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    恒成立問題的另類解法

    2021-09-10 17:04:04景來峰楊長智
    高考·上 2021年1期
    關(guān)鍵詞:恒成立分類討論導(dǎo)數(shù)

    景來峰 楊長智

    摘 要:新課標(biāo)下的恒成立是高中數(shù)學(xué)的常見問題,它主要考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù),方程與不等式,函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用。同時滲透換元,轉(zhuǎn)化與化歸,函數(shù)與方程的思想方法,尤其導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)更為明顯,是歷年高考的熱點問題??陀^題中的恒成立問題,通過分離參數(shù)或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值基本能夠解決,但主觀題的恒成立問題,經(jīng)常是以壓軸題的形式出現(xiàn),同學(xué)們做起來,經(jīng)常感到思路不暢,解答不完整,通法難以套用等。下面我就導(dǎo)數(shù)大題的恒成立問題,并結(jié)合高考題談一下思路和方法。

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);恒成立;放縮;分類討論;兩個小不等式等

    一、觀察端點函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性

    例1:設(shè)函數(shù)若對恒成立,求m的取值范圍。

    分析:觀察端點函數(shù)值f (x)=0,原題即為x>1恒有f (x)>f (1),所以只需討論m,說明f (x)在單增即可,但是不能按f (x)是單增函數(shù)求m范圍,因為f (x)在(1,+∞)單增是 f (x)>0(1,+∞)恒成立的充分不必要條件。

    解:

    令g (x)=x2+x-m,g (x)在(1,+∞)單增且g (1)=2-m

    (1)當(dāng)即時

    在(1,+∞)是增函數(shù)

    所以 ?f (x)在(1,+∞)為增函數(shù)

    對,有,適合題意

    (2)當(dāng)即時

    令得

    當(dāng)時,即

    在上是減函數(shù)

    當(dāng)時,不適合題意

    所以m取值范圍是

    方法總結(jié):若題目為:時恒成立,求f (x)中參數(shù)的取值范圍。先觀察端點函數(shù)值,若,即轉(zhuǎn)化為討論參數(shù),說明f (x)在單增(單減)即可,上題中在的單調(diào)性是明確的,如果不明確,需要二次求導(dǎo)。有的題目需要變形后才能轉(zhuǎn)化成上面的類型。

    例2:(14年全國高考) 已知函數(shù)

    (1)討論f (x)的單調(diào)性

    (2)設(shè),當(dāng)求b的最大值。

    (1)略

    (2)

    分析:觀察即 所以只需討論b,說明即可。

    簡解:

    因為

    ①當(dāng)即時

    在R上單增適合題意

    ②當(dāng)即時

    令得

    當(dāng)是減函數(shù)不合題意

    所以b取值范圍是,b最大值為2.

    方法總結(jié):本題端點函數(shù)值為零,然后通過整體思想或者換元,轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的單調(diào)性問題。

    例3(2020全國理科) ? 已知函數(shù)

    (1)當(dāng)時 討論f (x)的單調(diào)性

    (2)當(dāng)時 ,求的取值范圍.

    (1)略

    分析(2)若令

    觀察到:即。所以可以轉(zhuǎn)化為討論,說明即可,但是幾次求導(dǎo)后不能轉(zhuǎn)化為上面的題型,討論單調(diào)性。因此需先把原題變形一下:即。

    分析:令,觀察端點函數(shù)值 ,即,所以只需討論,說明g (x)在(0,+∞)單減即可

    簡解:

    ①當(dāng)即時

    g (x)為增函數(shù)時不合題意

    ②當(dāng)即時

    單減

    單減極大值

    由要使只需

    由解得

    ③當(dāng)即時 ? ?因為

    可以說明當(dāng) ? 恒成立

    也可以直接說明

    綜上的取值范圍是

    方法總結(jié):本題雖說符合這種解法,但是沒法直接討論其單調(diào)性,需要變形后再討論。適當(dāng)?shù)淖冃问顷P(guān)鍵。

    二、對參數(shù)進行分類,在每一類下說明不等式是否恒成立。

    這種題有兩個關(guān)鍵點,一是參數(shù)的范圍如何劃分,二是怎么說明不等式是否成立,說明不成立,找到特值或區(qū)間,說明成立需要進行征明,可能用到兩個小不等式的放縮。

    如4(15年四川高考)已知函數(shù)

    討論f (x)的單調(diào)性

    試確定a的值,使得在區(qū)間(1,+∞)恒成立

    過程略①單增

    ②時是增函數(shù), 是減函數(shù)

    (2)分析:若令雖說

    即:時,恒成立但無法討論,說明g (x)的單調(diào)性

    簡解:1°當(dāng)時

    而即

    不成立

    2°由(1)的結(jié)論可知:①當(dāng)即時

    由①知f (x)在單減

    所以而原式不成立

    ②當(dāng)即時(說明g (x)單增即可)

    在(1,+∞)是增函數(shù)

    所以:當(dāng)適合題意

    取值范圍是

    方法總結(jié):由根據(jù)單調(diào)區(qū)間對 進行了分類然后在每一類下,進行說明或證明,其中證明時用到放縮①

    如5.(2020全國高考)已知函數(shù)

    (1)時求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。

    (2)若求的取值范圍

    簡解:(1)略

    (2)

    在是增函數(shù)

    ①當(dāng)時 不成立

    ②當(dāng)時是增函數(shù),且f '(1)=0

    ,f (x)單減,f (x) ?單增

    所以 所以恒成立

    ③當(dāng)時

    使即

    f (x)單減

    f (x)單增

    時 恒成立

    綜上的取值范圍是

    方法總結(jié):本題根據(jù)的正負對進行分類,而說明成立,相當(dāng)于隱零點求最值,當(dāng)然本題也有其它簡單的解法。

    以上就是我對恒成立問題的兩種解法的總結(jié),當(dāng)然恒成立問題,靈活多變,綜合性強。在掌握基本方法的前提下,觀察式子特點,通過化歸思想,轉(zhuǎn)化為熟知的類型。

    參考文獻

    [1]楊秀.一類恒成立問題的解法探究[J].中學(xué)生理科應(yīng)試 2020(08):8-9.

    [2]洪汪寶.一道恒成立問題的多種求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二使用) 2020(Z1):72-73.

    [3]何成寶.淺談不等式恒成立問題的類型及其求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二使用) 2020(Z1):80-81.

    [4]周亮.高中數(shù)學(xué)含參不等式恒成立問題解題策略[J].試題與研究 2020(18):24.

    [5]曹彬.一個函數(shù)不等式恒成立問題的兩種解法[J].數(shù)理化解題研究 2020(16):49-50.

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