面合理。

3) 例證顯示：在不同時(shí)間點(diǎn)下，各鐵路路線方案之間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)關(guān)系有很大變化，最終導(dǎo)致最優(yōu)方案發(fā)生了轉(zhuǎn)移。證明多灰色模型對(duì)比的累計(jì)前景理論對(duì)于此類隨時(shí)間而發(fā)生局勢(shì)變化的多目標(biāo)優(yōu)選決策問題具有較強(qiáng)的處理能力，相對(duì)確定型分析方法，分析過程更加貼近實(shí)際，分析結(jié)果也更為科學(xué)合理。