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    汲取源頭活水 深挖基本事實(shí)

    2021-09-10 07:22:44殷美喬
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年1期
    關(guān)鍵詞:核心知識(shí)最值核心素養(yǎng)

    殷美喬

    摘 要:初中幾何求最值問題是比較常見的題型,基于課堂教學(xué)的有效性,本文針對(duì)初三中考復(fù)習(xí)時(shí)如何在自己的課堂教學(xué)中深挖“兩點(diǎn)之間,線段最短”的基本事實(shí)求,通過利用旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱和三角函數(shù)等來轉(zhuǎn)化求最小值問題的題型分析,以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)之目的。本文對(duì)初三中考復(fù)習(xí)時(shí)如何在自己的課堂教學(xué)中深挖“兩點(diǎn)之間,線段最短”的基本事實(shí)求最小值的題型分析,請(qǐng)各位同行和專家不吝賜教。

    關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);最值;將軍飲馬;核心知識(shí)

    初中幾何的最值問題一直以來都是各地中考的熱門考點(diǎn)和難點(diǎn),最值問題往往會(huì)涉及到動(dòng)點(diǎn)、軌跡,又可以結(jié)合函數(shù)和幾何圖形,問題錯(cuò)綜復(fù)雜,學(xué)生處理起來難度很大?!皟牲c(diǎn)之間,線段最短”是初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中界定的九大基本事實(shí)之一[1],這個(gè)看似最簡(jiǎn)單,最清楚不過的數(shù)學(xué)原理,往往是部分初中幾何求最值問題的一個(gè)重要的依托點(diǎn)和核心知識(shí)的來源。把握核心知識(shí),汲取源頭活水,讓學(xué)生游刃有余的解決此類問題。

    一、課本出發(fā)

    1.初識(shí)“將軍飲馬”

    浙教版教科書七年級(jí)上冊(cè)P149頁第六章《圖形的初步認(rèn)識(shí)》6.3《線段的長短比較》這一節(jié)中學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)基本事實(shí)。

    浙教版教科書八年級(jí)上冊(cè)P5頁第一章《三角形初步知識(shí)》1.1《認(rèn)識(shí)三角形》這一節(jié)中學(xué)習(xí)了“三角形兩邊之和大于第三邊”這個(gè)性質(zhì)。

    浙教版教科書八年級(jí)上冊(cè)P50頁第二章《特殊三角形》2.1《圖形的軸對(duì)稱》中例2第一次提出了“將軍飲馬”的模型。

    “三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)是由“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中界定的九大基本事實(shí)之一直接得到的,兩者實(shí)際上完全相通的,學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱以后“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)模型就順理成章了。

    現(xiàn)在我們反過來思考“將軍飲馬”模型的建立的要點(diǎn)有二:首先要找到其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),即化同側(cè)為異側(cè);其次是三點(diǎn)共線運(yùn)用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解決。圍繞核心知識(shí)點(diǎn)逐層深入,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研習(xí)教材,我們不難發(fā)現(xiàn)這其實(shí)也很清晰的提出一條幾何學(xué)習(xí)的思路和方法。要想做到這一點(diǎn),關(guān)鍵還在于多研習(xí)教材,拓展思維,并且對(duì)核心知識(shí)做到心領(lǐng)神會(huì)。

    2.將軍二次飲馬

    了解將軍飲馬的基本模型構(gòu)建,能在不同的背景比如三角形、四邊形、圓和坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)用,是為善也;如果能及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn),將此模型加深拓展,根據(jù)不同情境和自身實(shí)際選擇調(diào)整解題方法和策略,則善莫大焉。作為初三的復(fù)習(xí)課,下面的題學(xué)生可能見過,但是是否與上面所講的知識(shí)點(diǎn)自己主動(dòng)聯(lián)系過呢,或者是否主動(dòng)將此類題歸類過呢?

    例題:如下圖,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn),且OP=3,點(diǎn)Q,R分別在OA,OB上,則?PQR的最小周長是 ? ? ? ? ? ? ?.

    解析:定角∠AOB內(nèi)一定點(diǎn),OA、OB兩定邊類似兩河流,求?PQR的最小周長,即將軍兩次河邊飲馬回營總路程。由此,分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)P與P’’,如上圖:當(dāng)P、Q、R、P’’四點(diǎn)在一條直線上,即“兩點(diǎn)之間,線段最短”,有周長最小。

    反思:以上習(xí)題是將軍飲馬的變式,舉一而反三,化兩動(dòng)為兩靜?;旧隙嫁D(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線,“兩點(diǎn)之間,線段最短”,只要對(duì)核心知識(shí)和關(guān)鍵的模型掌握好,學(xué)生應(yīng)該都不難想到解決問題的辦法。

    二、構(gòu)建相似

    例題:【2019·臺(tái)州一模】如下圖,在扇形O-CD中,∠COD=90°,OC=3,點(diǎn)A在OD上,AD=1,點(diǎn)B為OC的中點(diǎn),點(diǎn)E是弧CD上的動(dòng)點(diǎn),則AE+2EB的最小值是________。

    解析:該連接EO,得△OBE;延長OC到F,使CO=CF,連接EF,得△OEF,易證△OBE∽△OEF,得EF=2EB,當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí),即“兩點(diǎn)之間線段最短”,AE+2EB有最小值.

    反思:該題以扇形為背景,涉及到動(dòng)點(diǎn),題目要求AE+2EB的最小值,即求a+kb,線段前面有系數(shù),最容易想到的是相似,相似就是我們的“縮放尺”。那么,構(gòu)造相似三角形就是解決這類題目的關(guān)鍵了。找公共角,兩邊夾角,利用“母子相似”是比較常見的構(gòu)造法。順著這個(gè)思路,不難發(fā)現(xiàn)兩動(dòng)線之和為兩點(diǎn)定之間的距離。

    三、巧用旋轉(zhuǎn)

    例題:【2019·武漢】問題背景:如圖1,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論:PA+PC=PE.

    問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是_________.

    解析:將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MED,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有OG=ED。又易知△MOE為等邊三角形,有MO=ME=OE。這樣點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和,就轉(zhuǎn)化為NO+OE+ED之和,“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)N、O、E、D四點(diǎn)共線時(shí)和最小。過D作DF⊥NM,交NM延長線于F,通過勾股定理即可求得最小值為.

    反思:以上習(xí)題一個(gè)以三角形為背景以旋轉(zhuǎn)為切入口或思維的發(fā)散點(diǎn)去思考,讓學(xué)生學(xué)以致用。如果我們平時(shí)的教學(xué)中貫徹了數(shù)學(xué)建模的思想,那么學(xué)生解決起來應(yīng)該也是方便的。此題在分析和講解的過程中還可以涉及到“費(fèi)馬點(diǎn)”這個(gè)概念,結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展史,與古人的思維碰撞,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。在解決這個(gè)問題時(shí),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共線,利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”求解。由此可見,只要對(duì)核心知識(shí)和關(guān)鍵的模型掌握好,學(xué)生應(yīng)該都不難想到解決問題的辦法。

    結(jié)束語

    我國著名的數(shù)學(xué)家蘇歩青先生談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)時(shí)曾說過:“在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本里,一些基本的概念是逐步地被引導(dǎo)進(jìn)來的,既不要以為基本的概念很抽象,不易理解,就干脆把它放過去,又不要以為它很容易懂而不去深入理解。[2]”只有對(duì)基本概念(事實(shí))的深入理解才能在遇到不同情境時(shí)能融會(huì)貫通?!皟牲c(diǎn)之間,線段最短”這一基本事實(shí)在初中幾何的各個(gè)階段學(xué)習(xí)中都有機(jī)的融合,成為部分求最值問題的基本原理。從課本出發(fā),精心設(shè)計(jì)每一個(gè)問題,環(huán)環(huán)深入,揭露本質(zhì),通過教師的步步引導(dǎo),學(xué)生在細(xì)膩中見扎實(shí),在體驗(yàn)中增素養(yǎng)。對(duì)稱、相似、旋轉(zhuǎn)等是方法是手段,是模型的來源,而基本事實(shí)則是問題的本質(zhì)??赐副举|(zhì)、掌握方法和手段,也就是遵循了認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律,隨之而來的便是學(xué)生的高效學(xué)習(xí)!

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.1:31

    [2]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海:上海教育出版社,1964-02:17

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