基于類比思想的解題研究

劉玲玲

摘要：類比思想方法是一種數(shù)學思想方法，可以幫助學生形成良好的解決數(shù)學問題的思維習慣，并鍛煉學生舉一反三的思維，對于初中數(shù)學教學質量的提升有著事半功倍的作用. 本文根據(jù)類比思想的特點探討圖形旋轉中的類比這種類型，主要目的在于通過研究類比探究題的相關內容，闡述類比思想在數(shù)學解題中的應用.

關鍵詞：類比思想;中學數(shù)學;解題教學

一、類比思想的內涵

類比最早的起源地在希臘，大意是通過觀察猜想事物之間一些特征的相似度然后極大限度地推演為事物的相似. 心理學是最早開始探索有關類比思想奧秘的學科，且大量研究表明類比思想已經(jīng)有較多而且比較成熟的研究成果.美國著名心理學家桑代克（Edward Lee Thorndike）提出：任何事物都有其獨有的特點，學生在不清楚某一事物的特性時，應從基礎抓起，了解事物的基本特質，順藤摸瓜找到其本質，從而觸類旁通、舉一反三地解決其他有著類似特質的問題. 在數(shù)學發(fā)展史上，其中受類比思想的影響最大的是美籍匈牙利數(shù)學家波利亞（Geoeg Polya），在他的三本著作《怎樣解題》、《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學與猜想》中，大量地提到了類比推理[1]. 之后，波利亞又提出了合情推理的概念，所謂合情推理，是由已經(jīng)存在且正確的基本事實或根據(jù)個人數(shù)學直覺而進行的一種大膽推測猜想.類比是根據(jù)兩個（或兩類）不同的對象之間在某些方面或相似之處猜測他們在其他方面也有可能有相同或相似，并做出某種判斷的推理方法[2].

二、類比思想在中學數(shù)學教學中的應用價值

（一）培養(yǎng)學生解題意識和探究精神

誠如數(shù)學家歐拉所言：“類比是偉大的引路人. ”在剖析數(shù)學問題時，充分地利用“類比”思想去探究分析問題本質，排除思維障礙，會大大提高學生解決問題的能力和效率. 教學實踐證明，從類比思想的角度審視數(shù)學問題并以此滲透到解題實踐，對培養(yǎng)學生的解題意識和探究精神，使學生從中真正感受數(shù)學應用的廣泛性都是十分必要的.

（二）加強各個數(shù)學知識點之間的聯(lián)系

事實上，學生是否能夠扎實地掌握各個知識點，并且能夠將其串聯(lián)到起，對于學生是否能夠盡快形成數(shù)學思維，強化學生的學習效率有很大的影響. 類比思想，賦予了教師更豐富的教學手段，也給予了學生更廠闊的聯(lián)想空間，可以推動學生自主地學習很多新的知識、方法，尋求出與眾不同的解題思路，探索數(shù)學內在規(guī)律[3].

三、圖形旋轉中的類比解題研究

在初中的數(shù)學中，圖形的變換被廣泛使用，主要有：對稱、平移、旋轉與位似，在初中幾何題型中常出現(xiàn)的是圖形旋轉. 旋轉作為一種基本的圖形變換方法，讓學生通過它的動態(tài)過程，感悟、猜想、驗證幾何圖形所具有性質的“變”與“不變”[4]. 在教學過程中，這類題目的關鍵之處在于掌握特殊到一般的研究方法，由特殊圖形的性質和特點逐步探究出一般題型的性質. 類比探究題是考試中的十分重要的新題型，其樣式多變、考察范圍廣、覆蓋知識面廣，這類題型應引起教師足夠的重視.

例3. 1如圖2，△ABC與△EDC為等腰直角三角形，AC=BC=12，DE=DC=4，，將繞著點旋轉.

（1）初步嘗試，如圖3，在旋轉過程中，當A，C，E三點共線（E在AC延長線上）時，連接BE，過D點作AE的垂線交于點G，交BE于點F，則的長為 .

（2）探究證明，如圖4，在旋轉過程中，連接AE，BE，過D點作AE的垂線交AE于點G，交BE于點F，猜想EF與BF的數(shù)量關系并證明.

（3）探究拓展，如圖5，在（2）的條件下，連接CF，AF，當AF最小時，請直接寫出△ACF的面積.

【考點】圖形的旋轉、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質、三角形面積的計算

【專題】類比探究題

【分析】（1）利用勾股定理，結合題中條件易計算出的值，繼續(xù)運用勾股定理可計算出的值;利用平行線的判定可以得出再利用三角形的中位線性質為的中位線，即，再利用為的中點，從而求得的長.

（2）. 將繞點逆時針旋轉得到，連接，，如圖6，由旋轉性質出發(fā)，易先證出全等于，得出，由可得出，由平行線的判定可得出，應用問題（1）的方法即可得出結論，與其不同之處在于第（2）問僅僅是將進行了旋轉變化，證明了三角形全等后得到其對應角相等，這是第一問的升華以及深層次的挖掘. 第（2）問的證明過程充分運用了類比思想方法，清晰展現(xiàn)了類比思想在解題中的優(yōu)勢.

取的中點，連接，，如圖7，要使最小，只有當點在線段上，根據(jù)三角形中位線定理可求得的長，進而利用三角形面積的比例關系求得，從而得出.

【點評】這道以三角形旋轉為背景的類比探究題涉及知識點有三角形中位線性質，平行線的判定，三角形全等判定，三角形旋轉的性質等等.這道題的解決過程極大地考查了類比在解題的應用以及學生的邏輯推理能力. 學生首先需要作出定性分析、判斷、甚至猜想，明確解題方向，再進行更加具體的分析、論證. 運用類比，可以讓學生在比較中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律與方法，并能運用這種方法來解決新的問題，有利于強化學生的解題能力. 類比法是學生發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段，甚至是發(fā)現(xiàn)新知識、新規(guī)律的重要手段.

由上述探索可見，充分運用類比思想猜想、分析、判斷、論證數(shù)學問題是解決數(shù)學問題的一個重要且關鍵的思想方法，具有十分現(xiàn)實和長遠的意義. 事實上，要在解題研究中進行創(chuàng)新必然要把數(shù)學思想方法的教學置于一個重要的地位.

參考文獻：

[1]羅欽. 高中數(shù)學教學中類比思想的應用[D].西華師范大學，2019.

[2]孫春陽. 類比思想在數(shù)學教學中的滲透[J]. 初中數(shù)學教與學，2014（02）：20-22

[3]徐美娟. 類比思想在高中數(shù)學教學中的應用研究[D].南京師范大學，2015.

[4]杜洪格. 初中數(shù)學類比探究題的實踐研究[D].洛陽師范學院，2019.