例說函數(shù)背景下的不等式證明

劉天順

中圖分類號：A 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：（2021）-24-452

在數(shù)學(xué)課程改革以前，命題者經(jīng)常將數(shù)列與不等式結(jié)合在一起命制試題，并且這一類試題難度大，對不等式證明的要求高（如放縮法的運用），有時還有很強的技巧性，常常作為高考的壓軸題。在數(shù)學(xué)課程改革以后，數(shù)列的課時少了，不等式證明的要求降低了，在這樣情況下，在數(shù)列背景下命制不等式證明試題的可能性降低了。從近幾年高考試題看，在函數(shù)背景下考查不等式的證明成為一種新的命題趨勢，以下將結(jié)合幾道具體試題對函數(shù)背景下的不等式證明進(jìn)行分析，以便幫助教師把握這類試題的特點與規(guī)律，進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí)。

首先要考慮的是，在函數(shù)知識中哪些地方經(jīng)常出現(xiàn)不等式的結(jié)構(gòu)？通過梳理函數(shù)知識可以發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)知識中經(jīng)常出現(xiàn)不等式的結(jié)構(gòu)有三個地方：一是函數(shù)的單調(diào)性的判斷;二是函數(shù)在某一區(qū)間上函數(shù)值取值范圍的判斷（如函數(shù)在某個區(qū)間上函數(shù)值總大于或小于某個具體的數(shù)值）;三是函數(shù)在定義域內(nèi)某一點處函數(shù)值的判斷（如函數(shù)在某點處的函數(shù)值總大于或小于某個具體的數(shù)值）。

通過上述四個例題可以看出，函數(shù)背景下的不等式證明對學(xué)生來說有兩個主要的挑戰(zhàn)，一是要善于觀察出不等式的結(jié)構(gòu)特征，由不等式的結(jié)構(gòu)去構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)研究的問題;二是要掌握有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的知識，掌握對有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的方法，積累對有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的經(jīng)驗。前者主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力;后者主要考查學(xué)生對函數(shù)的有關(guān)知識和性質(zhì)掌握情況。