巧用同角三角關(guān)系式破解數(shù)學(xué)難題

杜占杰

摘 要：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是三角函數(shù)里面的重要內(nèi)容之一，它既是對(duì)三角函數(shù)定義的規(guī)律總結(jié)又是誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)中不僅要理解公式的含義，進(jìn)行簡(jiǎn)單的代換，而且要對(duì)公式靈活變換應(yīng)用，這不僅是夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的需求，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的手段。

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是三角函數(shù)一章中重要的一節(jié)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)的定義后，由定義推導(dǎo)出兩個(gè)基本的同角關(guān)系式，我們稱(chēng)之為：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即：平方關(guān)系sin2a+cos2a=1，商數(shù)關(guān)系。這兩個(gè)公式的推導(dǎo)可以結(jié)合三角函數(shù)的定義來(lái)進(jìn)行。推導(dǎo)過(guò)程比較容易理解，但要靈活應(yīng)用公式學(xué)生有較多的困難。所以教師的講解說(shuō)明特別重要，一定要讓學(xué)生理解同角的含義也就是公式中的角度a要一致，a的取值為任意角?！凹埳系脕?lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，任何知識(shí)定理的學(xué)習(xí)都不可能一蹴而就，也不可能僅憑教師的幾句講解就能完全理解，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，基礎(chǔ)知識(shí)，思維能力各不相同，所以學(xué)習(xí)效果也大相庭徑。教師要做的就是盡可能照顧到絕大多數(shù)同學(xué)，因材施教，從基本的題型開(kāi)始訓(xùn)練，步步為營(yíng)，因而題目的選擇就非常重要了，過(guò)于簡(jiǎn)單，大部分同學(xué)一看就會(huì)，毫無(wú)挑戰(zhàn)性，那就起不到提高能力水平的作用，如果題目太難，大部分同學(xué)望而生畏，直接放棄，這樣的教學(xué)也是失敗無(wú)疑。根據(jù)筆者對(duì)學(xué)生多年教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，題目選擇要參考所帶班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，是學(xué)生跳一跳能夠得著的，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

鑒于所帶學(xué)生基礎(chǔ)較差，數(shù)學(xué)思維能力薄弱，動(dòng)手實(shí)踐能力不夠，公式應(yīng)用以最基本的題目開(kāi)始，一方面提高學(xué)生學(xué)習(xí)自信，另一方面鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力，會(huì)算要保障能算對(duì)。

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之一：求值.

已知tanα=-，且α是第二象限角，求α的正弦和余弦值.

解由題意得

sin2α+cos2α=1，①

.②

由②，得sinα=-cosα，代入①式得

6cos2α=1，cos2α=.因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以cosα=-，代入③式得sinα=-cosα=-×（-）=.

題目本身不難，但涉及到二元一次方程組的解法，有部分學(xué)生在解方程時(shí)出現(xiàn)困難，所以這里可以及時(shí)復(fù)習(xí)方程組的解法，比如加減消元法，代入消元法等，查缺補(bǔ)漏，數(shù)學(xué)知識(shí)的積累在于平時(shí)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，切不可掉以輕心。

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之二：化簡(jiǎn)：

Sin4a+sin2acos2a+cos2a

本題目涉及到的三角函數(shù)有2次方和4次方，對(duì)于有高次方的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)引導(dǎo)學(xué)生將高次方降次，但要保證不改變?cè)降闹?，也可以通過(guò)將低次變高次與原來(lái)的高次方正負(fù)抵消，思路比結(jié)果要重要，所以多給學(xué)生留思考的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生多維度思考，不要輕易否定學(xué)生不成熟的想法。通過(guò)筆者引導(dǎo)，學(xué)生交流探討，有這樣兩種不同的解題思路：

方法一：前兩項(xiàng)提公因式sin2a可得sin2a（sin2a+cos2a）+cos2a，由于括號(hào)中的部分為平方和公式直接為1，則上式化為sin2a+cos2a=1

方法二：將第二項(xiàng)中的cos2a用公式替換為1-sin2a可得sin4a+sin2a（1-sin2a）+cos2a=Sin4a+sin2a-sin4a+cos2a=sin2a+cos2a=1

反思本題，化簡(jiǎn)過(guò)程的變形可以是降低次數(shù)也可以是升高次數(shù)，不論何種運(yùn)算目的都是要將復(fù)雜的式子簡(jiǎn)化，所以不必過(guò)于拘泥用何種形式，方法越多越利于學(xué)生思維拓展與培養(yǎng)。

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式應(yīng)用之三：證明.

證法1：

因?yàn)?/p>

所以

證法2：因?yàn)樽筮?/p>

右邊

所以 ?左邊=右邊.即原等式成立.

證法3：將原式交叉相乘可得：

Cos2a=（1+sina）（1-sina）即：cos2a=1-sin2a式子成立。即原等式成立。

上述三種證法從不同的角度給出證法，都能很好的解決問(wèn)題，這些方法無(wú)好壞之分，適合學(xué)生本人的就是好方法，教師適當(dāng)引導(dǎo)，指點(diǎn)即可，具體的思路，操作實(shí)踐需由學(xué)生自主決定。給出不同的方法是為了讓學(xué)生借鑒吸收，取人之長(zhǎng)，拓寬自己的解題思路。

培養(yǎng)逆向思維，公式中“1”的妙用，學(xué)生習(xí)慣于公式的順推，也就是公式的展開(kāi)，因?yàn)椴徽摴降耐茖?dǎo)還是講解都是順著進(jìn)行的，但數(shù)學(xué)中的逆行思維必不可少，有時(shí)候的逆向思維可以起到意想不到的作用。

例：求證：

本題的證明看似無(wú)從下手，但如果能意識(shí)到“1”的特殊性，便會(huì)柳暗花明又一村，這里的“1”不僅僅代表生活中的數(shù)量關(guān)系，1個(gè)人，1張桌子，它在三角函數(shù)中有特殊的含義：

1=sin2a+cos2a，如果能將上式中的1轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)，那么這道題便可迎刃而解了。所以有時(shí)候的化簡(jiǎn)或證明，在實(shí)際操作中不一定是把復(fù)雜的往簡(jiǎn)單的方向變，有時(shí)候反其道而行之往往起到意想不到的效果。

綜上，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法靈活多變，平方關(guān)系，商數(shù)關(guān)系可以經(jīng)過(guò)不同的變換而形成新的表達(dá)式，例如移項(xiàng)、、平方等，不同的形式應(yīng)用到不同類(lèi)型題目會(huì)化繁為簡(jiǎn)，化難為易，至于用哪種形式不能一概而論，要具體問(wèn)題具體分析。正如教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法。學(xué)生的自主探索，合作探究固然重要，但學(xué)習(xí)的能力，時(shí)間有限，學(xué)生不可能高屋建瓴，整體把握，這就需要教師的引導(dǎo)，激發(fā)給學(xué)生提供必要的腳手架幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)過(guò)程。

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