巧用一元二次方程解決與增長率有關的問題

張國龍

【摘要】本文主要探討如何利用一元二次方程解決與增長率有關的問題．通過建立合適的數(shù)學模型，就可以將增長率問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式，然后利用求解方程的方法得到問題的答案．本文通過具體的案例分析，展示這種方法的實用性和有效性．

【關鍵詞】初中數(shù)學；一元二次方程；增長率

增長率問題在實際生活中經(jīng)常出現(xiàn)，如經(jīng)濟增長、人口增長、市場份額變化等．解決這些問題通常需要找到一種簡單而有效的方法．一元二次方程作為一種基本的數(shù)學工具，在解決增長率問題時具有獨特的優(yōu)勢．

1 建立與增長率有關的二次函數(shù)

例1 印刷廠10月份印刷一暢銷小說書5萬冊，因購買此書人數(shù)激增，印刷廠需加印，若設印書量每月的增長率為x，12月印書量y萬冊，寫出y關于x的函數(shù)解析式____．

解析 根據(jù)10月份印刷小說書5萬冊，每月的增長率為x，則11月份印刷小說書51+x萬冊，12月份印刷小說書51+x2萬冊，根據(jù)題意，得y關于x的函數(shù)解析式為：y=51+x2．

評析 建立與增長率有關的二次函數(shù)是用一元二次方程解決增長率問題的基礎，當函數(shù)因變量確定時，可以解出自變量的值，從而達到解決問題的效果．

2 用一元二次方程和增長率預測未來數(shù)據(jù)

例2 2022年第一季度某省GDP總值約為10000億元，第三季度的GDP總值約為11025億元．

（1）假定第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率相同，求這個增長率；

（2）若保持這樣的增長率不變，估計到2023年第一季度，某省的GDP總值能否突破12000億元？并說明理由．

解析 （1）設這個增長率為x，利用第三季度的GDP總值=第一季度的GDP總值×（1+第二、三季度某省GDP總值的增長率）2，可列出關于x的一元二次方程，解之，然后取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．

設第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率為x，

根據(jù)題意得10000×1+x2=11025，

解得x1=0.05=5%，x2=-2.05（不合題意，舍去），

可見，第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率為5%．

（2）利用預計2023年第一季度某省的GDP總值=2022年第三季度某省的GDP總值×（1+每季度某省GDP總值的增長率）2，可求出預計2023年第一季度某省的GDP總值，再將其與12000億元比較后即可得出結(jié)論．

到2023年第一季度，某省的GDP總值能突破12000億元，

理由：2023年第一季度某省GDP總值為11025×1+5%2=12155.0625（億元）>12000（億元），

所以到2023年第一季度，某省的GDP總值能突破12000億元．

評析 本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．通過本例題可以發(fā)現(xiàn)，巧用一元二次方程和增長率可起到預測未來數(shù)據(jù)的作用．

3 用一元二次方程和增長率規(guī)劃未來發(fā)展

例3 某市某酒店有A、B兩種房間，A種房間房價每天200元，B種房間房價每天300元，當年2月，該酒店登記入住了120間，總營業(yè)收入28000元．

（1）求當年2月該酒店A種房間入住了多少間？

（2）該酒店為提高房間入住量，增加營業(yè)收入，大力借助網(wǎng)絡平臺進行宣傳，同時將A種房間房價調(diào)低2a元，將B種房間房價下調(diào)a%，由此，當年3月，該酒店吸引了大批游客入住，A、B兩種房間入住量都比2月增加了5/2a%，總營業(yè)收入在2月的基礎上增加了a%，求a的值．

解析 （1）設A、B兩種房間入住分別為x、y間，由題意可知：

x+y=120①200x+300y=28000②，

把①×200得200x+200y=24000③，

用②-③得：100y=4000，

解得y=40，

把y=40代入①中，解得x=80，

故A種房間有80間．

（2）由題意得：下調(diào)后A房間的房價=200-2a，

B房間的房價=3001-a%，

由題目已知條件和（1）中計算的結(jié)果知：

房價下調(diào)后A房間的入住量=801+5/2a%，

B房間的入住量=401+5/2a%，

故三月份的總收入

=80×1+5/2a%200-2a+40×

1+5/2a%×300×1-a%，

又因為三月份比二月份總營業(yè)收入增加了a%，

所以80×1+5/2a%200-2a+40×1+5/2a%×300×1-a%=28000×1+a%，

即1+5/2a%16000-160a+12000-120a=28000×1+a%，

1+5/2a%28000-280a

=28000×1+a%，

1+5/2a%100-a=100×1+a%，

100+5a/2-a-5/2a2%=100+a，

a/2-5/2a2%=0，

解得：a=20，a=0（舍去）.

評析 本題主要考查了二元一次方程組的實際應用問題，一元二次方程與增長率的問題，解題的關鍵在于能夠根據(jù)已知條件找到等量關系進行列式計算．不難發(fā)現(xiàn)，用一元二次方程和增長率可以對企業(yè)未來的發(fā)展做規(guī)劃．

4 結(jié)語

通過上述案例分析，可以看到利用一元二次方程解決與增長率有關的問題的實用性和有效性．這種方法不僅簡單易懂，而且適用于各種增長率問題．在實際應用中，可以根據(jù)具體問題建立相應的數(shù)學模型，然后通過求解一元二次方程得到增長率的值，進而解決與一元二次方程和增長率有關的其他問題．

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