復(fù)雜系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性研究

孫啟陽

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣東 廣州 510000)

1 概述

隨著科技水平的提高和技術(shù)融合的發(fā)展，復(fù)雜系統(tǒng)近年來逐漸走進(jìn)了人們的視野，并且越來越受到人們的關(guān)注。因其具有資源共享、系統(tǒng)簡便、容易構(gòu)建、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于諸如互聯(lián)網(wǎng)以及通信領(lǐng)域、交通領(lǐng)域、智能制造領(lǐng)域、航空航天等各個領(lǐng)域。在實(shí)際控制中，因系統(tǒng)各個節(jié)點(diǎn)所面臨不同的情況以及其中不同節(jié)點(diǎn)之間的通信延遲，常會影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而對系統(tǒng)的工作效率產(chǎn)生不良影響。由于復(fù)雜系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用以及其所具有很高的研究價(jià)值，因而吸引了國內(nèi)外很多研究人員對此進(jìn)行研究，并且在復(fù)雜系統(tǒng)的一致性問題研究這個方向上做了更深一步的探索。

2 理論推導(dǎo)

首先考慮如下單個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程：

利用克羅內(nèi)克積整合多個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程，可以得出該復(fù)雜系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

為了使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定，并且減輕網(wǎng)絡(luò)擁堵情況的發(fā)生以及減緩控制器的輸出頻率，以此來降低控制系統(tǒng)所需要的網(wǎng)絡(luò)資源，我們?yōu)槊恳粋€節(jié)點(diǎn)都設(shè)置了采樣數(shù)據(jù)控制器：

因此可知，若給定一個滿足條件的強(qiáng)連通有向圖G(A)，給出合適的系統(tǒng)增益矩陣K，如果存在實(shí)矩陣U＞0,P＞0,P2＞0,P3＞0,P4＞0，使得對任意的輸入條件，均有下列不等式成立，則說明該復(fù)雜系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)同步。

3 模擬仿真

本章將提出一個仿真實(shí)例來驗(yàn)證所提理論結(jié)果的有效性，利用仿真實(shí)驗(yàn)對所設(shè)計(jì)的控制器和控制方法進(jìn)行應(yīng)用。復(fù)雜系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 復(fù)雜系統(tǒng)的拓?fù)鋱D

針對某個節(jié)點(diǎn)i 的采樣數(shù)據(jù)控制器的步驟如下：在采樣時間，節(jié)點(diǎn)i 與其他節(jié)點(diǎn)之間按規(guī)則進(jìn)行通信，發(fā)出或接收節(jié)點(diǎn)信息；如果節(jié)點(diǎn)i 接收到來自其他節(jié)點(diǎn)的信號，則它對應(yīng)的控制器將執(zhí)行算法；控制輸入信號在相鄰采樣時刻之間保持恒定，數(shù)值等于前一個采樣時刻的控制輸入信號；在下一個采樣間隔重復(fù)上述三個步驟。

將系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度表示為α，將系統(tǒng)的飽和水平表示為Uil。根據(jù)系統(tǒng)的采樣控制器可以明確，最大采樣上界并不會影響到 的數(shù)值大小。所以不妨假定α=0.5，Uil=0，因?yàn)橄到y(tǒng)由五個節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，因此l=1，2，3，4，5，即U 具有五個數(shù)值。通過使用ode45，解出線性矩陣不等式方程組可以得到：

系統(tǒng)的采樣上界為h2=0.9，進(jìn)一步的，以下是五個節(jié)點(diǎn)在仿真實(shí)驗(yàn)下得到的狀態(tài)軌跡：

根據(jù)圖2 可以看出，上文中所構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)中的五個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡隨時間增長而逐漸趨于一致，即系統(tǒng)將達(dá)到同步。

圖2 五個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡

圖3 五個節(jié)點(diǎn)的采樣數(shù)據(jù)控制輸入

根據(jù)圖4 可知，隨著時間的增長，五個節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)同步誤差在控制器的作用下逐漸衰減直至歸零。其實(shí)際意義為各個節(jié)點(diǎn)狀態(tài)最終將完全相同，即系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 五個節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)同步誤差

4 結(jié)論

復(fù)雜系統(tǒng)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，因此具有很高的研究潛力和價(jià)值。本文利用李雅普諾夫定理，研究了采樣數(shù)據(jù)控制下的含有非線性項(xiàng)的復(fù)雜系統(tǒng)的一致性問題。本文構(gòu)造了一個全新的李雅普諾夫泛函，并通過理論推導(dǎo)與模擬仿真對其效果進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了該函數(shù)的合理性有和效性。