圓錐曲線參數(shù)范圍類(lèi)題型求解策略

韋能

摘 要：圓錐曲線類(lèi)題型是高中數(shù)學(xué)必考題型之一，而對(duì)含參圓錐曲線的參數(shù)范圍判定屬于此類(lèi)題型考察的熱點(diǎn)和難點(diǎn).解決此類(lèi)問(wèn)題的核心方法在于構(gòu)建與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的不等關(guān)系，但如何確定參數(shù)與圓錐曲線之間的不等關(guān)系才是解決此類(lèi)題型的關(guān)鍵.通過(guò)對(duì)圓錐曲線參數(shù)類(lèi)問(wèn)題的求解應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生判定題眼、挖掘隱含條件，有助于學(xué)生建立條件關(guān)系，提升數(shù)學(xué)邏輯思維能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;參數(shù);不等式;解題技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0036-02

圍繞圓錐曲線參數(shù)范圍求解目標(biāo)，結(jié)合常見(jiàn)參數(shù)范圍求解題型，本文從不等關(guān)系建立角度出發(fā)，將此類(lèi)題型細(xì)分為四大類(lèi)：題設(shè)條件類(lèi)不等關(guān)系、圓錐曲線位置不等關(guān)系、圓錐曲線范圍類(lèi)不等關(guān)系、基本判別式類(lèi)不等關(guān)系.通過(guò)對(duì)上述四類(lèi)圓錐曲線參數(shù)類(lèi)題型求解的典型案例分析，從解題技巧上幫助學(xué)生掌握求解方法，從而實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用.

一、利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系

利用題設(shè)條件求解圓錐曲線參數(shù)范圍類(lèi)題型屬于較為直接和基礎(chǔ)類(lèi)的題型，通過(guò)對(duì)題設(shè)條件中已有的不等關(guān)系進(jìn)行直接應(yīng)用，正向構(gòu)建含參不等關(guān)系.在此類(lèi)題型的求解過(guò)程中，需要緊密關(guān)注對(duì)應(yīng)圓錐曲線的類(lèi)型及取值范圍，并結(jié)合圓錐曲線的定義判定范圍.

例1 若雙曲線

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3a2，點(diǎn)P至雙曲線右焦點(diǎn)的距離大于至左準(zhǔn)線的距離，求雙曲線的離心率范圍.

解析 結(jié)合雙曲線定義及性質(zhì)可知，點(diǎn)P至雙曲線右焦點(diǎn)的距離為e（3a2-a2c），點(diǎn)P至左準(zhǔn)線的距離為（3a2+a2c），由點(diǎn)P至雙曲線右焦點(diǎn)的距離大于至左準(zhǔn)線的距離得到目標(biāo)函數(shù)的不等關(guān)系式為e（3a2-a2c）>3a2+a2c，化簡(jiǎn)后得到3e2-5e-2>0，計(jì)算得到e>2或e<-1.此時(shí)，結(jié)合雙曲線離心率的范圍e>1，最終可知雙曲線離心率的范圍為e>2.

點(diǎn)評(píng) 利用題設(shè)條件建立不等式，求解圓錐曲線不等關(guān)系類(lèi)題型屬于直接正向求解思維的應(yīng)用.在實(shí)際求解過(guò)程中，切忌疏忽大意，必須緊密留意圓錐曲線自身的范圍，避免多解問(wèn)題的出現(xiàn).

二、利用位置關(guān)系建立不等關(guān)系

在圓錐曲線中利用位置關(guān)系建立不等式，需要深入挖掘潛在信息，建立圓錐曲線相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)與參數(shù)之間的不等關(guān)系，才能實(shí)現(xiàn)此類(lèi)題型的求解.

例2 已知橢圓C的方程為

x24+y23=1，此時(shí)，有直線l：y=4x+m使得在橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng)，試求m的取值范圍.

解析 設(shè)兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）為橢圓C上關(guān)于直線

l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）為弦AB的中點(diǎn).由于點(diǎn)A、B均在橢圓C上，故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12，

聯(lián)立兩式得到關(guān)系式

3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

簡(jiǎn)化后得到

y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2.

結(jié)合點(diǎn)M與點(diǎn)A、B之間的位置關(guān)系可知，

x1+x2=2x、y1+y2=2y，

即可知

y1-y2x1-x2=k=-14.

所以得到-14=-34·yx，

即是3x-y=0，再與y=4x+m

聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)M（-m，-3m）.由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，得到

（-m）24+（-3m）23<1，

化簡(jiǎn)后可得m的取值范圍為-21313<m<21313.

點(diǎn)評(píng) 圓錐曲線位置關(guān)系類(lèi)不等關(guān)系題型的求解，可以概括為先將已知條件中涉及的基本量轉(zhuǎn)化為圓錐曲線位置關(guān)系，本題再利用點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)、圓錐曲線上及圓錐曲線外，得到不等關(guān)系，進(jìn)而判定參數(shù)范圍，順利實(shí)現(xiàn)求解.

三、利用曲線范圍建立不等關(guān)系

圓錐曲線自身范圍具備多種特征，針對(duì)橢圓、雙曲線等圓錐曲線，其定義域、值域、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等等，都是此類(lèi)題型常用的位置關(guān)系，求解此類(lèi)題型的關(guān)鍵在于建立參數(shù)與曲線位置之間的不等關(guān)系.

例3 已知橢圓C的表達(dá)式為x216+y212=1，現(xiàn)有一點(diǎn)M（m，0）位于橢圓C的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)MP長(zhǎng)度最短時(shí)，點(diǎn)P恰好位于橢圓的右頂點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 設(shè)點(diǎn)P（x，y），由于點(diǎn)P位橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，故有-4≤x≤4.

由MP=（x-m，y）可知，

|MP|2=（x-m）2+y2=（x-m）2+12·（1-x216），

化簡(jiǎn)后得到

|MP|2=14（x-4m）2+12-3m2.

由曲線范圍可知，當(dāng)MP長(zhǎng)度最短時(shí)，點(diǎn)P恰好位于橢圓的右頂點(diǎn)，即是x=4時(shí)，MP取得最小值.

結(jié)合-4≤x≤4，最終可知m≥1.

點(diǎn)評(píng) 利用圓錐曲線范圍建立不等關(guān)系求解參數(shù)范圍時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)圓錐曲線幾何特征的應(yīng)用，這就要求學(xué)生必須熟練掌握?qǐng)A錐曲線的基本特性，尤其是位置關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化，只有建立相關(guān)聯(lián)系后才能準(zhǔn)確判定參數(shù)范圍.

四、利用判別式建立不等關(guān)系

利用判別式確定不等關(guān)系類(lèi)題型常出現(xiàn)于直線與圓錐曲線相交的題型中，通過(guò)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而得到一元二次方程，最后結(jié)合判別式中所含有的參數(shù)不等式進(jìn)行求解.

例4 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l斜率為k，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），直線l與橢圓C：

x22+y2=1相較于兩不同的點(diǎn)P、Q，試求直線l斜率k的取值范圍.

解析 由于l斜率為k，且過(guò)點(diǎn)（0，2），故得到直線l的表達(dá)式為y=kx+2.

再將直線l的表達(dá)式帶入橢圓C的表達(dá)式，得到

x22+（kx+2）2=1，

化簡(jiǎn)后得到（12+k2）x2+22kx+1=0.

此時(shí)利用判別式定理得到

Δ=8k2-4（12+k2）=4k2-2>0，

即可求得k<-22或k>22.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)題中已知條件為直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系時(shí)，此時(shí)容易聯(lián)想到聯(lián)立直線與圓錐曲線之間的方程組，最終得到一個(gè)一元二次方程形式的含參表達(dá)式，結(jié)合判別式或基本不等式即可實(shí)現(xiàn)求解.

總之，求解圓錐曲線參數(shù)范圍類(lèi)題型，最關(guān)鍵之處在于不等式關(guān)系的建立，再結(jié)合已知條件，利用圓錐曲線性質(zhì)、幾何特征、判別式或基本不等式等方式，從而構(gòu)建含參不等關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)參數(shù)范圍的判定.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫國(guó)棟.圓錐曲線問(wèn)題中參數(shù)范圍的求法[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬版），2019（06）：85-86.

[2]邢麗芳.圓錐曲線參數(shù)范圍的解題技巧[J].理科考試研究（高中版），2018（02）：16-17.

[3]張敏.分類(lèi)例析圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（13）：95-96.

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