分離參數(shù)法在解高考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

摘 要：結(jié)合高考實(shí)例分析說明了分離參數(shù)法在解高考數(shù)學(xué)題中的討論方程根的個(gè)數(shù)、判斷函數(shù)的零點(diǎn)問題、解決不等式恒成立等多方面的應(yīng)用，進(jìn)而說明這種方法往往可以使問題簡(jiǎn)化，達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：分離參數(shù)法;高考數(shù)學(xué)題;零點(diǎn)問題

所謂“分離參數(shù)法”是指在含有兩個(gè)量（一個(gè)參數(shù)和一個(gè)變量）的關(guān)系式（不等式或方程）中，要求變量的取值范圍，可以將變量和參數(shù)分離（即變量和參數(shù)各在等式或不等式的一端），從而求出變量的取值范圍或者是判斷解的存在性問題。它在求函數(shù)的值域或最值、數(shù)列求和、討論方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析、不等式的恒成立判定以及根的存在性問題等諸多方面均有廣泛的應(yīng)用，而且利用這種方法可使解答問題簡(jiǎn)單化，達(dá)到事半功倍的效果。下面結(jié)合高考數(shù)學(xué)題實(shí)例來進(jìn)行分析說明。

1 ?分離參數(shù)法在求解函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

例1 ?若關(guān)于x的函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且M+N=4，則實(shí)數(shù)t的值為多少？

分析：先將該函數(shù)進(jìn)行參數(shù)分離，然后利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其最大值與最小值之和為零，得到M+N=2t，從而求得t的值。

解：對(duì)該函數(shù)進(jìn)行參數(shù)分離得，令，因?yàn)間（x）是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以最大值與最小值之和為零，從而得到M+N=2t，故有t=2.

評(píng)注：題目中出現(xiàn)最大值與最小值之和等問題，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱性問題來解決，通過參數(shù)分離后出現(xiàn)了奇函數(shù)，再結(jié)合奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性可以快速解決問題。此題如果是直接對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其最大值與最小值，在利用已知條件求出參數(shù)t將極為麻煩。

2 ?分離參數(shù)法在討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)中的應(yīng)用

例2 ?已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，，若函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ? ?（2014年高考江蘇卷第13題）。

分析： 要求函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個(gè)不相同的零點(diǎn)，通過分離參數(shù)a轉(zhuǎn)化為要求函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=a在區(qū)間[-3，4]上有10個(gè)不相同的交點(diǎn)。

解 ?根據(jù)函數(shù)的圖象：

有;當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，;同時(shí)知 .

關(guān)于x方程f（x）- a=0即f（x）=a在x∈[-3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)，即曲線y=f（x）與直線y=a在[-3，4]上有10個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的周期為3，所以直線y=a與曲線有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由于曲線y=f（x）與直線y=a在x∈[3，4]上還有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

評(píng)注：如果直接求原函數(shù)在 x∈[-3，4] 上有10個(gè)不同的零點(diǎn)，通過分類討論將十分復(fù)雜，這里我們通過分離參數(shù)將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f（x） 圖像與直線y=a的交點(diǎn)，利用周期性即可很快地求出所求參數(shù)a的取值范圍，方法簡(jiǎn)潔、事半功倍。

3 ?分離常數(shù)法在討論函數(shù)極值問題中的應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)（k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.（2014年高考山東卷理科第20題）

分析：這里要求函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，如果是用列表法分別求其單調(diào)區(qū)間再來判斷，將極為復(fù)雜，我們采取的辦法是通過分離參數(shù)k快捷簡(jiǎn)便。

解 ?（1）. 當(dāng)k≤0時(shí)，得，所以與x-2同號(hào)，得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是.

（2）由（1）的結(jié)論知，，與同號(hào).

設(shè)，得.

所以函數(shù)在（0，1），（1，2）上分別是減函數(shù)、增函數(shù).又因?yàn)椋院瘮?shù)在（0，2）有兩個(gè)零點(diǎn).

設(shè)這兩個(gè)零點(diǎn)分別是，還可證它們分別是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn).所以所求k的取值范圍是.

評(píng)注：在求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)后，通過參數(shù)分離再令，然后對(duì)的單調(diào)性和極值進(jìn)行求解，進(jìn)而得出的范圍，最后求得參數(shù)的取值范圍。

4 分離常數(shù)法在求解恒成立、存在性問題中的應(yīng)用

例4 ?設(shè)函數(shù).若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿足恒成立，則m的取值范圍是（ ?）。（2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷II理科第12題）

A. B.

C. D.

分析：這里要求出m的取值范圍，針對(duì)條件中的不等式恒成立，通過參數(shù)分離實(shí)際上是要求出不等式左邊的最大值即可。

解 ?.得Z）（還可得這樣的x0一定是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)）.

滿足，即Z滿足，也即，還即，進(jìn)而可得答案為C.

評(píng)注：在許多針對(duì)不等式恒成立或者是解的存在性問題時(shí)，我們往往可以通過參數(shù)分離的辦法將所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值、極小值問題。

綜上所述，分離參數(shù)法在高考數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它的本質(zhì)實(shí)際上是轉(zhuǎn)化與化歸的思想，通過參數(shù)分離將一些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題或者是已經(jīng)熟練掌握了的問題，這樣往往可以化繁為簡(jiǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王后雄主編. ?高考標(biāo)準(zhǔn)教材數(shù)學(xué)理數(shù)[M]，湖北教育出版社，2014.03.

[2]牛玉勝總主編. 高中數(shù)學(xué)萬能解題模版[M].湖南師范大學(xué)出版社，2014.04.

[3]許楠桸，許賽飛. 例談“非等價(jià)轉(zhuǎn)化”方法解高考數(shù)學(xué)題[J].2021.（1）：274-280.