條件極值的三種常用解法

王奕閏 張艷維

（西安交通工程學(xué)院 公共課部，陜西 西安 710300）

引言

多元函數(shù)z=f(x1,x2,…,xn)在m個(gè) 附 加 條 件 下?k(x1,x2,x3,…,xk)=0，（k= 1,2,3,…,m，m

多元函數(shù)條件極值是微分學(xué)的重要應(yīng)用。在實(shí)際生活生產(chǎn)及經(jīng)濟(jì)管理中使用廣泛。我們常遇到的最優(yōu)化問題，比如圓內(nèi)接矩形的最大面積；光線行進(jìn)的最快路徑；企業(yè)產(chǎn)品的最小投入、最高效益及最低虧損；市場(chǎng)商戶的最低運(yùn)營成本、最大利潤等，都是通過建立（目標(biāo)函數(shù)的）數(shù)學(xué)模型，求條件極值尋找目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化。

條件極值問題求解復(fù)雜，學(xué)生對(duì)極值是否存在不易理解；難以區(qū)分不同解法的適用差異；求解運(yùn)算過程繁瑣；對(duì)區(qū)分判定在可能的極值點(diǎn)取何種極值的方法，疑惑重重，諸如此類的問題困擾學(xué)生。

本文針對(duì)條件極值的三種常用解法：代入消元法，幾何圖形法，拉格朗日乘數(shù)法，加以分析探討及示例，幫助學(xué)生消除疑慮，理清解題思路，選擇適合解法，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，有切實(shí)意義。

一、條件極值的三種常用解法

（一）代入消元法

從約束方程中選擇要消去的變量，代入目標(biāo)函數(shù)消元，將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值，這種方法稱作代入消元法。它是求解多元函數(shù)條件極值最常用的方法。

例如，求目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)在約束方程?(x,y)=0的條件極值，從?(x,y)=0解出變量x=x(y)或y=y(x)，代入z=f(x,y)，把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值。

（二）幾何圖形法

運(yùn)用多元函數(shù)的幾何圖形（幾何含義）求解目標(biāo)函數(shù)的條件極值稱作幾何圖形法。

由于高等數(shù)學(xué)中學(xué)生所學(xué)的空間解析幾何知識(shí)有限，所以幾何圖形法求條件極值，較多涉及那些常用多元函數(shù)的條件極值，比如空間平面、空間直線等，形象直觀，運(yùn)算簡單，學(xué)生易于接受。

比如，求空間曲面Σ與空間平面e之間的最近距離。

若空間曲面Σ：f(x,y,z)=0，其一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不同時(shí)為零。

空間平面e：Ax+By+Cz+D=0。曲面Σ 與平面e不相交。由于曲面的切平面 e0一定與平面e平行，曲面Σ 上距離平面最近的點(diǎn)P0一定在平面的某條法線上，這個(gè)點(diǎn)P0也是曲面與平面法線的交點(diǎn)。求出點(diǎn)P0坐標(biāo)，它到平面e的距離就是最近距離。

解得(x0,y0,z0)就是點(diǎn)P0的坐標(biāo)[4]；

將該坐標(biāo)代入點(diǎn)到平面距離公式，即得空間曲面Σ 與平面e的最近距離

（三）拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)和?(x,y)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。用拉格朗日乘數(shù)λ將f(x,y)與?(x,y)捆綁，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λ?(x,y)，求z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的條件極值。

可以證明，L(x,y,λ)的極值一定是z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的極值。函數(shù)z=f(x,y)在?(x,y)=0約束下的可能極值點(diǎn)(x0,y0)，一定在拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)的可能極值點(diǎn)(x0,y0,λ0)中[5]。

拉格朗日乘數(shù)法可以推廣到兩個(gè)以上自變量或一個(gè)以上約束條件的情形[6]，是求解多元函數(shù)條件極值通用解法，尤其對(duì)求解約束條件較多的極值，其解題能力無出其右。

使用拉格朗日乘數(shù)法，先構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：

求L(x,y,λ)一階偏導(dǎo)數(shù)并令其為

零，聯(lián)立方程組，

解得(x0,y0,λ0)為可能的極值點(diǎn)。

判斷函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取何種極值，多數(shù)微積分教材一句帶過：依據(jù)問題的實(shí)際意義確定[7]。運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)判斷最值，極易給人錯(cuò)覺：唯一駐點(diǎn)處必定都是最值點(diǎn)[8]。因?yàn)榍闆r并非總是如此。

事實(shí)上，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，判斷函數(shù)z=f(x,y)在駐點(diǎn)(x0,y0)取何種極值，應(yīng)該由拉格朗日函數(shù)

L在點(diǎn)(x0,y0,λ0)處的二階微分d2L的正負(fù)確定：

若 d2L>0，函數(shù)f(x0,y0)取得極小值；反之，d2L<0，函數(shù)f(x0,y0)取得極小值[9]。

拉格朗日乘數(shù)法適用范圍較廣，對(duì)目標(biāo)函數(shù)，條件函數(shù)的僅要求偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的即可。但在具體使用時(shí)，

學(xué)生對(duì)構(gòu)建拉格朗日函數(shù)的數(shù)學(xué)思路不清晰，對(duì)引入拉格朗日乘數(shù)λ心生疑慮，加之運(yùn)算過程較繁瑣，因此在求解是感覺困難。

二、條件極值常用解法示例

（一）代入消元法的應(yīng)用

例1 用薄鐵皮做成體積為V的無蓋長方體水箱，問長方體的三個(gè)棱邊長各為多少時(shí)，用料最少？

解 設(shè)該長方體的長、寬、高分別為x、y、z（單位為cm），（x>0、y>0、z>0）

根據(jù)題意，用料最少是指長方體的表面積最小。

（二）幾何圖形法的應(yīng)用

根據(jù)實(shí)際意義，該距離就是空間曲面與空間平面的最短距離。本題中，若對(duì)多元函數(shù)幾何意義不太清楚，很可能不會(huì)靈活使用幾何法。若使用消元代入法和拉格朗日乘數(shù)法，運(yùn)算較繁瑣。

（三）拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用

根據(jù)實(shí)際意義（常識(shí)判斷），函數(shù)L(x,y,z,λ)在點(diǎn)(3a,3a,3a,81a4)處必有極值，所以函數(shù)u=xyz極值點(diǎn)必定在唯一駐點(diǎn)處(3a,3a,3a)，因此有u=27a3。

例5 某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種規(guī)格的半導(dǎo)體芯片，產(chǎn)量分別為x和y（單位：萬件），共生產(chǎn)10萬件。

設(shè)企業(yè)利潤函數(shù)為L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2，（單位：萬元），問這兩種芯片各生產(chǎn)多少時(shí)利潤最大？

解 根據(jù)題意，求利潤函數(shù)L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2⑴

在x+y=10下的最大值。

利潤函數(shù)L(x,y)=6x?x2+16y?4y2?2和條件函數(shù)?(x,y)=x+y?10的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

構(gòu)建拉格朗日函數(shù)F(x,y,λ)=6x?x2+16y?4y2?2+λ(x+y?10)

拉格朗日函數(shù)F(x,y,λ)取得極大值。對(duì)應(yīng)地，利潤函數(shù)L(x,y)在點(diǎn)(7,3)必定取得最大值，即甲乙兩種芯片各生產(chǎn)7 萬件和3 萬件時(shí)，企業(yè)利潤最大。

本題采用拉格朗日函數(shù)的二階微分論證了最大利潤存在，改變了以往用常識(shí)經(jīng)驗(yàn)判斷最值的做法。

三、結(jié)論

綜上所述，多元函數(shù)條件極值在微積分學(xué)習(xí)和實(shí)際生產(chǎn)生活中使用廣泛。三種常用解法各有所長。因?yàn)?/p>

拉格朗日乘數(shù)法由直接極值導(dǎo)出，其適用范圍超出了代入消元法的適用范圍[10]。比如求解函數(shù)u=f(x,y,z)在?(x,y,z)=0約束下條件極值，只要u=f(x,y,z)和?=?(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且=0，即可用拉格朗日乘數(shù)法。對(duì)于代入消元法，若=0，不能使用代入法消去z變量[11]。幾何圖形法多用于常見多元函數(shù)圖形，比如空間曲面、平面等內(nèi)容優(yōu)化求解。

判斷駐點(diǎn)（可能極值點(diǎn)）取何種極值，雖然多憑直覺經(jīng)驗(yàn)，但是拉格朗日乘數(shù)法中的二階微分法，代入消元法的二階導(dǎo)數(shù)法，都有相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)有所了解，具體問題具體分析，探索選擇最適合的解題辦法，提高解題效率，提升綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。