《正方體截面的形狀》教學設計

劉曉挺 顏甄璞 宋天嬌 劉京安 馬飛飛

一、內容簡介

本課例定位北師大版數學必修二第一章課題學習《正方體截面形狀》，以正方體截面為核心，讓學生通過小組合作學習的方式，觀察、猜測、實踐、探究，通過嘗試歸納，類比總結發(fā)現有關截面問題的知識點和學習方法，教師在教學過程中進行必要的指導，培養(yǎng)學生在立體幾何知識中的探究能力，解決直觀想象中如何引導學生如何通過“直觀”進行“想象”的問題，實踐落地高中立體幾何教學中學生“直觀想象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)問題。

二、教學目標

正方體是立體幾何中的萬能圖形，本節(jié)課設計平面“切”正方體的項目式教學，基礎目標是通過學生動手實踐和觀察，更好的直觀理解幾何體中點線面的位置關系，通過對點線面位置關系的理解，了解正方體截面多樣性的原因。主旨目標是希望通過“觀察——猜想——實驗——驗證——總結”的過程，培養(yǎng)學生空間想象、動手實踐、合作交流、分析判斷、推理論證、探索創(chuàng)造的能力，培養(yǎng)學生空間想象意識，落實“直觀想象”等數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

三、教學重點

正方體截面形狀的感觀認識，總結截面圖的性質，利用相關幾何公理、定理構造截面圖。

四、教學難點

掌握截面圖構造方法、發(fā)現規(guī)律，并能用規(guī)律解決問題。

五、教法學法

啟發(fā)引導式教學、自主學習、探究學習、合作學習

六、課前準備：

（正方體）蘿卜塊若干、美工刀、PPT等。

七、教學過程：

（一）情境引入

PPT視頻：廚師切土豆，不同方式切出不同樣式。

問題1：什么叫幾何體的截面？

截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體，得到的平面圖形，叫截面。

問題2：截面的邊是如何得到的？

截面的邊：平面和幾何體各面的交線。

（二）講授新課

問題3：正方體是立體幾何中一個重要的模型，如果我們用平面去“切”一個正方體，那么我們得到截面都有什么形狀？截面最多有幾條邊（給出分類原則）？

三角形、四邊形、五邊形、六邊形等。

（設計意圖：通過“切”引發(fā)學生對截面形狀的思考，嘗試激活直觀想象能力，激發(fā)學生學習興趣，為動手實踐做好準備。）

教學活動：學生分組切蘿卜實驗

要求：1.兩人一組（以同桌一組為宜）

2.先大膽猜想，再實踐操作，分析原因，最后做好記錄和總結。

3.注意安全，勿劃傷手指。

問題4：大家能“切”出什么形狀的截面（學生演示切的成果）

（設計意圖：引導學生對各種截面進行分類，進一步思考截面背后的原因，即如何能截出這樣的圖形）

問題5：如何“切”，使得截面成三角形，其構成形狀有哪些？（學生先想象，在實踐，教師嘗試引導學生總結規(guī)律：用一個平面截正方體一個角構成，平面經過正方體的三個面時，那么截面就是三角形。）

思考交流：能切出直角三角形、鈍角三角形么？為什么？

（設計意圖：進一步從直觀圖形中感知圖形背后的原因，引導學生討論、分析出截面的成因，從教學中落地直觀想象不是只是看圖或者數形結合，更重要的是通過圖去理解知識、歸納總結）

問題6：從三角形進階到四邊形→如何切，使得截面成四邊形，其構成形狀有哪些？（學生演示切的成果）

當切面經過正方體的四個側面時，所得截面可能是正方形、長方形、平行四邊形、梯形。

思考交流：能切出任意四邊形、直角梯形么？為什么？

問題7：如何“切”，使得截面成五邊形？

當平面經過正方體的一個頂點和其它四條棱時，所得截面是五邊形。

思考交流：能切出正五邊形么？

問題8：如何“切”，使得截面成六邊形？

當平面經過正方體六條棱時，所得的截面是六邊形。

思考交流：能切出正六邊形么？能切出七邊形么？為什么？

（問題6-8設計意圖：一生二、二生三，三生萬物，引導學生通過類比和在腦海中進行“想象”，再通過觀察直觀圖形和實物實踐的方式進行驗證，最后對截面進行量化小結，完成對學生直觀想象的核心素養(yǎng)培養(yǎng)）

（三）總結交流

可能出現三角形：銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形。

四邊形：正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形、等腰梯形。

五邊形、六邊形、正六邊形。

不可能出現鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形、更多邊形

（設計意圖：讓學生經歷數學知識的生成過程，再進行小結，完成從感性到理性的過程，借助幾何直觀圖形和空間想象來感知事物形態(tài)與變化，培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)。）

（四）例題講解

例1：木工在處理如圖所示的一塊正方體木料時，發(fā)現木料表面有一塊裂紋，他打算沿裂紋將木料鋸開，卻不知道如何畫線，你如何幫他解決問題？

例2：如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（ ）

A.62 B.42 C.6 D.4

分析：由網格中的三視圖可推斷該幾何體為四面體，故可將四面體放置于棱長為4個單位的正方體中去研究。

例3：已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為多少？

分析：

由此推斷截面與棱交點為棱中點，最后可根據6個全等三角形面積公式求得。

（例題設計意圖：通過例題聯系知識點，發(fā)現立體幾何中點、線、面、角之間的關系，借助正方體直觀圖解決問題，考察學生直觀想象能力的具體掌握情況）

（五）課堂小結

讓學生暢所欲言，說學到的數學知識、數學思想方法;說學習方法、學習體會，逐步養(yǎng)成歸納總結的習慣。

（六）課后作業(yè)：

作業(yè)1：寫一份學習報告。

作業(yè)2：截面問題課后拓展（開放題）

制作三棱錐、柱、臺幾何體實物。

如果用平面“切”其它幾何體（長方體、棱錐、棱臺、圓錐、圓柱等），其截面是什么圖形？如果截面是已知常規(guī)圖形（長方形、三角形），則原被截的幾何體可能是什么？

（設計意圖：舉一反三，培養(yǎng)學生學會學習的能力）

（七）板書設計：

1 陜西省碑林教師進修學校 2 西安市第二十六中學太乙分校 3 西安市第八十二中學4 西安市第六中學 5 西安市第三中學