借助數(shù)形結(jié)合思想 推開數(shù)學(xué)解題之門

馬金玲

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，可給學(xué)生帶來直觀的認識，降低解題繁瑣程度，提升解題效率.為使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題，應(yīng)注重結(jié)合自身經(jīng)驗，為學(xué)生展示數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，使其更好地把握這一解題思想的應(yīng)用細節(jié).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0022-02

“數(shù)”與“形”有著密切的聯(lián)系，兩者結(jié)合起來可獲得事半功倍的解題效果，因此教學(xué)中應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合思想的灌輸，為學(xué)生系統(tǒng)、深入的講解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，使其掌握各種圖象繪制技巧，并能根據(jù)圖象構(gòu)建正確的圖形，靈活用于解答數(shù)學(xué)習(xí)題中，促進其解題能力的顯著提升.

一、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答零點習(xí)題

零點是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，相關(guān)題型在高考中的出現(xiàn)頻率較高.解答零點問題應(yīng)注重根據(jù)題意對函數(shù)的形式進行轉(zhuǎn)化，以方便的繪制出對應(yīng)函數(shù)的圖象，運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想將其轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，問題便迎刃而解.如下題：

已知函數(shù)f（x）=3x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x的零點依次為x1，x2，x3，其大小關(guān)系正確的是（）.

A.x1

C.x3

D.x2

圖1認真觀察三個函數(shù)解析式，可知其均含有x，因此可將各解析式拆分成兩部分，其零點分別表示函數(shù)y=3x、y=log 3x、y=sinx和y=-x交點的橫坐標.在同一坐標系中繪出的函數(shù)圖象，如圖1所示：

由圖可直觀的看出三個函數(shù)和y=-x圖象交點對應(yīng)的橫坐標關(guān)系，即，x1

二、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答參數(shù)習(xí)題

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成部分，尤其求解三角函數(shù)表達式中相關(guān)參數(shù)的取值范圍、個數(shù)等問題時借助數(shù)學(xué)結(jié)合思想，可直觀的看到參數(shù)之間的關(guān)系，順利突破題目，因此，解題中應(yīng)提高數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識，通過繪制對應(yīng)的圖形，充分挖掘題目隱含條件，高效的解答出相關(guān)習(xí)題.如下題：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+π3）（ω∈Z），當x∈（0，π3]時，f（x）=32有唯一解則滿足條件的ω的個數(shù)為（）.

A.5B.6C.7D.8

題目中ω正負不確定因此，需要進行分類討論.①當ω>0時，由x∈（0，π3]，則ωx+π3∈（π3，πω3+π3]

∵f（x）=32有唯一解，繪制出y=sinx函數(shù)圖象，如圖2所示.

可知πω3+π3∈[2π3，7π3），解得ω∈[1，6），又∵ω∈Z則ω=1、2、3、4、5;

②當ω<0時，由x∈（0，π3]，則ωx+π3∈[πω3+π3，π3），同理易得πω3+π3∈（-5π3，-4π3]，解得ω∈（-6，-5]，又∵ω∈Z，則ω=-5;綜上可知，滿足條件的ω共有6個，選擇B項.三、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答方程習(xí)題函數(shù)與方程聯(lián)系緊密，尤其一些方程習(xí)題通過轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助函數(shù)圖象運用數(shù)形結(jié)合思想能夠快速作答.尤其為保證解題的正確性，應(yīng)注重根據(jù)題設(shè)準確的繪制出不同定義域內(nèi)的函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象交點迅速的判斷出方程根的個數(shù).如下題：

已知函數(shù)f（x）=-x，x≤0-x2+2x，x>0，若0

A.2B.3C.4 D.5

該題目是分段函數(shù)和二次函數(shù)綜合題目難度較大.∵f2（x）-bf（x）=0，則可得f（x）=0或f（x）=b，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖3所示：

由圖3可清晰的看到當f（x）=0時，x=0或x=2共兩個根;當f（x）=b，0

四、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答向量習(xí)題

高中階段向量既可以單獨出題，也可以作為解答其他習(xí)題的工具，尤其在解答向量與三角形結(jié)合的習(xí)題時，通過構(gòu)建合理的直角坐標系，將向量之間的關(guān)系運用坐標表示出來，而后通過坐標的運算進行求解，可迅速解答出難度較大的習(xí)題.如下題：

已知AB ⊥AC ，|AB |=1t，|AC |=t，若P點是△ABC所在平面內(nèi)一點，且AP =AB AB +4AC AC ，則PB ·PC 的最大值為（）.

A.13B.15C.19D.21

解答該題目時可運用數(shù)形結(jié)合法.根據(jù)題意，構(gòu)建以A為原點，AB 方向為x軸，AC 方向為y軸的平面直角坐標系，如圖4所示：

∵|AB |=1t，|AC |=t，，所以B（1t，0），C（0，t），又∵AP =AB AB+4AC AC ，則P（1，4），故則PB =（1t-1，-4）， PC =（-1，t-4）， PB ·PC =17-（4t+1t），而4t+1t≥24t·1t=4，則PB ·PC ≤17-4=13，當且僅當4t=1t，t=12時取等號，此時PB ·PC 的最大值為13，選擇A.

借助數(shù)形結(jié)合思想解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題時，不僅要認真審題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，而且還要運用所學(xué)知識準確地繪制出各種函數(shù)圖象以及圖形，通過對圖象、圖形的認真分析，準確的找到相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，在解題中少走彎路，順利的得出正確答案.

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[責(zé)任編輯：李 璟]