關(guān)于數(shù)學(xué)幾何代數(shù)的整合教學(xué)研究

張麗娜

摘 要：中學(xué)的數(shù)學(xué)是區(qū)別于小學(xué)的數(shù)學(xué)體系的，它涉及到了更多新鮮的知識和概念。其中重點突出的兩大類學(xué)習(xí)便是幾何與代數(shù)。它們看似互相平行的兩條學(xué)習(xí)脈絡(luò)，實則是相互交叉的兩條紐帶，潛藏著深厚的關(guān)系。教學(xué)中需要整合兩者之間的內(nèi)容開展有針對性的授課，幫助學(xué)生們更好的理解和應(yīng)用其中的知識。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);幾何代數(shù);整合教學(xué)

中學(xué)階段的學(xué)生對于新鮮的知識是充滿好奇心理的，在面對中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何和代數(shù)學(xué)習(xí)時是激動和緊張的。教師如果想讓學(xué)生們明白兩者之間是是息息相關(guān)的，首先要把兩者的內(nèi)涵意義梳理清楚，前者是用空間圖形的方式凸顯直觀性，后者是通過思維的分析凸顯數(shù)量之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)之上融合更多的教學(xué)情景來進行綜合教學(xué)，以給學(xué)生們以正確的方向性指導(dǎo)，進而讓學(xué)生們熟知在實際的學(xué)習(xí)和解題中，往往是交換使用這兩種方式作為解析題目的工具。以鮮明的幾何背景和清晰的代數(shù)邏輯來進行靈活的轉(zhuǎn)變，才能讓問題更加輕松的得到正確答案。

一、幾何、代數(shù)的分類與聯(lián)系

（一）幾何與代數(shù)分別是在數(shù)學(xué)中分支出來的兩類學(xué)科，兩者在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性處于同等的地位，也是最基礎(chǔ)的知識體系。其中，最早的幾何是平面幾何，平面幾何是研究平面上的直線和二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)和度量屬性（面積，長度，角度）。平面幾何采用公理化方法，在數(shù)學(xué)思想史上具有重要意義。后來平面幾何的內(nèi)容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經(jīng)開始涉及微積分的最初概念。中學(xué)階段的教學(xué)重心還是集中在對于平面幾何的的學(xué)習(xí)和研究上。

（二）代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程（組）的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。初等代數(shù)一般是在中學(xué)階段涉及講解，此過程中主要是從介紹代數(shù)的基本思想開始，即研究當(dāng)我們對數(shù)字作加法或乘法時會發(fā)生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項式并找出它們的根。代數(shù)的研究對象不僅是數(shù)字，而是各種抽象化的結(jié)構(gòu)。在其中我們只關(guān)心各種關(guān)系及其性質(zhì)，而對于“數(shù)本身是什么”這樣的問題并不關(guān)心。傳統(tǒng)的代數(shù)用有字符（變量）的表達式進行算術(shù)運算，字符代表未知數(shù)或未定數(shù)。如果不包括除法（用整數(shù)除除外），則每一個表達式都是一個含有理系數(shù)的多項式。例如：1/2x*y+1/4z-3x+2/3.一個代數(shù)方程式，是通過使多項式等于零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那么滿足這一方程式的將是一定數(shù)量的實數(shù)或復(fù)數(shù)，也就是它的根。

（三）在笛卡爾引進坐標(biāo)系后，代數(shù)與幾何的關(guān)系變得明朗、且更加緊密起來，這就促使解析幾何的產(chǎn)生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創(chuàng)建的，這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點出發(fā)，幾何圖形的性質(zhì)可以歸結(jié)為方程的分析性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)。幾何圖形的分類問題，也就轉(zhuǎn)化為方程的代數(shù)特征分類的問題，即尋找代數(shù)不變量的問題。立體幾何歸結(jié)為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面的幾何分類問題，就歸結(jié)為研究代數(shù)學(xué)中二次型的不變量問題。這兩者之間理念與解題過程的結(jié)合與轉(zhuǎn)化自然是促使了在教學(xué)中的整合。當(dāng)然，中學(xué)階段所面臨的問題不會那么深奧和復(fù)雜，但是，很多教師常常分離代數(shù)和幾何學(xué)的知識，學(xué)生會抱有“代數(shù)知識和幾何學(xué)知識的關(guān)系不密切”的想法。如果無法整合幾何學(xué)相關(guān)知識，學(xué)生無法充分學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，無法深入理解很多抽象的代數(shù)知識。所以在教師的教學(xué)實踐中的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生在這種整合中的思維方式，鍛煉其邏輯推理能力，也是方便學(xué)生順利、快捷的解析題目的問題。

二、幾何代數(shù)的整合教學(xué)

（一）以數(shù)思形

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中說道：“不斷地變換你的問題，……我們必須一再地變換它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到有用的東西為止?！碑?dāng)遇到幾何圖形問題的時候，可以從中分析出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系來思考圖形中蘊藏的規(guī)律。把一些幾何題轉(zhuǎn)化為代數(shù)題來解，可達到簡便、快捷解題的目的，用代數(shù)方法研究幾何圖形，可以表達其中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化的常用方法有多種，例如用函數(shù)分析線段變化，某些代數(shù)問題，巧妙地運用幾何方法來解證，不但解題思路清晰，而且運算量大大減少，盡管有時代數(shù)式的意義不易說清，但它可溝通兒何與代數(shù)、三角之間的關(guān)系，活躍解題思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使老師的教學(xué)和學(xué)生的的學(xué)習(xí)變得輕松而愉悅。筆者更想說的是，教師在教學(xué)中積極的采取幾何與代數(shù)之間的整合教學(xué)可以把數(shù)學(xué)題目靈活化，給了學(xué)生更寬闊的視野，讓他們可以透過表象看到問題的本質(zhì)，從而適度的轉(zhuǎn)變途徑，幫助自己找到更為恰當(dāng)、便捷的解題方法。

代數(shù)與幾何綜合題涉及代數(shù)與幾何兩大學(xué)科的知識，并且?guī)缀闻c代數(shù)綜合題是將幾何知識與代數(shù)知識相結(jié)合的一類題目，最常見的題目是以方程的思想方法去解證圖形中各元素的位置關(guān)系，以及長度、角度、面積等的數(shù)量關(guān)系問題。此類問題的解決，是對中學(xué)階段數(shù)學(xué)教與學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法掌握、運用的考察，想要學(xué)生學(xué)會解決此類題目，就需要教師將綜合法、分析法等思維方法交叉、反復(fù)地傳輸給學(xué)生，在此過程中需要數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生深刻剖析題意，特別是題中的隱含條件。所以，要讓學(xué)生始終參加審題、分析題意、列方程、解方程等活動，了解列方程解應(yīng)用題的實際意義和解題方法及優(yōu)越性，這其中審題應(yīng)是最為關(guān)鍵的一環(huán)。要想法弄清題意，找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系。找不出相等關(guān)系，方程就列不出來，而找出這樣的等量關(guān)系后，將其中涉及的待求的某個數(shù)設(shè)為未知數(shù)，其余的量用已知數(shù)或含有已知數(shù)與未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，方程就列出來了。要教會學(xué)生通過閱讀題目、理解題意、進而找出等量關(guān)系、列出方程解決問題的方法，使之形成“觀察—分析—歸納”的良好習(xí)慣，這對于整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都是至關(guān)重要的。另外，在教學(xué)中還要告訴學(xué)生，有些問題用算術(shù)法解決是不方便的，只有用代數(shù)解法。對于某些典型題目在幫助學(xué)生用代數(shù)方法解出后，同時與算術(shù)解法作比較，使學(xué)生有個更清晰的認(rèn)識，從而逐漸摒棄用算術(shù)解法做應(yīng)用題的思維習(xí)慣。

（二）以形畫數(shù)

通常我們在教學(xué)中用代數(shù)知識解決幾何問題較多，用幾何知識解決代數(shù)問題涉及較少，下面就重點舉幾個用幾何圖形解決代數(shù)問題以滲透數(shù)形結(jié)合思想的實例，以供各位同仁參考研究。例如：A和B兩個人在周長是500米的圓形跑道上訓(xùn)練跑步。條件一：B跑步的速度比A快，條件二;兩個人同時間、同地點出發(fā);條件三：兩個人相背而行。發(fā)現(xiàn)他們每間隔55s就可以相遇一次;而把條件三改成兩人同向出發(fā)的時候，發(fā)現(xiàn)他們兩個人是每間隔2’20s相遇一次。在這樣的情況下，題目讓學(xué)生求解A和B跑步的平均速度是多少。求甲、乙兩人騎車的平均速度。當(dāng)遇到這種問題的時候，學(xué)生一時間是有點混亂和沒有思路的。這個時候僅靠條件中給出的數(shù)量關(guān)系，很難找到解決的辦法，基本不知道從何處入手去分析，去搭建兩者之間的關(guān)系。好似沒有相等的數(shù)量和相差的距離一樣。此時教師要正確的引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的包圍圈中跳出來，聯(lián)系幾何的知識，采用數(shù)形結(jié)合的方法，創(chuàng)造思路，動一下紙筆畫出圓形，動一動腦筋，發(fā)揮想象力，假設(shè)一下當(dāng)時的情景，描刻出兩人的運動畫面。用筆尖和手指的動作代替他們的出發(fā)方向和速度，把抽象的事物直觀化了，這樣也就把看似復(fù)雜的問題簡單化了，很容易就能分析出前一個條件三，是相向行駛后在共同跑滿一圈的時候發(fā)生相遇的問題，兩人的路程和就是圓形的周長，而后一個條件三是追及問題并在第二圈的時候發(fā)生的相遇，說明跑的快的比跑的慢的多跑了一整圈，也就是說B比A多跑了一整圈，即500米。這樣就可以從兩點在圖形的變化中，輕而易舉得出數(shù)量關(guān)系和列方程的算式了。

再比如，對于運算結(jié)果來說，計算的結(jié)果可不能像小學(xué)那樣單一、簡略了。如|b|，其代表的數(shù)值結(jié)果就應(yīng)分三種情況討論。這一變化，對于中學(xué)生來說是比較難接受的，代數(shù)式的運算對他們而言是個全新的問題，要正確解決這一難點，必須非常注重，要使學(xué)生在正確理解有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上，掌握有理數(shù)的運算法則。對運算法則理解越深，運算才能掌握得越好。所以在處理上要注意設(shè)置適當(dāng)?shù)奶荻?，逐步加深。有理?shù)的四則運算最終要歸結(jié)為非負(fù)數(shù)的運算，因此“絕對值”概念應(yīng)該是我們教學(xué)中必須抓住的關(guān)鍵點。而定義絕對值又要用到“互為相反數(shù)”的概念，這時候教師在教學(xué)中就要引入“數(shù)軸”的概念了，這樣代數(shù)與圖形之間的隔閡就不攻自破，自然的相互融合了，從這一點中利用的是畫出數(shù)軸來解釋數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系。這一整合過程強調(diào)了圖形的直觀性，從穩(wěn)妥和清晰的概念中讓學(xué)生對于絕對值、正負(fù)數(shù)等關(guān)系逐漸地有了深刻的體會與理解。在通過相應(yīng)題型的鞏固練習(xí)就能很輕松的掌握和總結(jié)到其中的科學(xué)的內(nèi)在道理了。學(xué)生在小學(xué)中的計算光是直白的一個結(jié)果就滿足了，但是到了初一年級的學(xué)生為了正確理解算法，避免計算錯誤，不僅要考慮正確答案，還要在所有的計算步驟中尋找合適的方法，靈活的運用所學(xué)過的知識，以便更快捷的得出答案，并且通過思考其中的科學(xué)性質(zhì)而確保得到更準(zhǔn)確、更具體和更全面的結(jié)果，此類題目具有題型多樣、內(nèi)容廣泛、方法靈活的特點，一般沒有固定的模式可循。只有將代數(shù)和幾何諸方面的知識融會貫通，并且具備了扎實的解題基本功，掌握了多種解題方法和技巧，才能全面、清晰、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟獯鸷么祟愵}目。

說到底，幾何與代數(shù)的整合教學(xué)就是數(shù)形結(jié)合的思想培養(yǎng)和靈活應(yīng)用，它是解數(shù)學(xué)題中的一個重要策略，就是通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，利用它可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微?！币虼耍處熞鸩秸蟽烧咧g的教學(xué)，讓學(xué)生們真正有了幾何和代數(shù)的相關(guān)觀念之后，可以從簡單的思路中啟發(fā)學(xué)生，在實際運用中形成一種巧妙的結(jié)合，使得學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中形成更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度并養(yǎng)成更認(rèn)真多面考慮問題的習(xí)慣。

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