巧解四力作用下物體的平衡問題

摘 要：力的平衡是高中物理一個(gè)重要內(nèi)容和高考的熱點(diǎn).在處理這一問題時(shí)，對(duì)物體受力分析，并建構(gòu)物理模型，用數(shù)學(xué)方法或圖解法來求解，通過巧解把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

關(guān)鍵詞：平衡;物理模型;圖解法;全反力;摩擦角

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0083-03

在處理力的動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，我們往往會(huì)采取正交分解的方法，建立平衡方程，討論邊、角等變化來判斷力的變化，有時(shí)問題較復(fù)雜時(shí)，可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換成物理模型，變物理問題為數(shù)學(xué)問題.有時(shí)，未免數(shù)學(xué)運(yùn)算過于繁瑣，此時(shí)，可用圖解法求解力的平衡問題.可作出平行四邊形或矢量三角形，通過其中一力的大小或方向變化，判斷其他力的大小與方向的變化，往往用于三力平衡.若四力作用下物體平衡問題，如何建構(gòu)物理模型，能否用圖解法來處理，下面我們一起來探討這一問題.

原題 （廣州市2020屆高三年級(jí)階段訓(xùn)練題）水平固定的輕桿AB長為3L，兩端系著長為3L的不可伸長且光滑的柔軟輕繩，繩上套著一質(zhì)量為m的小鐵環(huán)，靜止時(shí)位置如圖1（甲）所示.現(xiàn)用一水平向左的力F將小鐵環(huán)由圖甲位置緩慢拉至如圖1（乙）所示位置.已知重力加速度為g，設(shè)繩的拉力為T，則（）.

A.在乙所示位置T=32mg

B.在乙所示位置F=33mg

C.此過程T大小保持不變

D.此過程F先增大后減小

方法一 在F作用下，將小鐵塊緩慢拉至乙圖所示位置，對(duì)小鐵塊受力分析，由于輕繩上套著小鐵環(huán)，鐵環(huán)兩邊繩子拉力大小相等，用正交分解法即可求出在乙所示位置的T與F的大小，得到T=23mg，F(xiàn)=33mg，選項(xiàng)B正確.至于，此過程T與F如何變化，屬于四力動(dòng)態(tài)平衡問題，有點(diǎn)困難.

如圖2所示，由于輕繩長度不變，繩子的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，橢圓圓心在O點(diǎn)，半長軸a=32L，半短軸b=62L，焦距c=32L，橢圓方程x2a2+y2b2=1.由于小鐵環(huán)緩慢移動(dòng)，由動(dòng)能定理可知Fdx=mgdy.由橢圓方程可得y=b2-b2a2x2，dydx=-b2a2xb2-b2a2x2，則F=mgdydx=mg-b2a2xb2-b2a2x2，小鐵環(huán)向左緩慢移動(dòng)，-x增大，所以F逐漸增大.

下面分析輕繩拉力T的變化，如圖3所示，由力的平衡可知Tsinα+Tsinβ=mg可得T=mgsinα+sinβ.由正弦定理可得ADsinβ=DBsinα=2r，于是sinβ=AD2r，sinα=DB2r，所以sinα+sinβ=AD+DB2r=2a2r=ar，所以T=mgra.

如圖4所示，設(shè)外接圓圓心C（0，yc），半徑r=CB=CD，即c2+yc2=x2+（y-yc）2，結(jié)合橢圓方程x2a2+y2c2=1，聯(lián)立可得a2（1-y2c2）+y2-2yyc-c2=0，于是yc=12y（a2-a2c2y2+y2-c2）=b22y-b22c2y，所以外接圓半徑r=CB=c2+y2c=c2-b42c2+b44y2+b44c4y2，其中0<y≤b.設(shè)Y=1y2+1c4y2≥2c2，則當(dāng)y=c時(shí)，Y有最小值，即Ymin=2c2，rmin=c，如圖5所示.由于c=32L<b，即c2<b2，故Y隨y2增大而增大，即r隨y2增大而增大.再由上式T=mgra，可知輕繩拉力逐漸增大.所以，選項(xiàng)C和D不正確.

方法二 上述方法數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁瑣，下面用圖解法處理.由于小鐵環(huán)兩邊輕繩的拉力大小始終相等，故可以把兩力合成為一個(gè)力T合，四力平衡變?yōu)槿ζ胶?，如圖6所示.在小鐵環(huán)向左緩慢移動(dòng)過程中，重力mg大小與方向不變，水平力F方向不變，作出“三力”的矢量三角形，如圖7所示，從圖中可知力F與T合都逐漸增大.

從上述方法可知，若利用圖解法求解物體的動(dòng)態(tài)平衡問題，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題的效率，同時(shí)發(fā)展了學(xué)生模型建構(gòu)的科學(xué)思維.下面以圖解法為例，求解多力作用下物體的平衡問題.

例2 （2017全國Ⅱ卷）如圖8所示，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng).若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng).物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（）.

A.2-3 B.36C.33 D.32

分析 物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到重力、支持力、滑動(dòng)摩擦力與水平拉力F作用，如圖9所示，現(xiàn)把支持力N與滑動(dòng)摩擦力f合成一力，物理上該力稱為全反力R，全反力R與支持力N方向的夾角稱為摩擦角φ，有tanφ=fN=μ.水平拉力F大小不變，方向改變，物塊仍向右勻速直線運(yùn)動(dòng)，支持力N與滑動(dòng)摩擦力f都發(fā)生了改變，兩者均減小了，但是由于tanφ=fN=μ，兩者方向的夾角始終等于φ，故此全反力R的方向不變.于是，把四力平衡變成三力平衡，作出首尾相連的矢量三角形，如圖10所示.由圖可知，φ=30°，即tanφ=tan30°=33，所以動(dòng)摩擦因數(shù)μ=33，選項(xiàng)C正確.

例3 如圖11所示，一水平導(dǎo)軌處于與水平方向成45°角向左上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根通有恒定電流的金屬棒，由于受到安培力作用而在粗糙的導(dǎo)軌上向右做勻速運(yùn)動(dòng).現(xiàn)將磁場(chǎng)方向沿順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)至豎直向上，在此過程中，金屬棒始終保持勻速運(yùn)動(dòng)，已知棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=33，則（）.

A.金屬棒所受摩擦力一直在增大

B.導(dǎo)軌對(duì)金屬棒的支持力先變小后變大

C.磁感應(yīng)強(qiáng)度先變小后變大

D.金屬棒所受安培力恒定不變

分析 如圖12所示，通電金屬棒向右勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)金屬棒受力分析，受到重力mg、支持力N、滑動(dòng)摩擦力f與安培力F安作用，把N與f兩力合成全反力R，四力平衡變成三力平衡，其中摩擦角正切值tanφ=fN=μ=33，則φ=30°.由于全反力R的方向保持不變，故可作出首尾相連的矢量三角形，如圖13所示.從圖中可看出，在磁場(chǎng)方向沿順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，全反力R逐漸變大，故金屬棒所受的支持力與摩擦力均逐漸變大，選項(xiàng)A正確;安培力F安先變小后變大，當(dāng)安培力與全反力方向垂直時(shí)，F(xiàn)安達(dá)到最小值，由B=F安IL可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B也先變小后變大，選擇C正確.

例4 質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面體靜止在水平面上，將一質(zhì)量為m的物塊輕放在斜面體上，物塊恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕推物塊，物塊剛好能勻速下滑.現(xiàn)用與斜面體上表面成α角的拉力F拉著物塊勻速上滑，如圖14所示.問當(dāng)α為多大時(shí)，拉力F有最小值？重力加速度為g.

分析 物塊恰好能勻速下滑，對(duì)物塊受力分析可知，mgsinθ=μmgcosθ，則μ=tanθ.物塊受到斜面體的支持力N、滑動(dòng)摩擦力f的合力R與重力等大反向，全反力R與支持力N方向的夾角即為摩擦角φ，則φ=θ，如圖15所示.現(xiàn)用力F拉著物塊勻速上滑，滑動(dòng)摩擦力方向沿斜面體向下，現(xiàn)受到重力mg、全反力R、拉力F三個(gè)力作用，運(yùn)動(dòng)過程中全反力的方向沒有改變，全反力R與支持力N的方向仍為φ，故R與豎直方向夾角2φ，作出矢量三角形如圖16所示.由圖可知，當(dāng)拉力F與全反力R垂直時(shí)，F(xiàn)有最小值，此時(shí)Fmin=mgsin2φ=mgsin2θ，此時(shí)φ=θ.

對(duì)于四力或多力平衡，可根據(jù)題意，建構(gòu)物理模型，列出表達(dá)式求解.若數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜繁瑣，可采用圖解法，把四力或多力變成三力平衡問題，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)發(fā)展學(xué)生科學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

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