空間直角坐標(biāo)系的建系策略

潘敬貞 唐明超

摘 要：建立坐標(biāo)系是代數(shù)方法解決幾何（空間）問(wèn)題的橋梁，建立合適的空間直角坐標(biāo)系是快速解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本文結(jié)合實(shí)例主要從基于共頂點(diǎn)的三條互相垂直、線面垂直、面面垂直、正棱錐的高所在直線等四個(gè)方面談空間直角坐標(biāo)系的建系策略.

關(guān)鍵詞：空間;直角坐標(biāo)系;建系;策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0070-03

坐標(biāo)法是解決立體幾何問(wèn)題的重要方法，借助坐標(biāo)法可以將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，既可以降低幾何問(wèn)題的抽象性，同時(shí)也為解決實(shí)際問(wèn)題開(kāi)辟了一條新的途徑.用坐標(biāo)法解決空間幾何問(wèn)題，首先需要合理建立空間直角坐標(biāo)系.建立空間直角坐標(biāo)系的過(guò)程就是根據(jù)問(wèn)題給定的空間幾何關(guān)系在幾何圖形中尋找三條兩兩互相垂直的直線，通過(guò)平移等方式讓三條直線交于一點(diǎn)，并盡可能的讓與問(wèn)題相關(guān)的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，使得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)更易求，使得問(wèn)題的求解更加簡(jiǎn)潔、高效.文章結(jié)合實(shí)例談建立空間直角坐標(biāo)系的策略.

一、基于共頂點(diǎn)的三條互相垂直的棱建系

例1 如圖1，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn).

（1）求異面直線AB與EF所成角的余弦值;

（2）求點(diǎn)E到平面ACD的距離;

（3）求EF與平面ACD所成角的正弦值.

解析 如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BD，BA所在直線為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則依題意得，B（0，0，0），A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F(xiàn)（0，2，2）.

（1）經(jīng)坐標(biāo)運(yùn)算易知AB=（0，0，-4），EF=（-2，2，2），因?yàn)閮僧惷嬷本€所成角的余弦值與兩直線的方向向量所成角的余弦值絕對(duì)值相等，所以可以根據(jù)數(shù)量積公式求得兩異面直線所成角的余弦值為

|cos<AB，EF>|=|AB·EF|AB||EF||=|-84×23|=33.

（2）點(diǎn)到面的距離等于該點(diǎn)到該點(diǎn)在平面上的投影兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則n·AC=0n·CD=0，因?yàn)锳C=（4，0，-4），CD=（-4，4，0），所以4x-4z=0-4x+4y=0，令z=1，得x=y=1，所以n=（1，1，1）.

因?yàn)镕∈平面ACD，EF=（-2，2，2），所以E到平面ACD的距離為d=|n·EF|n=23=233.

（3）設(shè)EF與平面ACD所成角為θ，則θ與直線EF與平面的法向量所成的角互余，進(jìn)而求線面角可以轉(zhuǎn)化為求直線EF與法向量所成的角，借助坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化，所以，sinθ=|cos<n，EF>|=|n·EF||n||EF|=23×23=13，所以EF與平面ACD所成角的正弦值為13.

評(píng)注 本題雖然解法較多，但是坐標(biāo)法解題具有較強(qiáng)的直觀性，可以有效降低幾何問(wèn)題的抽象性.在解決立體幾何有關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果已知條件中有三條直線兩兩互相垂直，則可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法來(lái)解決.當(dāng)然，在考題中，已知條件中有三條直線兩兩互相垂直的情況比較少見(jiàn)，更多是利用圖形的特點(diǎn)與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系.

二、基于線面垂直關(guān)系建系

例2 如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的點(diǎn).

（1）求證：平面AEF⊥平面PAD;

（2）若M是PD的中點(diǎn)，當(dāng)AB=AP時(shí)，是否存在點(diǎn)F，使直線EM與平面AEF的所成角的正弦值為15？若存在，請(qǐng)求出PFPC的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且∠ABC=60.，則△ABC是正三角形，因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.

（2）由（1）得AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系;不妨設(shè)AB=AP=2，則AE=3，則

A（0，0，0），C（3，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），M（0，1，1），設(shè)PF=λPC，則F（3λ，λ，2-2λ），所以EM=（-3，1，1），AE=（3，0，0），AF=（3λ，λ，2-2λ）;設(shè)m=（x，y，z）是平面AEF的一個(gè)法向量，則m·AE=0m·AF=0，所以3x=03λx+λy+（2-2λ）z=0，取z=λ，得m=（0，2λ-2，λ），設(shè)直線EM與平面AEF的所成角為θ，得sinθ=|cos<EM，m>|=|EM·m|

|EM|·|m|=|3λ-2|5·（2λ-2）2+λ2=15，化簡(jiǎn)得10λ2-13λ+4=0，解得λ=12或λ=45，所以，存在點(diǎn)F，使直線EM與平面AEF的新成角的正弦值為15，此時(shí)，PFPC為12或45.

評(píng)注 若題目已知條件中有某一條直線與某個(gè)平面垂直，則一般把該條直線作為一條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.第（1）題用幾何法證明較容易，可以在第（1）題的基礎(chǔ)上順利的建立合理的空間直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)對(duì)第（2）題的解答.對(duì)于第（2）題，如果采用幾何法來(lái)解決，難度較大，抽象性較強(qiáng)，明顯不是最好選擇.

三、基于面面垂直的性質(zhì)建系

例3 如圖5，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB=AD=DC=2，BC=4.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAC;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

解析 （1）證明：取BC中點(diǎn)M，連接AM，因?yàn)樗倪呅蜛MCD為菱形，所以有AM=MC=12BC，所以AB⊥AC，因?yàn)锳B平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，所以AB⊥平面PAC，又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

（2）方法1 由（1）可得AC=23，取AC中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AC，PO=3，因?yàn)镻O平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.又因?yàn)镸、O分別是BC、AC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥AB，又由（1）知AB⊥AC，所以O(shè)M，OC，OP兩兩互相垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OC，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得B（2，-3，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（-1，0，0） ，BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），設(shè)平面BPC的法向量為n1=（x，y，z），則n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），設(shè)平面PCD的法向量為n2=（a，b，c），則有n2·CD=0n2·PC=0，-a-3b=03b-3c=0，不妨取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，結(jié)合圖5可知，二面角B-PC-D的余弦值為513.

方法2 由（1）可得AC=23，取AC中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AC，PO=3，因?yàn)镻O平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以PO⊥平面ABCD.所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AC為x軸、為y軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建系如圖7的空間直角坐標(biāo)系，依題意得B（2，0，0），P（0，3，3），C（0，23，0），D（-1，3，0），BC=（-2，23，0），PC=（0，3，-3），CD=（-1，-3，0），設(shè)平面BPC的法向量為n1=（x，y，z），則n1·BC=0n1·PC=0，所以-2x+23y=03y-3z=0，取z=1，得n1=（3，3，1），設(shè)平面PCD的法向量為n2=（a，b，c），則n2·CD=0n2·PC=0，代入計(jì)算得-a-3b=03b-3c=0，取c=1，得n2=（-3，3，1），所以cos<n1，n2>=n1·n2|n1||n2|=-9+3+113×13=-513，結(jié)合圖5可知，二面角B-PC-D的余弦值為513.

評(píng)注 一般地，若題目已知的圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線.如果兩個(gè)互相垂直的平面中有一個(gè)平面已知或已證的兩條相互垂直直線，可過(guò)這兩條直線的交點(diǎn)作該平面的垂線，從而得出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，如本題第（2）問(wèn)的解法2.本題第（2）問(wèn)的解法2建立空間直角坐標(biāo)系的方法相對(duì)解法1的方法更加簡(jiǎn)潔，是一種不錯(cuò)的建系方法.

四、基于正棱錐的高所在直線建系

例4 已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.

（1）求∠DEB的余弦值;

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.

解析 （1）如圖8，以V在平面ABCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖8的空間直角坐標(biāo)系，其中Ox//BC，Oy//AB，依題意得，AB=2a，OV=h，所以B（a，a，0）、C（-a，a，0）、D（-a，-a，0）、V（0，0，h）、E-a2，a2，h2，所以BE=-32a，-a2，h2，DE=a2，32a，h2，所以cos<BE，DE>=BE·DEBEDE=-6a2+h210a2+h2，所以∠DEB的余弦值為-6a2+h210a2+h2.

（2）因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BE⊥VC，所以BE·VC=0，即-32a，-a2，h2·（-a，a，-h）=0，所以32a2-a22-h22=0，所以h=2a.這時(shí)cos<BE，DE>=-6a2+h210a2+h2=-13，所以∠DEB的余弦值為-13.

評(píng)注 用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)的坐標(biāo)就容易求出，有關(guān)問(wèn)題也就得到順利解決.建立空間直角坐標(biāo)系的方法很多，最關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系的原則是盡可能的使相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)上，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)容易求出.只有善于思考、勤于動(dòng)手，空間直角坐標(biāo)系建立的技巧方可熟能生巧，從而提高解題能力.

不同的問(wèn)題情景中建系的方法可能不同，但是正確建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)是能夠基于問(wèn)題給定的幾何關(guān)系找到三條兩兩互相垂直的直線，很多時(shí)候?qū)ふ掖嬖谌龡l兩兩互相垂直的直線或作三條兩兩互相垂直的直線并不是很困難，如何建系更有利于求出解決問(wèn)題所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)更為重要、更為關(guān)鍵.文章中所歸納的四種建系方法是解決常見(jiàn)空間幾何問(wèn)題中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角以及點(diǎn)到直線距離等問(wèn)題所必須掌握的基本思想和方法，需要在不斷的練習(xí)中加以體會(huì)和總結(jié)，不斷提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力是利用坐標(biāo)法解決空間幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國(guó)林，葉智群.立體幾何中的角度會(huì)這樣考查[J].數(shù)理化解題研究，2019（22）：17-18.

[責(zé)任編輯：李 璟]