數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)

盧會(huì)玉

摘 要：2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題和2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第17題有很多相像的地方.筆者從復(fù)習(xí)備考時(shí)對(duì)2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題的三個(gè)改編題入手，分析如何一步步的培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納和運(yùn)算等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力離不開數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，兩者是相輔相成的，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力首先要提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 與此同時(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高了，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力相應(yīng)的也會(huì)得到提高. 進(jìn)而又分析了今年高考題是如何考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的，以期獲得一些教學(xué)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：2020高考;數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0030-03

2020年的高考在經(jīng)歷了千難萬難后落下帷幕，從看到高考題的那一刻起，腦海中浮現(xiàn)的都是當(dāng)時(shí)和學(xué)生一起備考的畫面.尤其是看到2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第17題時(shí)，更是興奮不已.因?yàn)樵趶?fù)習(xí)數(shù)列專題時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納、推理和計(jì)算能力，特意將2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題進(jìn)行了改編，進(jìn)行了全方位的備考.

《中國高考評(píng)價(jià)體系》明確指出：關(guān)鍵能力是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.但是有教師混淆了關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)技巧的區(qū)別，試圖通過不斷的訓(xùn)練獲得關(guān)鍵能力.筆者認(rèn)為，關(guān)鍵能力的考查是在建立在基本技能和基本思想的基礎(chǔ)上進(jìn)行的綜合能力的考查.

一、一個(gè)原題三個(gè)改編

例1 （2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題）

已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設(shè)bn=ann.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由;

（3）求an的通項(xiàng)公式.

解析 （1）由條件可得an+1=2n+1nan.

將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4;

（2）bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，

所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列;

（3）由（2）可得ann=bn=1×2n-1=2n-1，所以an=n·2n-1.

筆者認(rèn)為該題更多的是考查學(xué)生的運(yùn)算能力，因?yàn)閎n=ann在題干中明確的給出，對(duì)于學(xué)生來說，基本沒有涉及到分析、歸納和推理能力的考查，所以為了提高學(xué)生能力，對(duì)題目進(jìn)行改編是有必要的.

例2 （2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，求an的通項(xiàng)公式.

將題目改編成直接求an的通項(xiàng)公式，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的要求就非常高了.學(xué)生必須要明確一定有一個(gè)新數(shù)列產(chǎn)生，從而借助新數(shù)列解決an的通項(xiàng)公式.這個(gè)過程中，學(xué)生必然要進(jìn)行分析，經(jīng)過綜合考慮之后進(jìn)行歸納和推理，進(jìn)而加以證明，獲得結(jié)論.具體解題過程和原題基本一樣.

例3 （2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an.

（1）計(jì)算a2，a3，a4，a5;

（2）求an的通項(xiàng)公式.

將題目改編成先計(jì)算前五項(xiàng)再求an的通項(xiàng)公式，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的要求較高.給學(xué)生提供了一種先通過寫出前幾項(xiàng)再進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思路.考查的是學(xué)生的歸納能力和計(jì)算能力.具體解題過程和原題基本一樣.

例4 （2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）

已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設(shè)bn=ann.

（1）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由;

（2）求an的通項(xiàng)公式.

（3）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

改編成如上問題，主要是想考查學(xué)生的運(yùn)算能力，將bn=ann在題干中明確的給出，是為了減少學(xué)生分析、歸納和推理的思維量. 學(xué)生求出an的通項(xiàng)公式后，發(fā)現(xiàn)an=n·2n-1，這對(duì)學(xué)生來說，是一個(gè)比較熟悉的錯(cuò)位相減法求和問題，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求較高.

經(jīng)過對(duì)2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科卷第17題的改編，重點(diǎn)培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力、歸納問題的能力以及運(yùn)算能力.令人欣喜的是，果不其然今年的高考題正是考查這方面的知識(shí)和能力.

二、一個(gè)原題一些思考

（2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第17題）

設(shè)數(shù)列an滿足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）計(jì)算a2，a3，猜想an的通項(xiàng)公式并加以證明;

（2）求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.

解析 （1）由題意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由數(shù)列an的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n+1，證明如下：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=3成立;

假設(shè)n=k時(shí)，ak=2k+1成立.

那么n=k+1時(shí)，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.

則對(duì)任意的n∈N*，都有an=2n+1成立;

（2）由（1）可知，an·2n=（2n+1）·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1②

由①-②得：-Sn=6+2×22+23+…+2n-（2n+1）·2n+1

=6+2×22×1-2n-11-2-（2n+1）·2n+1

=（1-2n）·2n+1-2，

即Sn=（2n-1）·2n+1+2.

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力有五項(xiàng)：邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力. 該題明顯考查學(xué)生的分析能力、歸納能力和運(yùn)算能力，指向非常明確. 高考評(píng)價(jià)體系確立的是基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，本題體現(xiàn)是基礎(chǔ)性. 對(duì)基本技能和基本思想的要求較高.

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力離不開數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，兩者是相輔相成的，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力首先要提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 與此同時(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高了，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力相應(yīng)的也會(huì)得到提高. 那么今年高考數(shù)列題是如何考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的呢？

1.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程. 要求學(xué)生能從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

例 （2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第4題）

北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）.

A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊

解析 設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為an，第一層共有n環(huán)，則an是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，an=9+（n-1）×9=9n，設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，

即3n（9+27n）2-2n（9+18n）2=2n（9+18n）2-n（9+9n）2+729，即9n2=729，解得n=9，

所以S3n=S27=27（9+9×27）2=3402.

故選C.

本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，需要學(xué)生能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，并且要讀懂題目所表達(dá)的意思.涉及等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，進(jìn)而考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，算是一道容易題.

2.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用的信息，形成知識(shí)的過程，主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論.

例 （2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第12題）

0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0，1}（i=1，2，…），且存在正整數(shù)m，使得ai+m=ai（i=1，2，…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足ai+m=ai（i=1，2，…）的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為m的0-1序列a1a2…an…，C（k）=

1m∑mi=1aiai+k（k=1，2，…，m-1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足C（k）≤15（k=1，2，3，4）的序列是（）.

A.11010…B. 11011…

C. 10001…D. 11001…

解析 由ai+m=ai知，序列ai的周期為m，由已知，m=5，

C（k）=15∑5i=1aiai+k，k=1，2，3，4

對(duì)于選項(xiàng)A.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+0）=15≤15

C（2）=15∑5i=1aiai+2=15（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7）=15（0+1+0+1+0）=25，不滿足;

對(duì)于選項(xiàng)B.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+1+1）=35，不滿足;

對(duì)于選項(xiàng)D.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+1）=25，不滿足;

故選C.

本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

3.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決書序問題，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.

例 （2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第17題）設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng).

（1）求an的公比;

（2）若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

解析 （1）設(shè)an的公比為q，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)，

∵2a1=a2+a3，a1≠0，

∴q2+q-2=0，

∵q≠1，∴q=-2;

（2）設(shè){nan}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=（-2）n-1，

Sn=1×1+2×（-2）+3×（-2）2+…+n（-2）n-1，①

-2Sn=1×（-2）+2×（-2）2+3×（-2）3+…（n-1）（-2）n-1+n（-2）n，②

①-②得，

3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+（-2）n-1-n（-2）n

=1-（-2）n1-（-2）-n（-2）n=1-（1+3n）（-2）n3，

∴Sn=1-（1+3n）（-2）n9.

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

數(shù)學(xué)運(yùn)算幾乎每道題都會(huì)涉及到，有句俗語說：想到不如做到！很多學(xué)生不是想不到，而是想到了卻做錯(cuò)了，這就是典型的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力欠缺. 應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)中利用一切機(jī)會(huì)進(jìn)行訓(xùn)練，在不斷犯錯(cuò)又不斷改錯(cuò)中，運(yùn)算能力才能得到提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國林.例談數(shù)列中的數(shù)字文化[J].高中生之友，2019（10）：42-43.

[責(zé)任編輯：李 璟]