基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法

馬嘯宇 張金生 李婷 郝亮亮

(火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院, 西安 710025)

導(dǎo)航技術(shù)近年來(lái)得到了飛速的發(fā)展,慣性導(dǎo)航技術(shù)和衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)是導(dǎo)航制導(dǎo)領(lǐng)域的主要研究方向。 但是慣性導(dǎo)航在長(zhǎng)距離任務(wù)中陀螺儀漂移會(huì)隨時(shí)間不斷積累,衛(wèi)星導(dǎo)航容易受到各種環(huán)境因素干擾。 地磁導(dǎo)航技術(shù)是一種重要的輔助導(dǎo)航手段,由于地磁場(chǎng)較為穩(wěn)定且具有時(shí)間變化較小和抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn),逐漸受到廣泛關(guān)注和研究[1-4]。

地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)首先對(duì)地磁場(chǎng)進(jìn)行建模以及數(shù)據(jù)采集,制備地磁基準(zhǔn)圖,而后對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行實(shí)時(shí)磁測(cè)信息采集,最后將采集到的地磁場(chǎng)信息與基準(zhǔn)圖進(jìn)行匹配,從而實(shí)現(xiàn)定位導(dǎo)航的目的[5-6]。 因此,高精度的地磁基準(zhǔn)圖是實(shí)現(xiàn)地磁匹配導(dǎo)航的基礎(chǔ)。

目前,地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建方法主要有2 種:①根據(jù)現(xiàn)有的地磁場(chǎng)物理模型進(jìn)行構(gòu)建[7];②根據(jù)實(shí)測(cè)地磁場(chǎng)數(shù)據(jù),構(gòu)建網(wǎng)格化地磁基準(zhǔn)圖[8]?，F(xiàn)有的世界磁場(chǎng)模型(WMM)和國(guó)際地磁參考磁場(chǎng)(IGRF)針對(duì)地球的主磁場(chǎng)模型進(jìn)行分析[9]。一般情況下,地球內(nèi)部異常場(chǎng)最能體現(xiàn)局部地磁場(chǎng)的特點(diǎn),而在世界地磁場(chǎng)模型很難體現(xiàn)異常場(chǎng)的變化。 因此,在對(duì)局部地區(qū)地磁場(chǎng)進(jìn)行高精度構(gòu)建時(shí),一般利用基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)插值建模的方法[10]。 近年來(lái),針對(duì)地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法的研究主要集中在插值法方面,常用的方法有雙三次插值、Kriging 插值、基于粒子群優(yōu)化(Particle Swam Optimization,PSO)算法的PSO-Kriging 插值等[11]?，F(xiàn)有算法雖然在基準(zhǔn)圖的峰值信噪比(PSNR)和均方根誤差(RMSE)等評(píng)價(jià)指標(biāo)方面有一定的提升,但對(duì)于磁測(cè)點(diǎn)之間的細(xì)節(jié)信息難以很好地恢復(fù)。

稀疏表示能夠在稀疏字典下利用有限的稀疏系數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行完整的表示,并且在圖像處理領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用[12-16]。 受到基于稀疏先驗(yàn)信息的圖像超分辨率重建理論的啟發(fā)[17-18],本文提出一種基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的高精度地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法。 主要工作包含以下幾點(diǎn):

1) 提出了一種基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法。

2) 利用矩諧分析(RHA)理論的先驗(yàn)信息對(duì)稀疏字典進(jìn)行了初始化,實(shí)驗(yàn)表明,該方法有效提高了稀疏字典的訓(xùn)練效率以及性能。

3) 利用本文方法與現(xiàn)有的地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法,包括雙三次插值、PSO-Kriging 插值等方法進(jìn)行了對(duì)比,實(shí)驗(yàn)證明本文方法優(yōu)于其他方法。

4) 在對(duì)于噪聲的魯棒性指標(biāo)上與其他超分辨率重建方法進(jìn)行了對(duì)比,實(shí)驗(yàn)證明本文方法優(yōu)于其他方法。

1 地磁場(chǎng)模型

地磁場(chǎng)模型包括7 個(gè)分量,其中5 個(gè)為幅值分量,2 個(gè)為角度分量。 設(shè)地磁信號(hào)采集點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),通常以地磁場(chǎng)三分量表示地磁場(chǎng)矢量,地磁場(chǎng)三分量定義3 個(gè)指定方向的地磁場(chǎng)分量,方向?yàn)榈乩肀毕?、地磁東向與垂直向下,并分別記為Bx、By、Bz。 水平分量Bh通過(guò)Bx與By的矢量合成得到,表示總地磁矢量在水平面上的投影。 地磁場(chǎng)矢量的絕對(duì)值稱(chēng)為總場(chǎng)強(qiáng)度Bf。 2 個(gè)角度分量為磁偏角和磁傾角。 分量Bx與Bh之間的夾角定義為磁偏角Bd;總場(chǎng)強(qiáng)度Bf與分量Bh之間的夾角定義為磁傾角Bi。 地磁參考場(chǎng)的各特征關(guān)系如圖1 所示,圖中:D為磁偏角;I為磁傾角;F為總場(chǎng)。 因此,地磁場(chǎng)的7 個(gè)基本分量滿(mǎn)足如下幾何關(guān)系:

圖1 地磁參考場(chǎng)特征Fig.1 Features of geomagnetic reference field

由上述關(guān)系可知,地磁場(chǎng)7 個(gè)要素只有3 個(gè)是相互獨(dú)立的,因此對(duì)X、Y、Z3 個(gè)分量分別進(jìn)行超分辨率重建,利用最終計(jì)算得到的總場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)評(píng)價(jià)算法的性能。

2 稀疏表示

低分辨率基準(zhǔn)圖由高分辨率基準(zhǔn)圖經(jīng)過(guò)模糊和下采樣得到

式中:H為下采樣矩陣;S為模糊矩陣。

由式(5)可知,超分辨率重建是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題,即式(5)是一個(gè)欠定方程組,每一個(gè)圖像Y都對(duì)應(yīng)無(wú)窮多個(gè)解。 但在以下約束條件下該問(wèn)題能夠得到很好的解決。

首先將一幅高分辨率地磁基準(zhǔn)圖X劃分為圖像塊x,這些圖像塊可以被字典Dh稀疏表示為

式中:α為圖像塊x的稀疏表示系數(shù);K為稀疏系數(shù)中非零項(xiàng)的最大數(shù)量。 由于低分辨率基準(zhǔn)圖和對(duì)應(yīng)的高分辨率基準(zhǔn)圖具有相同的結(jié)構(gòu)特征,可以通過(guò)訓(xùn)練得到低分辨率稀疏字典使得低分辨率基準(zhǔn)圖與高分辨率基準(zhǔn)圖具有相同的稀疏表示[19]。 低分辨率的基準(zhǔn)圖能夠被字典Dl稀疏表示為

式中:F為低分辨率基準(zhǔn)圖的特征提取矩陣;y為原始高分辨率圖像;ε為誤差約束。 由于基準(zhǔn)圖的細(xì)節(jié)部分主要分布在高頻部分,F的作用類(lèi)似于一個(gè)高通濾波器。 最終目的是讓恢復(fù)出來(lái)的基準(zhǔn)圖細(xì)節(jié)部分與原始基準(zhǔn)圖更相近。 由于式(7)中的問(wèn)題是NP 難問(wèn)題,只要α充分稀疏,就可以利用l1范數(shù)代替l0范數(shù)[20],如式(8)所示:

式中:λ用來(lái)平衡結(jié)果的稀疏程度和與原始信號(hào)的接近程度。 該問(wèn)題可以通過(guò)凸優(yōu)化的方法得到很好的解決。

單獨(dú)處理式(9)中的問(wèn)題無(wú)法保證相鄰圖像塊之間的一致性。 因此,在滿(mǎn)足式(9)的同時(shí)還需要加上一個(gè)限制條件,即重建后的相鄰高分辨率圖像塊之間重疊部分要保證一致。 優(yōu)化后的問(wèn)題可表示為

式中:矩陣P用于提取當(dāng)前圖像塊與前一圖像塊的重疊部分;ω包含了重疊部分在前一圖像塊中的幅值;ε1和ε2分別表示低分辨率和高分辨率字典對(duì)基準(zhǔn)圖的重建誤差約束。 式(10)可總結(jié)為以下形式:

具體方法流程如圖2 所示。

圖2 基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的地磁基準(zhǔn)圖超分辨率重建方法流程Fig.2 Flowchart of super-resolution geomagnetic reference map reconstruction method based on sparse representation and dictionary learning

3 稀疏字典

3.1 字典初始化

在訓(xùn)練稀疏字典之前,利用地磁場(chǎng)模型的先驗(yàn)信息進(jìn)行字典的初始化。 由于實(shí)際采集到的地磁場(chǎng)信息不是均勻分布的,首先對(duì)目標(biāo)區(qū)域地磁場(chǎng)進(jìn)行建模,而后根據(jù)所建模型對(duì)基準(zhǔn)圖進(jìn)行網(wǎng)格化處理。 實(shí)際磁測(cè)數(shù)據(jù)可由式(13)進(jìn)行分解:

式中:BR為地磁剩余磁場(chǎng)值;B0為地磁場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù);BC為通過(guò)國(guó)際地磁參考場(chǎng)(IGRF)計(jì)算的理論值。 通過(guò)式(13)可以獲取目標(biāo)區(qū)域的剩余磁場(chǎng)值。 在近年來(lái)的研究中,對(duì)地磁場(chǎng)的建模主要采用球諧分析(SHA)和矩諧分析[21];由于研究的區(qū)域面積較小,地球曲率對(duì)模型的影響可以忽略不計(jì),選擇采用矩諧分析進(jìn)行目標(biāo)區(qū)域地磁剩余場(chǎng)BR建模,具體方法如下。

在一個(gè)沒(méi)有磁場(chǎng)源的空間內(nèi),目標(biāo)磁位能夠通過(guò)拉普拉斯方程獲取:

因此,總場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為

通過(guò)上述方法,可以建立地磁剩余場(chǎng)模型,同時(shí)獲取精確的網(wǎng)格化數(shù)據(jù)。 使用的稀疏字典由512 個(gè)特征列向量構(gòu)成,其中一半由地磁剩余場(chǎng)網(wǎng)格化數(shù)據(jù)隨機(jī)抽取組成,另一半由國(guó)際地磁參考場(chǎng)數(shù)據(jù)隨機(jī)抽取組成。 最終生成的矩陣作為字典訓(xùn)練的初始字典。

3.2 字典訓(xùn)練

為使稀疏表示達(dá)到最好的效果,過(guò)完備字典的獲取是最為重要的步驟。 通過(guò)訓(xùn)練低分辨率和高分辨率基準(zhǔn)圖對(duì)應(yīng)的字典,能夠使高分辨率和低分辨率基準(zhǔn)圖具有相同的稀疏表示。

稀疏字典一般分為2 種:基于特定結(jié)構(gòu)的稀疏字典和基于學(xué)習(xí)的稀疏字典。 基于特定結(jié)構(gòu)的字典包括高斯隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣、范德蒙矩陣等。 這些字典最大的優(yōu)勢(shì)是稀疏表示時(shí)計(jì)算速度很快(時(shí)間復(fù)雜度為ο(nlogn)),但是同時(shí)也限制了對(duì)于信號(hào)的稀疏表示能力。 因此,這類(lèi)方法一般只對(duì)特定種類(lèi)的信號(hào)有較好的效果。 基于學(xué)習(xí)的方法通過(guò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行學(xué)習(xí)得到低分辨率和高分辨率地磁基準(zhǔn)圖的最優(yōu)稀疏基,從而達(dá)到充分表示原始信號(hào)的目的[22]。

文獻(xiàn)[23]將K-SVD 算法應(yīng)用到圖像去噪中并取得了很好的效果。 本文采用K-SVD 算法進(jìn)行低分辨率和高分辨率稀疏字典的學(xué)習(xí)。 利用Frobenius 范數(shù)來(lái)衡量原圖像和稀疏分解后圖像的偏差,保持稀疏矩陣中除第j0列以外所有列不變,提取出第j0列后問(wèn)題可寫(xiě)成

交替迭代數(shù)次后即可滿(mǎn)足目標(biāo)要求,具體流程如圖3 所示。

圖3 K-SVD 算法流程Fig.3 Flowchart of K-SVD algorithm

4 仿真結(jié)果和性能分析

實(shí)驗(yàn)所使用的地磁數(shù)據(jù)集來(lái)源于筆者課題組獲取的2009 年?yáng)|亞地區(qū)地磁場(chǎng)以及國(guó)際地磁參考場(chǎng)。 比較了本文方法和多種得到廣泛應(yīng)用的插值法和圖像超分辨率重建方法在地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建中的實(shí)際效果,包括雙三次插值、PSO-Kriging 插值、相鄰嵌入法(Neighbor Embedding, NE)等。

首先,為方便后續(xù)處理,將所有地磁數(shù)據(jù)壓縮到[0,255]范圍內(nèi),方法如下:

式中:ti為地磁基準(zhǔn)圖中的元素;Max 和Min 分別為所有地磁數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

在實(shí)驗(yàn)中,輸入的地磁基準(zhǔn)圖分辨率分別被提高到2、3 和4 倍,使用的圖像塊大小為5 ×5,以保證相鄰圖像塊之間有4 個(gè)像素的重疊部分。在從低分辨率基準(zhǔn)圖中提取圖像塊前,首先,對(duì)低分辨率基準(zhǔn)圖進(jìn)行雙三次插值以保證與高分辨率基準(zhǔn)圖大小相同;其次,對(duì)處理后的低分辨率基準(zhǔn)圖計(jì)算其稀疏字典對(duì)應(yīng)的稀疏系數(shù);最后,利用相同的稀疏系數(shù)和高分辨率字典得到重建后的高分辨率基準(zhǔn)圖。 文中所用字典通過(guò)隨機(jī)選取的50 000 個(gè)地磁圖像塊訓(xùn)練得到。 通過(guò)交叉驗(yàn)證,最終選取λ=0.2,隨機(jī)選取500 幅基準(zhǔn)圖作為實(shí)驗(yàn)測(cè)試集[24-25]。

4.1 重建效果對(duì)比

為驗(yàn)證生成的高分辨率地磁基準(zhǔn)圖的質(zhì)量,利用峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)和均方根誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo),對(duì)通過(guò)式(1)計(jì)算得到的總場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行評(píng)價(jià)。 圖4 為不同方法的重建效果對(duì)比?？梢钥闯?利用本文方法構(gòu)建的高分辨率基準(zhǔn)圖與原始圖最為相近,且細(xì)節(jié)部分重建效果最好。

圖4 四倍放大倍數(shù)下地磁基準(zhǔn)圖重建效果對(duì)比Fig.4 Comparison of geomagnetic reference map reconstructed with magnification factor 4

表2 三倍放大倍數(shù)下不同方法PSNR、SSIM 和RMSE 指標(biāo)對(duì)比Table 2 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 3

表1 ～表3 為各種基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法在不同分辨率方法倍數(shù)下3 種指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果,表中加粗?jǐn)?shù)據(jù)為本文方法的仿真結(jié)果。 可以看出,各種指標(biāo)下本文方法均優(yōu)于其他方法,且放大倍數(shù)越大,優(yōu)勢(shì)越明顯。

表1 二倍放大倍數(shù)下不同方法PSNR、SSIM 和RMSE 指標(biāo)對(duì)比Table 1 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 2

表3 四倍放大倍數(shù)下不同方法PSNR、SSIM 和RMSE 指標(biāo)對(duì)比Table 3 Comparison of PSNR, SSIM and RMSE of different methods with magnification factor 4

4.2 字典初始化效果分析

在上述實(shí)驗(yàn)中一直使用含有50 000 圖像塊的數(shù)據(jù)集進(jìn)行字典訓(xùn)練,為驗(yàn)證文中字典初始化的實(shí)際效果,選取大小為1 600,3 200,6 400,12 800,25 600 和51 200 的圖像塊集進(jìn)行字典訓(xùn)練。 圖5 ～圖7 分別為3 種評(píng)價(jià)指標(biāo)下使用本文方法進(jìn)行初始化以及利用高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行初始化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 可以看出,在3 種評(píng)價(jià)指標(biāo)下,文中初始化方法都能夠使用更小的訓(xùn)練數(shù)據(jù)量達(dá)到更高的重構(gòu)精度。

圖5 三倍放大倍數(shù)下訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小對(duì)有/無(wú)先驗(yàn)信息字典重建基準(zhǔn)圖PSNR 值的影響Fig.5 Effect of training dataset size on reconstructed reference map PSNR of dictionaries with and without priori information with magnification factor 3

圖7 三倍放大倍數(shù)下訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小對(duì)有/無(wú)先驗(yàn)信息字典重建基準(zhǔn)圖RMSE 值的影響Fig.7 Effect of training dataset size on reconstructed reference map RMSE of dictionaries with and without priori information with magnification factor 3

4.3 噪聲魯棒性分析

為驗(yàn)證本文方法對(duì)于噪聲的魯棒性,對(duì)原始基準(zhǔn)圖添加不同等級(jí)的高斯白噪聲,對(duì)于3 倍的基準(zhǔn)圖分辨率放大倍數(shù),噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ設(shè)置為3 ～12 nT,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4 ～表6 所示,表中加粗?jǐn)?shù)據(jù)為本文方法的仿真結(jié)果。 可以看出,本文方法對(duì)噪聲的魯棒性要優(yōu)于其他方法。

表4 不同噪聲等級(jí)下各種方法PSNR 值對(duì)比Table 4 Comparison of PSNR of different methods under different noise levels

表6 不同噪聲等級(jí)下各種方法RMSE 值對(duì)比Table 6 Comparison of RMSE of different methods under different noise levels

圖6 三倍放大倍數(shù)下訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小對(duì)有/無(wú)先驗(yàn)信息字典重建基準(zhǔn)圖SSIM 值的影響Fig.6 Effect of training dataset size on reconstructed reference map SSIM of dictionaries with and without priori information with magnification factor 3

表5 不同噪聲等級(jí)下各種方法SSIM 值對(duì)比Table 5 Comparison of SSIM of different methods under different noise levels

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的高精度地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建方法,利用矩諧分析進(jìn)行稀疏字典的初始化,利用K-SVD 算法進(jìn)行字典訓(xùn)練,得出如下結(jié)論:

1) 稀疏表示在地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建中能夠取得較好的效果。

2) 基于矩諧分析的字典初始化方法能夠有效減小所需訓(xùn)練集大小,并提高字典性能。

3) K-SVD 算法能夠有效提高針對(duì)地磁基準(zhǔn)圖的稀疏字典訓(xùn)練效率。

4) 在不同的分辨率放大倍數(shù)下本文方法均優(yōu)于其他對(duì)比方法。

在未來(lái)的工作中,將繼續(xù)研究地磁場(chǎng)三分量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,從而進(jìn)一步提高對(duì)噪聲的抗干擾能力,提高基準(zhǔn)圖構(gòu)建精度,并將該方法應(yīng)用到實(shí)際地磁基準(zhǔn)圖構(gòu)建應(yīng)用中。