從幾道高考題談?dòng)薪绱艌龅呐R界與極值問題的數(shù)理方法

摘 要：帶電粒子在有界磁場的臨界與極值問題，需要挖掘隱含條件、分析臨界狀態(tài)、確定極值條件、明了幾何關(guān)系、結(jié)合數(shù)學(xué)知識、運(yùn)用物理規(guī)律，對空間想象能力、推理分析能力要求較高.分類掌握帶電粒子在有界磁場運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問題的數(shù)理分析方法.

關(guān)鍵詞：高考題;有界磁場;臨界;極值;數(shù)理方法;幾何關(guān)系

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）01-0088-03

作者簡介：胡衛(wèi)雄（1976-），男，中學(xué)高級教師，從事高中物理教學(xué)研究.

在研究帶電粒子在洛倫茲力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)常會遇到粒子通過有界磁場區(qū)域的運(yùn)動(dòng)情形，往往因?yàn)槌跏妓俣炔煌?，所處的磁場磁感?qiáng)度大小不定，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，同時(shí)由于邊界的約束從而產(chǎn)生 “恰好”“最大”“至少”等臨界與極值問題，本文以幾道高考題為例，分類討論通過帶電粒子在有界磁場運(yùn)動(dòng)的的臨界極值問題的數(shù)理分析方法.

一、帶電粒子恰好不穿出磁場區(qū)域的臨界問題

當(dāng)帶電粒子通過有界磁場區(qū)域時(shí)，如果帶電粒子的初始速度不同，所處的磁場磁感強(qiáng)度大小不定，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，由于邊界的約束從而產(chǎn)生“恰好”不穿出磁場區(qū)域的臨界情形，此類問題一般需要推理出帶電粒子恰好不穿出磁場區(qū)域的臨界條件（在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切），畫出臨界條件下的的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，應(yīng)用“臨界軌跡+幾何關(guān)系”，結(jié)合帶電粒子在洛倫茲力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律列方程聯(lián)立求解.

例1 （2020·全國卷Ⅲ第18題）真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖1所示.一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場.已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）.

點(diǎn)評 本題中，電子的速度大小恒定為v，方向確定為沿半徑方向，因?yàn)榇鸥袕?qiáng)度大小不確定，運(yùn)動(dòng)半徑不確定.以入射點(diǎn)B為定點(diǎn)，圓心位于與初速度垂直的同一直線BA上，將半徑放縮作軌跡，作出一組如圖3所示的半徑逐漸增大的“縮放圓”.分析中，重點(diǎn)在于利用放縮的動(dòng)態(tài)軌跡圓，找出臨界條件下（與半徑為3a的圓柱面相切）的“臨界軌跡”，分析臨界條件下的幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律求解.

二、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值問題

當(dāng)帶電粒子通過有界磁場區(qū)域時(shí)，如果帶電粒子的初始速度不同，運(yùn)動(dòng)圓半徑不同，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，由于邊界的約束，各粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長短不一樣，從而產(chǎn)生粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值求解問題.如果磁場的磁感強(qiáng)度恒定，帶電粒子的荷質(zhì)比相同，各粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期相同，則可根據(jù)圓心角判斷時(shí)間的極值：粒子運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角越大，時(shí)間越長.此類問題一般需要推理出帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值條件（圓心角最大），畫出極值條件下的的運(yùn)動(dòng)軌跡圖， 應(yīng)用“極值軌跡+幾何關(guān)系”，結(jié)合物理規(guī)律求解.如果不容易畫出極值條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，則可應(yīng)用“一般軌跡+幾何關(guān)系”，得到相關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)方法求極值條件，再結(jié)合物理規(guī)律求解.

例2 （2020·全國卷Ⅰ第18題）一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖4中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）.

點(diǎn)評 本題中，應(yīng)為入射點(diǎn)的位置在發(fā)生變化，對應(yīng)四個(gè)選項(xiàng)中，SO與MN的夾角各不相同，方法一要分別分析四種情形下的“極值軌跡+幾何關(guān)系“，應(yīng)用方法二只需析一種情形下的極值和幾何關(guān)系，不過方法二對幾何關(guān)系的分析和三角函數(shù)知識要求較高，具體問題中還需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的解決方法.

綜上所述，帶電粒子在有界磁場的臨界極值問題，需要挖掘隱含條件、分析臨界狀態(tài)、確定極值條件、明了幾何關(guān)系、結(jié)合數(shù)學(xué)知識、運(yùn)用物理規(guī)律，對空間想象能力、推理分析能力要求較高.在分析過程中，對應(yīng)相關(guān)的問題模型，可以利用動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用“臨界或極值軌跡+幾何關(guān)系”，探索臨界與極值條件，結(jié)合物理規(guī)律解決問題;也可以采用“一般軌跡+幾何關(guān)系”，推理相關(guān)物理量的函數(shù)關(guān)系，利用數(shù)學(xué)知識求解臨界極值條件，結(jié)合物理規(guī)律求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]薛娜.極值在物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2016，45（22）：58-59.

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