再現(xiàn)橢圓定義 滲透核心素養(yǎng)

李小蛟

摘 要：高考中對橢圓的定義考查是一種常態(tài)，特別是小題（選填題）的考查更為突出.現(xiàn)行教材對橢圓的定義我們稱為第一定義，實(shí)質(zhì)上第二、第三定義在我們的教材例題及練習(xí)與高考試題中也經(jīng)常以不記名的方式呈現(xiàn).

關(guān)鍵詞：再現(xiàn);定義;思考

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0054-03

一、考題再現(xiàn)

（2018年全國卷Ⅲ理20）已知斜率為k的直線l與橢圓x24+y23=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m>0）.

（1）證明：k<-12;

（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

FP+FA+FB=0.

證明：|FA|，|FP|，|FB|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

試題分析

本題第（1）問考查直線與橢圓位置關(guān)系，涉及直線斜率與弦中點(diǎn)，考生很容易想到設(shè)直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理寫出中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求解斜率范圍，更一般的方法應(yīng)該是運(yùn)用設(shè)而不求的思想，用“點(diǎn)差法”解決中點(diǎn)弦這一類問題;第（2）問思維難度較大，要求考生對FP+FA+FB=0.正確理解并合理轉(zhuǎn)化，可以理解為三角形的重心，也可以直接將坐標(biāo)代入求解出的m的值，再利用相關(guān)知識(shí)求解出相應(yīng)距離，證明等差數(shù)列，并求出相應(yīng)公差;如何計(jì)算出的|FA|，|FP|，|FB|長度是難點(diǎn)，考生未能突破這一難點(diǎn)，究其原因在于對橢圓定義、焦半徑理解掌握不到位，不能有效的運(yùn)用橢圓定義解決相關(guān)問題.

解析 （1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

x214+y213=1，x224+y223=1.

兩式相減，并由y1-y2x1-x2=k，得x1+x24+y1+y23·k=0.

由題設(shè)知x1+x24=1，y1+y23=m，于是k=-34m①

由題設(shè)得0<m<32，故k<-12.

（2）由題意得F（1，0），設(shè)P（x3，y3），則（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.

由（1）及題設(shè)得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m<0.

又點(diǎn)P在C上，所以m=34，

從而P（1，-32），|FP|=32.于是|FA|=（x1-1）2+y21=（x1-1）2+3（1-x214）=2-x12.

同理|FB|=2-x22.所以

|FA|+|FB|=4-12（x1+x2）=3.故2|FP|=|FA|+|FB|，即|FA|，

|FP|，|FB|成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|=

||FB|-|FA||=12|x1-x2|=12（x1+x2）2-4x1x2.②

將m=34代入①得k=-1.所以l的方程為y=-x+74，代入C的方程，并整理得7x2-14x+14=0.故x1+x2=2，x1x2=128，代入②解得|d|=32128.所以該數(shù)列的公差為32128或-32128.

例2 （2019年全國卷二理21題）已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM與BM斜率之積為-12，記M點(diǎn)軌跡為C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線.

（2）略.

解 由題設(shè)可知yx+2·yx-2=-12，化簡得x24+y22=1（y≠0）

即軌跡C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).

二、追本溯源

2018年全國卷Ⅲ理20題第（2）考后引出了很大的爭議，即對于

|FA|，|FP|，|FB|

求解很多考生、教師、教研員認(rèn)為考查超出考綱，特別是焦半徑的考查應(yīng)該用第二定義，2019年全國卷二理21題有人提出是考查橢圓的第三定義，那么橢圓的第二定義、第三定義是什么？，橢圓有哪些定義，在我們的現(xiàn)行教材中是否有所呈現(xiàn)，下面我們來回歸教材，重新梳理一下橢圓定義.

1.橢圓的第一定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（常數(shù)大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓（ellipse）.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.這是現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中對橢圓的定義，通常我們也稱為橢圓的第一定義.根據(jù)坐標(biāo)求軌跡方程，我們設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），并且記距離之和的常數(shù)為2a，于是由定義可得PF1+PF2=2a代入即得（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a

移項(xiàng)（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，

兩邊平方可得a2-cx=a（x-c）2+y2（1）

兩邊再次平方可得a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2）（2）

兩邊同時(shí)除以a2（a2-c2），

即可得x2a2+y2a2-c2=1，

令b2=a2-c2，

即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1.

2.橢圓的第二定義

平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)），該定點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，該直線稱為橢圓相應(yīng)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.

這一定義又稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，在我們現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中沒有提出來，但有所呈現(xiàn).

人教A版選修2-1教材47面例6：點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=254的距離比是常數(shù)45，求點(diǎn)M軌跡.

解析 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=254的距離，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡即是集合P=MMFd=45，由此可行（x-4）2+y2254-x=45，將上式兩邊平方化簡得9x2+25y2=225，即x225+y29=1.所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸，短軸分別為10，6的橢圓.

3.橢圓的第三定義

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.

這一定義也在我們現(xiàn)行教材人教A版選修2-1中同樣沒有提出來，但有所呈現(xiàn).

人教A版選修2-1教材41面例3：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-49，求點(diǎn)M軌跡方程.

解析 設(shè)點(diǎn)M（x，y），∵（-5，0），（5，0）

∴kAM=yx+5（x≠-5），kBM=yx-5（x≠5）.

由已知yx+5×yx-5=-49（x≠±5），化簡可得點(diǎn)M軌跡方程為x225+y21009=1（x≠±5）.

4.橢圓第二第義、第三定義的追本溯源

現(xiàn)行教材對橢圓的定義僅僅以第一定義的形式出現(xiàn)，第二定義、第三定義并沒有給出正式定義，只是在教材例題中有所呈現(xiàn).那么這三個(gè)定義之間是否有著必然的聯(lián)系與完全的統(tǒng)一呢，讓我們再從第一定義推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程中去認(rèn)真探究.

我們再看一下式a2-cx=a（x-c）2+y2中，若兩邊同時(shí)除以a，即可得到

a-cax=（x-c）2+y2（3）

再次變形為ca（a2c-x）=（x-c）2+y2，即（x-c）2+y2a2c-x=ca，這一式子即為第二定義（平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合）.而且（3）式即為橢圓的右焦半徑公式PF2=a-ex，同理可行左焦半徑公式PF1=a+ex.

我們再看一下式a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2），

移項(xiàng)可得a2y2=（a2-x2）（a2-c2），

變形得y2a2-x2=a2-c2a2（x≠±a），

即為yx-a×yx+a=（ca）2-1（x≠±a），

即kPA1·kPA2=e2-1

這即為橢圓的第三定義（平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓）.

三、遷移延伸

設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2）為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，任取橢圓C上一點(diǎn)M（x，y），若kMA1，kMA2均存在，則kMA1·kMA2=e2-1為定值.

分析 ∵A1，A2關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴x1=-x2，y1=-y2

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）

又∵A1（x1，y1），M（x，y）在橢圓上，

∴x2a2+y2b2=1且x12a2+y12b2=1，

兩式相減得y-y1x-x1×y-y2x-x2=-b2a2=e2-1，得證.

顯然橢圓第三定義實(shí)質(zhì)上是這一延伸結(jié)論的特例.

四、拓展應(yīng)用

1.在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），A1，A2為長軸的頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且不與重合.求證：當(dāng)P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大.

解析一 解析幾何問題中求角三解形角度的最值，我們應(yīng)選取這一角的某一三解函數(shù)值求解，由于正弦函數(shù)在（0，π）內(nèi)不單調(diào)，而余弦函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.記∠F1PF2=θ，于是我們求解θ的余弦值.

cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2 由橢圓的第一定義可知PF1+PF2=2a

∴cosθ=（PF1+PF2）2-F1F22-2PF1PF22PF1PF2=2a2-2c2-PF1PF2PF1PF2=2b2PF1PF2-1

又∵PF1PF2≤（PF1+PF22）2=a2

∴cosθ≥2b2a2-1，

即當(dāng)PF1=PF2時(shí)，cosθ取得最大值，θ取得最小值，得證.

解析二 接解析一

cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2

在2.4中根據(jù)橢圓第二定義我們得到了橢圓的右焦半徑公式PF2=a-ex，同理可行左焦半徑公式PF1=a+ex.

∴cosθ=（a+ex）2+（a-ex）2-4c22（a+ex）（a-ex）=a2+e2x2-2c2a2-e2x2=-1+2a2-2c2a2-e2x2=-1+2b2a2-e2x2

根據(jù)題意，當(dāng)x=0，即P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，cosθ取得最大值，θ取得最小值，得證.

解析三 本問題還可運(yùn)用橢圓焦點(diǎn)三解形的面積公式求證.

即S△PF1F2=c·yP=12PF1PF2·sinθ=b2·tanθ2=（a+c）·r（r表示△PF1F2內(nèi)切圓半徑）

若θ最大，則θ2最大，則tanθ2最大，則S最大，所以yp最大，即P應(yīng)為短軸上的頂點(diǎn).

2.在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，A1，A2為長軸的頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且不與重合.求證：當(dāng)P為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，∠A1PA2最大.

解析 我們注意到橢圓第三定義中有kPA1·kPA2=e2-1，于是不妨設(shè)∠PA1A2=α，∠PA2A1=β，∠A1PA2=θ，則θ=π-（α+β），根據(jù)第在定義可知tanα·tanβ=b2a2，要求θ最大，則α+β應(yīng)最小，則tan（α+β）應(yīng)最小.

tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=tanα+tanβ1-b2a2≥2tanα·tanβc2a2=2bac2a2=2abc2，取等號條件為tanα=tanβ，即P為短軸上的頂點(diǎn)，得證.

橢圓三個(gè)定義相互依存，相互聯(lián)系，對橢圓三個(gè)定義的再現(xiàn)過程實(shí)質(zhì)是就是學(xué)習(xí)解析幾何用坐標(biāo)來理解圖形，對其相互聯(lián)系的呈現(xiàn)既有解析幾何運(yùn)算的處理，也有轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)，更重要的是在定義的推導(dǎo)，聯(lián)系、運(yùn)用、延伸、拓展中對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的滲透和發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]步一雋，徐劍.深挖教材核心例題 充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)——以人教版《數(shù)學(xué)（選修2-1）》“橢圓”為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（07）：1-3.

[責(zé)任編輯：李 璟]